Theorem taupi 17342

Description: Relationship between τ and π. This can be seen as connecting the ratio of a circle's circumference to its radius and the ratio of a circle's circumference to its diameter. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
taupi	⊢ τ = (2 · π)

Proof of Theorem taupi

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tau 12569	. 2 ⊢ τ = inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < )
2		lttri3 8412	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4		2re 9384	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		pire 16025	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
6	4, 5	remulcli 8347	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · π) ∈ ℝ)
8		2rp 10077	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9		pirp 16028	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ+
10		rpmulcl 10097	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
11	8, 9, 10	mp2an 430	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
12	6	recni 8345	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
13		cos2pi 16043	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘(2 · π)) = 1
14		cosf 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
15		ffn 5536	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ cos Fn ℂ
17		fniniseg 5832	. . . . . . . 8 ⊢ (cos Fn ℂ → ((2 · π) ∈ (◡cos “ {1}) ↔ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (cos‘(2 · π)) = 1)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · π) ∈ (◡cos “ {1}) ↔ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (cos‘(2 · π)) = 1))
19	12, 13, 18	mpbir2an 955	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ (◡cos “ {1})
20	11, 19	elini 3413	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))
21	20	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})))
22		elinel2 3416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 𝑥 ∈ (◡cos “ {1}))
23		fniniseg 5832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡cos “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1)))
24	16, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡cos “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1))
25	22, 24	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1))
26	25	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → (cos‘𝑥) = 1)
27	26	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → (cos‘𝑥) = 1)
28		elinel1 3415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 𝑥 ∈ ℝ+)
29	28	rpred 10115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 𝑥 ∈ ℝ)
30	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
31	28	rpgt0d 10118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 0 < 𝑥)
32	31	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 0 < 𝑥)
33		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 < (2 · π))
34		0xr 8379	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
35	6	rexri 8390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
36		elioo2 10341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · π))))
37	34, 35, 36	mp2an 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · π)))
38	30, 32, 33, 37	syl3anbrc 1212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)))
39		cos02pilt1 16091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝑥) < 1)
40	38, 39	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → (cos‘𝑥) < 1)
41	27, 40	eqbrtrrd 4155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 1 < 1)
42		1red 8348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 1 ∈ ℝ)
43	42	ltnrd 8445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → ¬ 1 < 1)
44	41, 43	pm2.65da 671	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → ¬ 𝑥 < (2 · π))
45	44	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))) → ¬ 𝑥 < (2 · π))
46	3, 7, 21, 45	infminti 7374	. . 3 ⊢ (⊤ → inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) = (2 · π))
47	46	mptru 1411	. 2 ⊢ inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) = (2 · π)
48	1, 47	eqtri 2259	1 ⊢ τ = (2 · π)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219  {csn 3709   class class class wbr 4131  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  infcinf 7330  ℂcc 8184  ℝcr 8185  0cc0 8186  1c1 8187   · cmul 8191  ℝ^*cxr 8366   < clt 8367  2c2 9365  ℝ⁺crp 10072  (,)cioo 10308  cosccos 12438  πcpi 12440  τctau 12568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306  ax-pre-suploc 8307  ax-addf 8308  ax-mulf 8309

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-pm 6929  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-xneg 10192  df-xadd 10193  df-ioo 10312  df-ioc 10313  df-ico 10314  df-icc 10315  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-fac 11187  df-bc 11209  df-ihash 11238  df-shft 11603  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146  df-ef 12441  df-sin 12443  df-cos 12444  df-pi 12446  df-tau 12569  df-rest 13655  df-topgen 13674  df-psmet 14990  df-xmet 14991  df-met 14992  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-top 15236  df-topon 15249  df-bases 15281  df-ntr 15334  df-cn 15426  df-cnp 15427  df-tx 15491  df-cncf 15809  df-limced 15894  df-dvap 15895

This theorem is used by: (None)