Theorem taupi 14983

Description: Relationship between τ and π. This can be seen as connecting the ratio of a circle's circumference to its radius and the ratio of a circle's circumference to its diameter. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
taupi	⊢ τ = (2 · π)

Proof of Theorem taupi

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tau 11786	. 2 ⊢ τ = inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < )
2		lttri3 8040	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4		2re 8992	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		pire 14368	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
6	4, 5	remulcli 7974	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · π) ∈ ℝ)
8		2rp 9661	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9		pirp 14371	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ+
10		rpmulcl 9681	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
11	8, 9, 10	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
12	6	recni 7972	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
13		cos2pi 14386	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘(2 · π)) = 1
14		cosf 11716	. . . . . . . . 9 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
15		ffn 5367	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ cos Fn ℂ
17		fniniseg 5639	. . . . . . . 8 ⊢ (cos Fn ℂ → ((2 · π) ∈ (◡cos “ {1}) ↔ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (cos‘(2 · π)) = 1)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · π) ∈ (◡cos “ {1}) ↔ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (cos‘(2 · π)) = 1))
19	12, 13, 18	mpbir2an 942	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ (◡cos “ {1})
20	11, 19	elini 3321	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))
21	20	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})))
22		elinel2 3324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 𝑥 ∈ (◡cos “ {1}))
23		fniniseg 5639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡cos “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1)))
24	16, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡cos “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1))
25	22, 24	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1))
26	25	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → (cos‘𝑥) = 1)
27	26	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → (cos‘𝑥) = 1)
28		elinel1 3323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 𝑥 ∈ ℝ+)
29	28	rpred 9699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 𝑥 ∈ ℝ)
30	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
31	28	rpgt0d 9702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 0 < 𝑥)
32	31	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 0 < 𝑥)
33		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 < (2 · π))
34		0xr 8007	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
35	6	rexri 8018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
36		elioo2 9924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · π))))
37	34, 35, 36	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · π)))
38	30, 32, 33, 37	syl3anbrc 1181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)))
39		cos02pilt1 14433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝑥) < 1)
40	38, 39	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → (cos‘𝑥) < 1)
41	27, 40	eqbrtrrd 4029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 1 < 1)
42		1red 7975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 1 ∈ ℝ)
43	42	ltnrd 8072	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → ¬ 1 < 1)
44	41, 43	pm2.65da 661	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → ¬ 𝑥 < (2 · π))
45	44	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))) → ¬ 𝑥 < (2 · π))
46	3, 7, 21, 45	infminti 7029	. . 3 ⊢ (⊤ → inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) = (2 · π))
47	46	mptru 1362	. 2 ⊢ inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) = (2 · π)
48	1, 47	eqtri 2198	1 ⊢ τ = (2 · π)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353  ⊤wtru 1354   ∈ wcel 2148   ∩ cin 3130  {csn 3594   class class class wbr 4005  ^◡ccnv 4627   “ cima 4631   Fn wfn 5213  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  infcinf 6985  ℂcc 7812  ℝcr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   · cmul 7819  ℝ^*cxr 7994   < clt 7995  2c2 8973  ℝ⁺crp 9656  (,)cioo 9891  cosccos 11656  πcpi 11658  τctau 11785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934  ax-pre-suploc 7935  ax-addf 7936  ax-mulf 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-of 6086  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-map 6653  df-pm 6654  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-9 8988  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-xneg 9775  df-xadd 9776  df-ioo 9895  df-ioc 9896  df-ico 9897  df-icc 9898  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-bc 10731  df-ihash 10759  df-shft 10827  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365  df-ef 11659  df-sin 11661  df-cos 11662  df-pi 11664  df-tau 11786  df-rest 12696  df-topgen 12715  df-psmet 13594  df-xmet 13595  df-met 13596  df-bl 13597  df-mopn 13598  df-top 13659  df-topon 13672  df-bases 13704  df-ntr 13757  df-cn 13849  df-cnp 13850  df-tx 13914  df-cncf 14219  df-limced 14286  df-dvap 14287

This theorem is referenced by: (None)