Theorem taupi 16627

Description: Relationship between τ and π. This can be seen as connecting the ratio of a circle's circumference to its radius and the ratio of a circle's circumference to its diameter. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
taupi	⊢ τ = (2 · π)

Proof of Theorem taupi

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tau 12330	. 2 ⊢ τ = inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < )
2		lttri3 8252	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4		2re 9206	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		pire 15503	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
6	4, 5	remulcli 8186	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · π) ∈ ℝ)
8		2rp 9886	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9		pirp 15506	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ+
10		rpmulcl 9906	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
11	8, 9, 10	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
12	6	recni 8184	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
13		cos2pi 15521	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘(2 · π)) = 1
14		cosf 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
15		ffn 5479	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ cos Fn ℂ
17		fniniseg 5763	. . . . . . . 8 ⊢ (cos Fn ℂ → ((2 · π) ∈ (◡cos “ {1}) ↔ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (cos‘(2 · π)) = 1)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · π) ∈ (◡cos “ {1}) ↔ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (cos‘(2 · π)) = 1))
19	12, 13, 18	mpbir2an 948	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ (◡cos “ {1})
20	11, 19	elini 3389	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))
21	20	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})))
22		elinel2 3392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 𝑥 ∈ (◡cos “ {1}))
23		fniniseg 5763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡cos “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1)))
24	16, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡cos “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1))
25	22, 24	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1))
26	25	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → (cos‘𝑥) = 1)
27	26	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → (cos‘𝑥) = 1)
28		elinel1 3391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 𝑥 ∈ ℝ+)
29	28	rpred 9924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 𝑥 ∈ ℝ)
30	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
31	28	rpgt0d 9927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 0 < 𝑥)
32	31	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 0 < 𝑥)
33		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 < (2 · π))
34		0xr 8219	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
35	6	rexri 8230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
36		elioo2 10149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · π))))
37	34, 35, 36	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · π)))
38	30, 32, 33, 37	syl3anbrc 1205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)))
39		cos02pilt1 15568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝑥) < 1)
40	38, 39	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → (cos‘𝑥) < 1)
41	27, 40	eqbrtrrd 4110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 1 < 1)
42		1red 8187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 1 ∈ ℝ)
43	42	ltnrd 8284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → ¬ 1 < 1)
44	41, 43	pm2.65da 665	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → ¬ 𝑥 < (2 · π))
45	44	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))) → ¬ 𝑥 < (2 · π))
46	3, 7, 21, 45	infminti 7220	. . 3 ⊢ (⊤ → inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) = (2 · π))
47	46	mptru 1404	. 2 ⊢ inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) = (2 · π)
48	1, 47	eqtri 2250	1 ⊢ τ = (2 · π)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200   ∩ cin 3197  {csn 3667   class class class wbr 4086  ^◡ccnv 4722   “ cima 4726   Fn wfn 5319  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  infcinf 7176  ℂcc 8023  ℝcr 8024  0cc0 8025  1c1 8026   · cmul 8030  ℝ^*cxr 8206   < clt 8207  2c2 9187  ℝ⁺crp 9881  (,)cioo 10116  cosccos 12199  πcpi 12201  τctau 12329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145  ax-pre-suploc 8146  ax-addf 8147  ax-mulf 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-disj 4063  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-map 6814  df-pm 6815  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7177  df-inf 7178  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-xneg 10000  df-xadd 10001  df-ioo 10120  df-ioc 10121  df-ico 10122  df-icc 10123  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-fac 10981  df-bc 11003  df-ihash 11031  df-shft 11369  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-clim 11833  df-sumdc 11908  df-ef 12202  df-sin 12204  df-cos 12205  df-pi 12207  df-tau 12330  df-rest 13317  df-topgen 13336  df-psmet 14550  df-xmet 14551  df-met 14552  df-bl 14553  df-mopn 14554  df-top 14715  df-topon 14728  df-bases 14760  df-ntr 14813  df-cn 14905  df-cnp 14906  df-tx 14970  df-cncf 15288  df-limced 15373  df-dvap 15374

This theorem is referenced by: (None)