Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iswomninnlem GIF version
Theorem iswomninnlem 14882
Description: Lemma for iswomnimap 7166. The result, with a hypothesis for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
iswomninnlem.g 𝐺 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
iswomninnlem (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∈ WOmni ↔ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,π‘₯   𝑓,𝐺,π‘₯   𝑓,𝑉,π‘₯
Proof of Theorem iswomninnlem
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswomnimap 7166 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∈ WOmni ↔ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o))
2 fveq1 5516 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (◑𝐺 ∘ 𝑓) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯))
32eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 (𝑔 = (◑𝐺 ∘ 𝑓) β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) = 1o ↔ ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o))
43ralbidv 2477 . . . . . . 7 (𝑔 = (◑𝐺 ∘ 𝑓) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o))
54dcbid 838 . . . . . 6 (𝑔 = (◑𝐺 ∘ 𝑓) β†’ (DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o ↔ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o))
6 simplr 528 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o)
7 iswomninnlem.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
87012of 14830 . . . . . . . . . 10 (◑𝐺 β†Ύ {0, 1}):{0, 1}⟢2o
9 elmapi 6672 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴) β†’ 𝑓:𝐴⟢{0, 1})
10 fco2 5384 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐺 β†Ύ {0, 1}):{0, 1}⟢2o ∧ 𝑓:𝐴⟢{0, 1}) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑓):𝐴⟢2o)
118, 9, 10sylancr 414 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑓):𝐴⟢2o)
1211adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑓):𝐴⟢2o)
13 2onn 6524 . . . . . . . . . 10 2o ∈ Ο‰
1413a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ 2o ∈ Ο‰)
15 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
1614, 15elmapd 6664 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ ((◑𝐺 ∘ 𝑓) ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴) ↔ (◑𝐺 ∘ 𝑓):𝐴⟢2o))
1712, 16mpbird 167 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑓) ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴))
1817adantlr 477 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (◑𝐺 ∘ 𝑓) ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴))
195, 6, 18rspcdva 2848 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o)
20 nfv 1528 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝐴 ∈ 𝑉
21 nfcv 2319 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(2o β†‘π‘š 𝐴)
22 nfra1 2508 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o
2322nfdc 1659 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o
2421, 23nfralxy 2515 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o
2520, 24nfan 1565 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o)
26 nfv 1528 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)
2725, 26nfan 1565 . . . . . . 7 β„²π‘₯((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴))
289ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:𝐴⟢{0, 1})
29 fvco3 5589 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴⟢{0, 1} ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)))
3028, 29sylancom 420 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)))
3130eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
32 df-1o 6419 . . . . . . . . . . . 12 1o = suc βˆ…
3332fveq2i 5520 . . . . . . . . . . 11 (πΊβ€˜1o) = (πΊβ€˜suc βˆ…)
34 0zd 9267 . . . . . . . . . . . . 13 (⊀ β†’ 0 ∈ β„€)
35 peano1 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ… ∈ Ο‰
3635a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (⊀ β†’ βˆ… ∈ Ο‰)
3734, 7, 36frec2uzsucd 10403 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ (πΊβ€˜suc βˆ…) = ((πΊβ€˜βˆ…) + 1))
3837mptru 1362 . . . . . . . . . . 11 (πΊβ€˜suc βˆ…) = ((πΊβ€˜βˆ…) + 1)
3934, 7frec2uz0d 10401 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊀ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = 0)
4039mptru 1362 . . . . . . . . . . . . 13 (πΊβ€˜βˆ…) = 0
4140oveq1i 5887 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜βˆ…) + 1) = (0 + 1)
42 0p1e1 9035 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
4341, 42eqtri 2198 . . . . . . . . . . 11 ((πΊβ€˜βˆ…) + 1) = 1
4433, 38, 433eqtri 2202 . . . . . . . . . 10 (πΊβ€˜1o) = 1
4544eqeq2i 2188 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜1o) ↔ (πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = 1)
467frechashgf1o 10430 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0
47 f1ocnv 5476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ ◑𝐺:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰)
48 f1of 5463 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝐺:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ ◑𝐺:β„•0βŸΆΟ‰)
4946, 47, 48mp2b 8 . . . . . . . . . . . 12 ◑𝐺:β„•0βŸΆΟ‰
5049a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ◑𝐺:β„•0βŸΆΟ‰)
51 0nn0 9193 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ β„•0
52 1nn0 9194 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„•0
53 prssi 3752 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ {0, 1} βŠ† β„•0)
5451, 52, 53mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 {0, 1} βŠ† β„•0
55 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5628, 55ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ {0, 1})
5754, 56sselid 3155 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
5850, 57ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ Ο‰)
59 1onn 6523 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ Ο‰
60 f1of1 5462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ 𝐺:ω–1-1β†’β„•0)
6146, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝐺:ω–1-1β†’β„•0
62 f1fveq 5775 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ω–1-1β†’β„•0 ∧ ((β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ Ο‰ ∧ 1o ∈ Ο‰)) β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜1o) ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
6361, 62mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (((β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ Ο‰ ∧ 1o ∈ Ο‰) β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜1o) ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
6459, 63mpan2 425 . . . . . . . . . 10 ((β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ Ο‰ β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜1o) ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
6558, 64syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜1o) ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
6645, 65bitr3id 194 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = 1 ↔ (β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = 1o))
67 f1ocnvfv2 5781 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (π‘“β€˜π‘₯))
6846, 57, 67sylancr 414 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = (π‘“β€˜π‘₯))
6968eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜(β—‘πΊβ€˜(π‘“β€˜π‘₯))) = 1 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
7031, 66, 693bitr2d 216 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o ↔ (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
7127, 70ralbida 2471 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
7271dcbid 838 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((◑𝐺 ∘ 𝑓)β€˜π‘₯) = 1o ↔ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
7319, 72mpbid 147 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)) β†’ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1)
7473ralrimiva 2550 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o) β†’ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1)
75 fveq1 5516 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐺 ∘ 𝑔) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯))
7675eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐺 ∘ 𝑔) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) = 1 ↔ ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1))
7776ralbidv 2477 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐺 ∘ 𝑔) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1))
7877dcbid 838 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐺 ∘ 𝑔) β†’ (DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1 ↔ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1))
79 simplr 528 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1)
8072o01f 14831 . . . . . . . 8 (𝐺 β†Ύ 2o):2o⟢{0, 1}
81 elmapi 6672 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴) β†’ 𝑔:𝐴⟢2o)
8281adantl 277 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ 𝑔:𝐴⟢2o)
83 fco2 5384 . . . . . . . 8 (((𝐺 β†Ύ 2o):2o⟢{0, 1} ∧ 𝑔:𝐴⟢2o) β†’ (𝐺 ∘ 𝑔):𝐴⟢{0, 1})
8480, 82, 83sylancr 414 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (𝐺 ∘ 𝑔):𝐴⟢{0, 1})
85 prexg 4213 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ {0, 1} ∈ V)
8651, 52, 85mp2an 426 . . . . . . . . 9 {0, 1} ∈ V
8786a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ {0, 1} ∈ V)
88 simpll 527 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
8987, 88elmapd 6664 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ ((𝐺 ∘ 𝑔) ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴) ↔ (𝐺 ∘ 𝑔):𝐴⟢{0, 1}))
9084, 89mpbird 167 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (𝐺 ∘ 𝑔) ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴))
9178, 79, 90rspcdva 2848 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1)
92 nfcv 2319 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)
93 nfra1 2508 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1
9493nfdc 1659 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1
9592, 94nfralxy 2515 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1
9620, 95nfan 1565 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1)
97 nfv 1528 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)
9896, 97nfan 1565 . . . . . . 7 β„²π‘₯((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴))
9981ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑔:𝐴⟢2o)
100 fvco3 5589 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:𝐴⟢2o ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)))
10199, 100sylancom 420 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)))
102101eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1 ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
103 f1of 5463 . . . . . . . . . . 11 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0)
10446, 103mp1i 10 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0)
105 omelon 4610 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο‰ ∈ On
106105onelssi 4431 . . . . . . . . . . . . 13 (2o ∈ Ο‰ β†’ 2o βŠ† Ο‰)
10713, 106mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 2o βŠ† Ο‰)
10899, 107fssd 5380 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑔:π΄βŸΆΟ‰)
109 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
110108, 109ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ Ο‰)
111104, 110ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„•0)
112 f1ocnvfv 5782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ 1o ∈ Ο‰) β†’ ((πΊβ€˜1o) = 1 β†’ (β—‘πΊβ€˜1) = 1o))
11346, 59, 112mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜1o) = 1 β†’ (β—‘πΊβ€˜1) = 1o)
11444, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (β—‘πΊβ€˜1) = 1o
115114eqeq2i 2188 . . . . . . . . . 10 ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (β—‘πΊβ€˜1) ↔ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = 1o)
116 f1of1 5462 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝐺:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ ◑𝐺:β„•0–1-1β†’Ο‰)
11746, 47, 116mp2b 8 . . . . . . . . . . . 12 ◑𝐺:β„•0–1-1β†’Ο‰
118 f1fveq 5775 . . . . . . . . . . . 12 ((◑𝐺:β„•0–1-1β†’Ο‰ ∧ ((πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0)) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (β—‘πΊβ€˜1) ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
119117, 118mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (((πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (β—‘πΊβ€˜1) ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
12052, 119mpan2 425 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„•0 β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (β—‘πΊβ€˜1) ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
121115, 120bitr3id 194 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„•0 β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = 1o ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
122111, 121syl 14 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = 1o ↔ (πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯)) = 1))
123 f1ocnvfv1 5780 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ Ο‰) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘”β€˜π‘₯))
12446, 110, 123sylancr 414 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘”β€˜π‘₯))
125124eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜(π‘”β€˜π‘₯))) = 1o ↔ (π‘”β€˜π‘₯) = 1o))
126102, 122, 1253bitr2d 216 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1 ↔ (π‘”β€˜π‘₯) = 1o))
12798, 126ralbida 2471 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o))
128127dcbid 838 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ (DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐺 ∘ 𝑔)β€˜π‘₯) = 1 ↔ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o))
12991, 128mpbid 147 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) ∧ 𝑔 ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)) β†’ DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o)
130129ralrimiva 2550 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1) β†’ βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o)
13174, 130impbida 596 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘” ∈ (2o β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) = 1o ↔ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
1321, 131bitrd 188 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∈ WOmni ↔ βˆ€π‘“ ∈ ({0, 1} β†‘π‘š 𝐴)DECID βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353  βŠ€wtru 1354   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2739   βŠ† wss 3131  βˆ…c0 3424  {cpr 3595   ↦ cmpt 4066  suc csuc 4367  Ο‰com 4591  β—‘ccnv 4627   β†Ύ cres 4630   ∘ ccom 4632  βŸΆwf 5214  β€“1-1β†’wf1 5215  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 5217  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  freccfrec 6393  1oc1o 6412  2oc2o 6413   β†‘π‘š cmap 6650  WOmnicwomni 7163  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816  β„•0cn0 9178  β„€cz 9255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-map 6652  df-womni 7164  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531
This theorem is referenced by:  iswomninn  14883
  Copyright terms: Public domain W3C validator