Theorem taupi 16786

Description: Relationship between τ and π. This can be seen as connecting the ratio of a circle's circumference to its radius and the ratio of a circle's circumference to its diameter. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
taupi	⊢ τ = (2 · π)

Proof of Theorem taupi

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tau 12398	. 2 ⊢ τ = inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < )
2		lttri3 8302	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4		2re 9256	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		pire 15577	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
6	4, 5	remulcli 8236	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · π) ∈ ℝ)
8		2rp 9936	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9		pirp 15580	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ+
10		rpmulcl 9956	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
11	8, 9, 10	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
12	6	recni 8234	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
13		cos2pi 15595	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘(2 · π)) = 1
14		cosf 12327	. . . . . . . . 9 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
15		ffn 5489	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ cos Fn ℂ
17		fniniseg 5776	. . . . . . . 8 ⊢ (cos Fn ℂ → ((2 · π) ∈ (◡cos “ {1}) ↔ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (cos‘(2 · π)) = 1)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · π) ∈ (◡cos “ {1}) ↔ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (cos‘(2 · π)) = 1))
19	12, 13, 18	mpbir2an 951	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ (◡cos “ {1})
20	11, 19	elini 3393	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))
21	20	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})))
22		elinel2 3396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 𝑥 ∈ (◡cos “ {1}))
23		fniniseg 5776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡cos “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1)))
24	16, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡cos “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1))
25	22, 24	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1))
26	25	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → (cos‘𝑥) = 1)
27	26	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → (cos‘𝑥) = 1)
28		elinel1 3395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 𝑥 ∈ ℝ+)
29	28	rpred 9974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 𝑥 ∈ ℝ)
30	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
31	28	rpgt0d 9977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 0 < 𝑥)
32	31	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 0 < 𝑥)
33		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 < (2 · π))
34		0xr 8269	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
35	6	rexri 8280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
36		elioo2 10199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · π))))
37	34, 35, 36	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · π)))
38	30, 32, 33, 37	syl3anbrc 1208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)))
39		cos02pilt1 15642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝑥) < 1)
40	38, 39	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → (cos‘𝑥) < 1)
41	27, 40	eqbrtrrd 4117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 1 < 1)
42		1red 8237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 1 ∈ ℝ)
43	42	ltnrd 8334	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → ¬ 1 < 1)
44	41, 43	pm2.65da 667	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → ¬ 𝑥 < (2 · π))
45	44	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))) → ¬ 𝑥 < (2 · π))
46	3, 7, 21, 45	infminti 7269	. . 3 ⊢ (⊤ → inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) = (2 · π))
47	46	mptru 1407	. 2 ⊢ inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) = (2 · π)
48	1, 47	eqtri 2252	1 ⊢ τ = (2 · π)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2202   ∩ cin 3200  {csn 3673   class class class wbr 4093  ^◡ccnv 4730   “ cima 4734   Fn wfn 5328  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  infcinf 7225  ℂcc 8073  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   · cmul 8080  ℝ^*cxr 8256   < clt 8257  2c2 9237  ℝ⁺crp 9931  (,)cioo 10166  cosccos 12267  πcpi 12269  τctau 12397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-pre-suploc 8196  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-xneg 10050  df-xadd 10051  df-ioo 10170  df-ioc 10171  df-ico 10172  df-icc 10173  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-fac 11032  df-bc 11054  df-ihash 11082  df-shft 11436  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-sumdc 11975  df-ef 12270  df-sin 12272  df-cos 12273  df-pi 12275  df-tau 12398  df-rest 13385  df-topgen 13404  df-psmet 14619  df-xmet 14620  df-met 14621  df-bl 14622  df-mopn 14623  df-top 14789  df-topon 14802  df-bases 14834  df-ntr 14887  df-cn 14979  df-cnp 14980  df-tx 15044  df-cncf 15362  df-limced 15447  df-dvap 15448

This theorem is referenced by: (None)