Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iswomninnlem GIF version
Theorem iswomninnlem 15094
Description: Lemma for iswomnimap 7178. The result, with a hypothesis for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
iswomninnlem.g 𝐺 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
iswomninnlem (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∈ WOmni ↔ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,π‘₯   𝑓,𝐺,π‘₯   𝑓,𝑉,π‘₯
Proof of Theorem iswomninnlem
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswomnimap 7178 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∈ WOmni ↔ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o))
2 fveq1 5526 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (◑𝐺 ∘ 𝑓) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯))
32eqeq1d 2196 . . . . . . . 8 (𝑔 = (◑𝐺 ∘ 𝑓) β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) = 1o ↔ ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o))
43ralbidv 2487 . . . . . . 7 (𝑔 = (◑𝐺 ∘ 𝑓) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o))
54dcbid 839 . . . . . 6 (𝑔 = (◑𝐺 ∘ 𝑓) β†’ (DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o ↔ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o))
6 simplr 528 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o)
7 iswomninnlem.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
87012of 15042 . . . . . . . . . 10 (◑𝐺 β†Ύ {0, 1}):{0, 1}⟢2o
9 elmapi 6684 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴) β†’ 𝑓:𝐴⟢{0, 1})
10 fco2 5394 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐺 β†Ύ {0, 1}):{0, 1}⟢2o ∧ 𝑓:𝐴⟢{0, 1}) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑓):𝐴⟢2o)
118, 9, 10sylancr 414 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑓):𝐴⟢2o)
1211adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑓):𝐴⟢2o)
13 2onn 6536 . . . . . . . . . 10 2o ∈ Ο‰
1413a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ 2o ∈ Ο‰)
15 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
1614, 15elmapd 6676 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ ((◑𝐺 ∘ 𝑓) ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴) ↔ (◑𝐺 ∘ 𝑓):𝐴⟢2o))
1712, 16mpbird 167 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑓) ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴))
1817adantlr 477 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑓) ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴))
195, 6, 18rspcdva 2858 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o)
20 nfv 1538 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝐴 ∈ 𝑉
21 nfcv 2329 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(2o β†‘π‘š 𝐴)
22 nfra1 2518 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o
2322nfdc 1669 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o
2421, 23nfralxy 2525 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o
2520, 24nfan 1575 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o)
26 nfv 1538 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)
2725, 26nfan 1575 . . . . . . 7 β„²π‘₯((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴))
289ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:𝐴⟢{0, 1})
29 fvco3 5600 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴⟢{0, 1} ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)))
3028, 29sylancom 420 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)))
3130eqeq1d 2196 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
32 df-1o 6431 . . . . . . . . . . . 12 1o = suc βˆ…
3332fveq2i 5530 . . . . . . . . . . 11 (πΊβ€˜1o) = (πΊβ€˜suc βˆ…)
34 0zd 9279 . . . . . . . . . . . . 13 (⊀ β†’ 0 ∈ β„€)
35 peano1 4605 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ… ∈ Ο‰
3635a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (⊀ β†’ βˆ… ∈ Ο‰)
3734, 7, 36frec2uzsucd 10415 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ (πΊβ€˜suc βˆ…) = ((πΊβ€˜βˆ…) + 1))
3837mptru 1372 . . . . . . . . . . 11 (πΊβ€˜suc βˆ…) = ((πΊβ€˜βˆ…) + 1)
3934, 7frec2uz0d 10413 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊀ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = 0)
4039mptru 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πΊβ€˜βˆ…) = 0
4140oveq1i 5898 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜βˆ…) + 1) = (0 + 1)
42 0p1e1 9047 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
4341, 42eqtri 2208 . . . . . . . . . . 11 ((πΊβ€˜βˆ…) + 1) = 1
4433, 38, 433eqtri 2212 . . . . . . . . . 10 (πΊβ€˜1o) = 1
4544eqeq2i 2198 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜1o) ↔ (πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = 1)
467frechashgf1o 10442 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0
47 f1ocnv 5486 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ ◑𝐺:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰)
48 f1of 5473 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝐺:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ ◑𝐺:β„•0βŸΆΟ‰)
4946, 47, 48mp2b 8 . . . . . . . . . . . 12 ◑𝐺:β„•0βŸΆΟ‰
5049a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ◑𝐺:β„•0βŸΆΟ‰)
51 0nn0 9205 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ β„•0
52 1nn0 9206 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„•0
53 prssi 3762 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ {0, 1} βŠ† β„•0)
5451, 52, 53mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 {0, 1} βŠ† β„•0
55 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5628, 55ffvelcdmd 5665 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ {0, 1})
5754, 56sselid 3165 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
5850, 57ffvelcdmd 5665 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ Ο‰)
59 1onn 6535 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ Ο‰
60 f1of1 5472 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ 𝐺:ω–1-1β†’β„•0)
6146, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝐺:ω–1-1β†’β„•0
62 f1fveq 5786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ω–1-1β†’β„•0 ∧ ((β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ Ο‰ ∧ 1o ∈ Ο‰)) β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜1o) ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
6361, 62mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (((β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ Ο‰ ∧ 1o ∈ Ο‰) β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜1o) ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
6459, 63mpan2 425 . . . . . . . . . 10 ((β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ Ο‰ β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜1o) ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
6558, 64syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜1o) ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
6645, 65bitr3id 194 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = 1 ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
67 f1ocnvfv2 5792 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (π‘“β€˜π‘₯))
6846, 57, 67sylancr 414 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (π‘“β€˜π‘₯))
6968eqeq1d 2196 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = 1 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
7031, 66, 693bitr2d 216 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o ↔ (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
7127, 70ralbida 2481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
7271dcbid 839 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o ↔ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
7319, 72mpbid 147 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1)
7473ralrimiva 2560 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) β†’ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1)
75 fveq1 5526 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐺 ∘ 𝑔) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯))
7675eqeq1d 2196 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐺 ∘ 𝑔) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) = 1 ↔ ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1))
7776ralbidv 2487 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐺 ∘ 𝑔) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1))
7877dcbid 839 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐺 ∘ 𝑔) β†’ (DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1 ↔ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1))
79 simplr 528 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1)
8072o01f 15043 . . . . . . . 8 (𝐺 β†Ύ 2o):2o⟢{0, 1}
81 elmapi 6684 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴) β†’ 𝑔:𝐴⟢2o)
8281adantl 277 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ 𝑔:𝐴⟢2o)
83 fco2 5394 . . . . . . . 8 (((𝐺 β†Ύ 2o):2o⟢{0, 1} ∧ 𝑔:𝐴⟢2o) β†’ (𝐺 ∘ 𝑔):𝐴⟢{0, 1})
8480, 82, 83sylancr 414 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (𝐺 ∘ 𝑔):𝐴⟢{0, 1})
85 prexg 4223 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ {0, 1} ∈ V)
8651, 52, 85mp2an 426 . . . . . . . . 9 {0, 1} ∈ V
8786a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ {0, 1} ∈ V)
88 simpll 527 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
8987, 88elmapd 6676 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ ((𝐺 ∘ 𝑔) ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴) ↔ (𝐺 ∘ 𝑔):𝐴⟢{0, 1}))
9084, 89mpbird 167 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (𝐺 ∘ 𝑔) ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴))
9178, 79, 90rspcdva 2858 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1)
92 nfcv 2329 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)
93 nfra1 2518 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1
9493nfdc 1669 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1
9592, 94nfralxy 2525 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1
9620, 95nfan 1575 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1)
97 nfv 1538 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)
9896, 97nfan 1575 . . . . . . 7 β„²π‘₯((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴))
9981ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑔:𝐴⟢2o)
100 fvco3 5600 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:𝐴⟢2o ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)))
10199, 100sylancom 420 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)))
102101eqeq1d 2196 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1 ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
103 f1of 5473 . . . . . . . . . . 11 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0)
10446, 103mp1i 10 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0)
105 omelon 4620 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο‰ ∈ On
106105onelssi 4441 . . . . . . . . . . . . 13 (2o ∈ Ο‰ β†’ 2o βŠ† Ο‰)
10713, 106mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 2o βŠ† Ο‰)
10899, 107fssd 5390 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑔:π΄βŸΆΟ‰)
109 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
110108, 109ffvelcdmd 5665 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ Ο‰)
111104, 110ffvelcdmd 5665 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„•0)
112 f1ocnvfv 5793 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ 1o ∈ Ο‰) β†’ ((πΊβ€˜1o) = 1 β†’ (β—‘πΊβ€˜1) = 1o))
11346, 59, 112mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜1o) = 1 β†’ (β—‘πΊβ€˜1) = 1o)
11444, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (β—‘πΊβ€˜1) = 1o
115114eqeq2i 2198 . . . . . . . . . 10 ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (β—‘πΊβ€˜1) ↔ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = 1o)
116 f1of1 5472 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝐺:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ ◑𝐺:β„•0–1-1β†’Ο‰)
11746, 47, 116mp2b 8 . . . . . . . . . . . 12 ◑𝐺:β„•0–1-1β†’Ο‰
118 f1fveq 5786 . . . . . . . . . . . 12 ((◑𝐺:β„•0–1-1β†’Ο‰ ∧ ((πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0)) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (β—‘πΊβ€˜1) ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
119117, 118mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (((πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (β—‘πΊβ€˜1) ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
12052, 119mpan2 425 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„•0 β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (β—‘πΊβ€˜1) ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
121115, 120bitr3id 194 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„•0 β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = 1o ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
122111, 121syl 14 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = 1o ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
123 f1ocnvfv1 5791 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ Ο‰) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘”β€˜π‘₯))
12446, 110, 123sylancr 414 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘”β€˜π‘₯))
125124eqeq1d 2196 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = 1o ↔ (π‘”β€˜π‘₯) = 1o))
126102, 122, 1253bitr2d 216 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1 ↔ (π‘”β€˜π‘₯) = 1o))
12798, 126ralbida 2481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o))
128127dcbid 839 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1 ↔ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o))
12991, 128mpbid 147 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o)
130129ralrimiva 2560 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) β†’ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o)
13174, 130impbida 596 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o ↔ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
1321, 131bitrd 188 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∈ WOmni ↔ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1363  βŠ€wtru 1364   ∈ wcel 2158  βˆ€wral 2465  Vcvv 2749   βŠ† wss 3141  βˆ…c0 3434  {cpr 3605   ↦ cmpt 4076  suc csuc 4377  Ο‰com 4601  β—‘ccnv 4637   β†Ύ cres 4640   ∘ ccom 4642  βŸΆwf 5224  β€“1-1β†’wf1 5225  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 5227  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  freccfrec 6405  1oc1o 6424  2oc2o 6425   β†‘π‘š cmap 6662  WOmnicwomni 7175  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828  β„•0cn0 9190  β„€cz 9267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-recs 6320  df-frec 6406  df-1o 6431  df-2o 6432  df-map 6664  df-womni 7176  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543
This theorem is referenced by:  iswomninn  15095
  Copyright terms: Public domain W3C validator