Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iswomninnlem GIF version
Theorem iswomninnlem 15210
Description: Lemma for iswomnimap 7184. The result, with a hypothesis for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
iswomninnlem.g 𝐺 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
iswomninnlem (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∈ WOmni ↔ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,π‘₯   𝑓,𝐺,π‘₯   𝑓,𝑉,π‘₯
Proof of Theorem iswomninnlem
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswomnimap 7184 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∈ WOmni ↔ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o))
2 fveq1 5530 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (◑𝐺 ∘ 𝑓) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯))
32eqeq1d 2198 . . . . . . . 8 (𝑔 = (◑𝐺 ∘ 𝑓) β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) = 1o ↔ ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o))
43ralbidv 2490 . . . . . . 7 (𝑔 = (◑𝐺 ∘ 𝑓) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o))
54dcbid 839 . . . . . 6 (𝑔 = (◑𝐺 ∘ 𝑓) β†’ (DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o ↔ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o))
6 simplr 528 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o)
7 iswomninnlem.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
87012of 15158 . . . . . . . . . 10 (◑𝐺 β†Ύ {0, 1}):{0, 1}⟢2o
9 elmapi 6689 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴) β†’ 𝑓:𝐴⟢{0, 1})
10 fco2 5398 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐺 β†Ύ {0, 1}):{0, 1}⟢2o ∧ 𝑓:𝐴⟢{0, 1}) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑓):𝐴⟢2o)
118, 9, 10sylancr 414 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑓):𝐴⟢2o)
1211adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑓):𝐴⟢2o)
13 2onn 6541 . . . . . . . . . 10 2o ∈ Ο‰
1413a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ 2o ∈ Ο‰)
15 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
1614, 15elmapd 6681 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ ((◑𝐺 ∘ 𝑓) ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴) ↔ (◑𝐺 ∘ 𝑓):𝐴⟢2o))
1712, 16mpbird 167 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑓) ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴))
1817adantlr 477 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑓) ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴))
195, 6, 18rspcdva 2861 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o)
20 nfv 1539 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝐴 ∈ 𝑉
21 nfcv 2332 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(2o β†‘π‘š 𝐴)
22 nfra1 2521 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o
2322nfdc 1670 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o
2421, 23nfralxy 2528 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o
2520, 24nfan 1576 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o)
26 nfv 1539 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)
2725, 26nfan 1576 . . . . . . 7 β„²π‘₯((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴))
289ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:𝐴⟢{0, 1})
29 fvco3 5604 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴⟢{0, 1} ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)))
3028, 29sylancom 420 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)))
3130eqeq1d 2198 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
32 df-1o 6436 . . . . . . . . . . . 12 1o = suc βˆ…
3332fveq2i 5534 . . . . . . . . . . 11 (πΊβ€˜1o) = (πΊβ€˜suc βˆ…)
34 0zd 9285 . . . . . . . . . . . . 13 (⊀ β†’ 0 ∈ β„€)
35 peano1 4608 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ… ∈ Ο‰
3635a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (⊀ β†’ βˆ… ∈ Ο‰)
3734, 7, 36frec2uzsucd 10421 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ (πΊβ€˜suc βˆ…) = ((πΊβ€˜βˆ…) + 1))
3837mptru 1373 . . . . . . . . . . 11 (πΊβ€˜suc βˆ…) = ((πΊβ€˜βˆ…) + 1)
3934, 7frec2uz0d 10419 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊀ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = 0)
4039mptru 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (πΊβ€˜βˆ…) = 0
4140oveq1i 5902 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜βˆ…) + 1) = (0 + 1)
42 0p1e1 9053 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
4341, 42eqtri 2210 . . . . . . . . . . 11 ((πΊβ€˜βˆ…) + 1) = 1
4433, 38, 433eqtri 2214 . . . . . . . . . 10 (πΊβ€˜1o) = 1
4544eqeq2i 2200 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜1o) ↔ (πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = 1)
467frechashgf1o 10448 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0
47 f1ocnv 5490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ ◑𝐺:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰)
48 f1of 5477 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝐺:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ ◑𝐺:β„•0βŸΆΟ‰)
4946, 47, 48mp2b 8 . . . . . . . . . . . 12 ◑𝐺:β„•0βŸΆΟ‰
5049a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ◑𝐺:β„•0βŸΆΟ‰)
51 0nn0 9211 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ β„•0
52 1nn0 9212 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„•0
53 prssi 3765 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ {0, 1} βŠ† β„•0)
5451, 52, 53mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 {0, 1} βŠ† β„•0
55 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5628, 55ffvelcdmd 5669 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ {0, 1})
5754, 56sselid 3168 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
5850, 57ffvelcdmd 5669 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ Ο‰)
59 1onn 6540 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ Ο‰
60 f1of1 5476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ 𝐺:ω–1-1β†’β„•0)
6146, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝐺:ω–1-1β†’β„•0
62 f1fveq 5790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ω–1-1β†’β„•0 ∧ ((β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ Ο‰ ∧ 1o ∈ Ο‰)) β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜1o) ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
6361, 62mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (((β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ Ο‰ ∧ 1o ∈ Ο‰) β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜1o) ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
6459, 63mpan2 425 . . . . . . . . . 10 ((β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ Ο‰ β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜1o) ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
6558, 64syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜1o) ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
6645, 65bitr3id 194 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = 1 ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
67 f1ocnvfv2 5796 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (π‘“β€˜π‘₯))
6846, 57, 67sylancr 414 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (π‘“β€˜π‘₯))
6968eqeq1d 2198 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = 1 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
7031, 66, 693bitr2d 216 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o ↔ (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
7127, 70ralbida 2484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
7271dcbid 839 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o ↔ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
7319, 72mpbid 147 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1)
7473ralrimiva 2563 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) β†’ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1)
75 fveq1 5530 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐺 ∘ 𝑔) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯))
7675eqeq1d 2198 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐺 ∘ 𝑔) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) = 1 ↔ ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1))
7776ralbidv 2490 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐺 ∘ 𝑔) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1))
7877dcbid 839 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐺 ∘ 𝑔) β†’ (DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1 ↔ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1))
79 simplr 528 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1)
8072o01f 15159 . . . . . . . 8 (𝐺 β†Ύ 2o):2o⟢{0, 1}
81 elmapi 6689 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴) β†’ 𝑔:𝐴⟢2o)
8281adantl 277 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ 𝑔:𝐴⟢2o)
83 fco2 5398 . . . . . . . 8 (((𝐺 β†Ύ 2o):2o⟢{0, 1} ∧ 𝑔:𝐴⟢2o) β†’ (𝐺 ∘ 𝑔):𝐴⟢{0, 1})
8480, 82, 83sylancr 414 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (𝐺 ∘ 𝑔):𝐴⟢{0, 1})
85 prexg 4226 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ {0, 1} ∈ V)
8651, 52, 85mp2an 426 . . . . . . . . 9 {0, 1} ∈ V
8786a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ {0, 1} ∈ V)
88 simpll 527 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
8987, 88elmapd 6681 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ ((𝐺 ∘ 𝑔) ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴) ↔ (𝐺 ∘ 𝑔):𝐴⟢{0, 1}))
9084, 89mpbird 167 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (𝐺 ∘ 𝑔) ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴))
9178, 79, 90rspcdva 2861 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1)
92 nfcv 2332 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)
93 nfra1 2521 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1
9493nfdc 1670 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1
9592, 94nfralxy 2528 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1
9620, 95nfan 1576 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1)
97 nfv 1539 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)
9896, 97nfan 1576 . . . . . . 7 β„²π‘₯((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴))
9981ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑔:𝐴⟢2o)
100 fvco3 5604 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:𝐴⟢2o ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)))
10199, 100sylancom 420 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)))
102101eqeq1d 2198 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1 ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
103 f1of 5477 . . . . . . . . . . 11 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0)
10446, 103mp1i 10 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0)
105 omelon 4623 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο‰ ∈ On
106105onelssi 4444 . . . . . . . . . . . . 13 (2o ∈ Ο‰ β†’ 2o βŠ† Ο‰)
10713, 106mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 2o βŠ† Ο‰)
10899, 107fssd 5394 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑔:π΄βŸΆΟ‰)
109 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
110108, 109ffvelcdmd 5669 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ Ο‰)
111104, 110ffvelcdmd 5669 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„•0)
112 f1ocnvfv 5797 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ 1o ∈ Ο‰) β†’ ((πΊβ€˜1o) = 1 β†’ (β—‘πΊβ€˜1) = 1o))
11346, 59, 112mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜1o) = 1 β†’ (β—‘πΊβ€˜1) = 1o)
11444, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (β—‘πΊβ€˜1) = 1o
115114eqeq2i 2200 . . . . . . . . . 10 ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (β—‘πΊβ€˜1) ↔ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = 1o)
116 f1of1 5476 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝐺:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ ◑𝐺:β„•0–1-1β†’Ο‰)
11746, 47, 116mp2b 8 . . . . . . . . . . . 12 ◑𝐺:β„•0–1-1β†’Ο‰
118 f1fveq 5790 . . . . . . . . . . . 12 ((◑𝐺:β„•0–1-1β†’Ο‰ ∧ ((πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0)) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (β—‘πΊβ€˜1) ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
119117, 118mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (((πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (β—‘πΊβ€˜1) ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
12052, 119mpan2 425 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„•0 β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (β—‘πΊβ€˜1) ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
121115, 120bitr3id 194 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„•0 β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = 1o ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
122111, 121syl 14 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = 1o ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
123 f1ocnvfv1 5795 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ Ο‰) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘”β€˜π‘₯))
12446, 110, 123sylancr 414 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘”β€˜π‘₯))
125124eqeq1d 2198 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = 1o ↔ (π‘”β€˜π‘₯) = 1o))
126102, 122, 1253bitr2d 216 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1 ↔ (π‘”β€˜π‘₯) = 1o))
12798, 126ralbida 2484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o))
128127dcbid 839 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1 ↔ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o))
12991, 128mpbid 147 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o)
130129ralrimiva 2563 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) β†’ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o)
13174, 130impbida 596 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o ↔ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
1321, 131bitrd 188 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∈ WOmni ↔ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364  βŠ€wtru 1365   ∈ wcel 2160  βˆ€wral 2468  Vcvv 2752   βŠ† wss 3144  βˆ…c0 3437  {cpr 3608   ↦ cmpt 4079  suc csuc 4380  Ο‰com 4604  β—‘ccnv 4640   β†Ύ cres 4643   ∘ ccom 4645  βŸΆwf 5228  β€“1-1β†’wf1 5229  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 5231  β€˜cfv 5232  (class class class)co 5892  freccfrec 6410  1oc1o 6429  2oc2o 6430   β†‘π‘š cmap 6667  WOmnicwomni 7181  0cc0 7831  1c1 7832   + caddc 7834  β„•0cn0 9196  β„€cz 9273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-addcom 7931  ax-addass 7933  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-ltadd 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-recs 6325  df-frec 6411  df-1o 6436  df-2o 6437  df-map 6669  df-womni 7182  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-inn 8940  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549
This theorem is referenced by:  iswomninn  15211
  Copyright terms: Public domain W3C validator