Theorem fniniseg 5678

Description: Membership in the preimage of a singleton, under a function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fniniseg	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)))

Proof of Theorem fniniseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreima 5677	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵})))
2		funfvex 5571	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐶 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐶) ∈ V)
3		elsng 3633	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ V → ((𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹‘𝐶) = 𝐵))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐶 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹‘𝐶) = 𝐵))
5	4	funfni 5354	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹‘𝐶) = 𝐵))
6	5	pm5.32da 452	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)))
7	1, 6	bitrd 188	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  {csn 3618  ^◡ccnv 4658  dom cdm 4659   “ cima 4662  Fun wfun 5248   Fn wfn 5249  ‘cfv 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262

This theorem is referenced by:  pw2f1odclem  6890  ghmeqker  13341  pilem1  14914  taupi  15563