Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomninnlem GIF version

Theorem isomninnlem 15237
Description: Lemma for isomninn 15238. The result, with a hypothesis to provide a convenient notation. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
isomninnlem.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
isomninnlem (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Omni ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝑉,𝑥

Proof of Theorem isomninnlem
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomnimap 7165 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Omni ↔ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)))
2 fveq1 5533 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐺𝑓) → (𝑔𝑥) = ((𝐺𝑓)‘𝑥))
32eqeq1d 2198 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐺𝑓) → ((𝑔𝑥) = ∅ ↔ ((𝐺𝑓)‘𝑥) = ∅))
43rexbidv 2491 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐺𝑓) → (∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐺𝑓)‘𝑥) = ∅))
52eqeq1d 2198 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐺𝑓) → ((𝑔𝑥) = 1o ↔ ((𝐺𝑓)‘𝑥) = 1o))
65ralbidv 2490 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐺𝑓) → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑓)‘𝑥) = 1o))
74, 6orbi12d 794 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐺𝑓) → ((∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o) ↔ (∃𝑥𝐴 ((𝐺𝑓)‘𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑓)‘𝑥) = 1o)))
8 simplr 528 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o))
9 isomninnlem.g . . . . . . . . 9 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
109012of 15204 . . . . . . . 8 (𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o
11 elmapi 6696 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶{0, 1})
1211adantl 277 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → 𝑓:𝐴⟶{0, 1})
13 fco2 5401 . . . . . . . 8 (((𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o𝑓:𝐴⟶{0, 1}) → (𝐺𝑓):𝐴⟶2o)
1410, 12, 13sylancr 414 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (𝐺𝑓):𝐴⟶2o)
15 2onn 6546 . . . . . . . . 9 2o ∈ ω
1615a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → 2o ∈ ω)
17 simpll 527 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → 𝐴𝑉)
1816, 17elmapd 6688 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → ((𝐺𝑓) ∈ (2o𝑚 𝐴) ↔ (𝐺𝑓):𝐴⟶2o))
1914, 18mpbird 167 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (𝐺𝑓) ∈ (2o𝑚 𝐴))
207, 8, 19rspcdva 2861 . . . . 5 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∃𝑥𝐴 ((𝐺𝑓)‘𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑓)‘𝑥) = 1o))
21 nfv 1539 . . . . . . . . 9 𝑥 𝐴𝑉
22 nfcv 2332 . . . . . . . . . 10 𝑥(2o𝑚 𝐴)
23 nfre1 2533 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅
24 nfra1 2521 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o
2523, 24nfor 1585 . . . . . . . . . 10 𝑥(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)
2622, 25nfralxy 2528 . . . . . . . . 9 𝑥𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)
2721, 26nfan 1576 . . . . . . . 8 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o))
28 nfv 1539 . . . . . . . 8 𝑥 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)
2927, 28nfan 1576 . . . . . . 7 𝑥((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴))
309frechashgf1o 10459 . . . . . . . . . . 11 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
31 0nn0 9221 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
32 1nn0 9222 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ0
33 prssi 3765 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
3431, 32, 33mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 {0, 1} ⊆ ℕ0
3511ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑓:𝐴⟶{0, 1})
36 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
3735, 36ffvelcdmd 5673 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ {0, 1})
3834, 37sselid 3168 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℕ0)
39 f1ocnvfv2 5800 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ (𝑓𝑥) ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑓𝑥))) = (𝑓𝑥))
4030, 38, 39sylancr 414 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑓𝑥))) = (𝑓𝑥))
4140adantr 276 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑓)‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑓𝑥))) = (𝑓𝑥))
42 fvco3 5608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴⟶{0, 1} ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑓)‘𝑥) = (𝐺‘(𝑓𝑥)))
4335, 42sylancom 420 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑓)‘𝑥) = (𝐺‘(𝑓𝑥)))
4443eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐺𝑓)‘𝑥) = ∅ ↔ (𝐺‘(𝑓𝑥)) = ∅))
4544biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑓)‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘(𝑓𝑥)) = ∅)
4645fveq2d 5538 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑓)‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑓𝑥))) = (𝐺‘∅))
47 0zd 9295 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
4847, 9frec2uz0d 10430 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
4948mptru 1373 . . . . . . . . . 10 (𝐺‘∅) = 0
5046, 49eqtrdi 2238 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑓)‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑓𝑥))) = 0)
5141, 50eqtr3d 2224 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑓)‘𝑥) = ∅) → (𝑓𝑥) = 0)
5251exp31 364 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (𝑥𝐴 → (((𝐺𝑓)‘𝑥) = ∅ → (𝑓𝑥) = 0)))
5329, 52reximdai 2588 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∃𝑥𝐴 ((𝐺𝑓)‘𝑥) = ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0))
5440adantr 276 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑓)‘𝑥) = 1o) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑓𝑥))) = (𝑓𝑥))
5543adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑓)‘𝑥) = 1o) → ((𝐺𝑓)‘𝑥) = (𝐺‘(𝑓𝑥)))
56 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑓)‘𝑥) = 1o) → ((𝐺𝑓)‘𝑥) = 1o)
5755, 56eqtr3d 2224 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑓)‘𝑥) = 1o) → (𝐺‘(𝑓𝑥)) = 1o)
5857fveq2d 5538 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑓)‘𝑥) = 1o) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑓𝑥))) = (𝐺‘1o))
59 df-1o 6441 . . . . . . . . . . . 12 1o = suc ∅
6059fveq2i 5537 . . . . . . . . . . 11 (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
61 peano1 4611 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ ω
6261a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ∅ ∈ ω)
6347, 9, 62frec2uzsucd 10432 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
6463mptru 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
6549oveq1i 5906 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
66 0p1e1 9063 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
6765, 66eqtri 2210 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺‘∅) + 1) = 1
6860, 64, 673eqtri 2214 . . . . . . . . . 10 (𝐺‘1o) = 1
6958, 68eqtrdi 2238 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑓)‘𝑥) = 1o) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑓𝑥))) = 1)
7054, 69eqtr3d 2224 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑓)‘𝑥) = 1o) → (𝑓𝑥) = 1)
7170ex 115 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐺𝑓)‘𝑥) = 1o → (𝑓𝑥) = 1))
7229, 71ralimdaa 2556 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑓)‘𝑥) = 1o → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1))
7353, 72orim12d 787 . . . . 5 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → ((∃𝑥𝐴 ((𝐺𝑓)‘𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑓)‘𝑥) = 1o) → (∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)))
7420, 73mpd 13 . . . 4 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1))
7574ralrimiva 2563 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)) → ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1))
76 fveq1 5533 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐺𝑔) → (𝑓𝑥) = ((𝐺𝑔)‘𝑥))
7776eqeq1d 2198 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐺𝑔) → ((𝑓𝑥) = 0 ↔ ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 0))
7877rexbidv 2491 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐺𝑔) → (∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 0))
7976eqeq1d 2198 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐺𝑔) → ((𝑓𝑥) = 1 ↔ ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 1))
8079ralbidv 2490 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐺𝑔) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 1))
8178, 80orbi12d 794 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐺𝑔) → ((∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1) ↔ (∃𝑥𝐴 ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 1)))
82 simplr 528 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) → ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1))
8392o01f 15205 . . . . . . . 8 (𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1}
84 elmapi 6696 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴) → 𝑔:𝐴⟶2o)
8584adantl 277 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) → 𝑔:𝐴⟶2o)
86 fco2 5401 . . . . . . . 8 (((𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1} ∧ 𝑔:𝐴⟶2o) → (𝐺𝑔):𝐴⟶{0, 1})
8783, 85, 86sylancr 414 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) → (𝐺𝑔):𝐴⟶{0, 1})
88 prexg 4229 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ∈ V)
8931, 32, 88mp2an 426 . . . . . . . . 9 {0, 1} ∈ V
9089a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) → {0, 1} ∈ V)
91 simpll 527 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) → 𝐴𝑉)
9290, 91elmapd 6688 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) → ((𝐺𝑔) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴) ↔ (𝐺𝑔):𝐴⟶{0, 1}))
9387, 92mpbird 167 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) → (𝐺𝑔) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴))
9481, 82, 93rspcdva 2861 . . . . 5 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) → (∃𝑥𝐴 ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 1))
95 nfcv 2332 . . . . . . . . . 10 𝑥({0, 1} ↑𝑚 𝐴)
96 nfre1 2533 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0
97 nfra1 2521 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1
9896, 97nfor 1585 . . . . . . . . . 10 𝑥(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)
9995, 98nfralxy 2528 . . . . . . . . 9 𝑥𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)
10021, 99nfan 1576 . . . . . . . 8 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1))
101 nfv 1539 . . . . . . . 8 𝑥 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)
102100, 101nfan 1576 . . . . . . 7 𝑥((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴))
10384ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑔:𝐴⟶2o)
104 omelon 4626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ω ∈ On
105104onelssi 4447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2o ∈ ω → 2o ⊆ ω)
10615, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 2o ⊆ ω
107106a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 2o ⊆ ω)
108103, 107fssd 5397 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑔:𝐴⟶ω)
109 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
110108, 109ffvelcdmd 5673 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ω)
111 f1ocnvfv1 5799 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ (𝑔𝑥) ∈ ω) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑔𝑥))) = (𝑔𝑥))
11230, 110, 111sylancr 414 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑔𝑥))) = (𝑔𝑥))
113112adantr 276 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 0) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑔𝑥))) = (𝑔𝑥))
114 fvco3 5608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔:𝐴⟶2o𝑥𝐴) → ((𝐺𝑔)‘𝑥) = (𝐺‘(𝑔𝑥)))
115103, 114sylancom 420 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑔)‘𝑥) = (𝐺‘(𝑔𝑥)))
116115eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐺𝑔)‘𝑥) = 0 ↔ (𝐺‘(𝑔𝑥)) = 0))
117116biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 0) → (𝐺‘(𝑔𝑥)) = 0)
118117fveq2d 5538 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 0) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑔𝑥))) = (𝐺‘0))
119 f1ocnvfv 5801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 0 → (𝐺‘0) = ∅))
12030, 61, 119mp2an 426 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺‘∅) = 0 → (𝐺‘0) = ∅)
12149, 120ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐺‘0) = ∅
122118, 121eqtrdi 2238 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 0) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑔𝑥))) = ∅)
123113, 122eqtr3d 2224 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 0) → (𝑔𝑥) = ∅)
124123exp31 364 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) → (𝑥𝐴 → (((𝐺𝑔)‘𝑥) = 0 → (𝑔𝑥) = ∅)))
125102, 124reximdai 2588 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) → (∃𝑥𝐴 ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 0 → ∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅))
126112adantr 276 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 1) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑔𝑥))) = (𝑔𝑥))
127115eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐺𝑔)‘𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(𝑔𝑥)) = 1))
128127biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 1) → (𝐺‘(𝑔𝑥)) = 1)
129128fveq2d 5538 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 1) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑔𝑥))) = (𝐺‘1))
130 1onn 6545 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ ω
131 f1ocnvfv 5801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 1o ∈ ω) → ((𝐺‘1o) = 1 → (𝐺‘1) = 1o))
13230, 130, 131mp2an 426 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺‘1o) = 1 → (𝐺‘1) = 1o)
13368, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐺‘1) = 1o
134129, 133eqtrdi 2238 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 1) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑔𝑥))) = 1o)
135126, 134eqtr3d 2224 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 1) → (𝑔𝑥) = 1o)
136135ex 115 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐺𝑔)‘𝑥) = 1 → (𝑔𝑥) = 1o))
137102, 136ralimdaa 2556 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) → (∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 1 → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o))
138125, 137orim12d 787 . . . . 5 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) → ((∃𝑥𝐴 ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑔)‘𝑥) = 1) → (∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o)))
13994, 138mpd 13 . . . 4 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)) → (∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o))
140139ralrimiva 2563 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)) → ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o))
14175, 140impbida 596 . 2 (𝐴𝑉 → (∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1o) ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)))
1421, 141bitrd 188 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Omni ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1364  wtru 1365  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469  Vcvv 2752  wss 3144  c0 3437  {cpr 3608  cmpt 4079  suc csuc 4383  ωcom 4607  ccnv 4643  cres 4646  ccom 4648  wf 5231  1-1-ontowf1o 5234  cfv 5235  (class class class)co 5896  freccfrec 6415  1oc1o 6434  2oc2o 6435  𝑚 cmap 6674  Omnicomni 7162  0cc0 7841  1c1 7842   + caddc 7844  0cn0 9206  cz 9283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-recs 6330  df-frec 6416  df-1o 6441  df-2o 6442  df-map 6676  df-omni 7163  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559
This theorem is referenced by:  isomninn  15238
  Copyright terms: Public domain W3C validator