Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  taupi GIF version

Theorem taupi 13641
Description: Relationship between τ and π. This can be seen as connecting the ratio of a circle's circumference to its radius and the ratio of a circle's circumference to its diameter. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
taupi τ = (2 · π)

Proof of Theorem taupi
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-tau 11672 . 2 τ = inf((ℝ+ ∩ (cos “ {1})), ℝ, < )
2 lttri3 7957 . . . . 5 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
32adantl 275 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4 2re 8903 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
5 pire 13107 . . . . . 6 π ∈ ℝ
64, 5remulcli 7892 . . . . 5 (2 · π) ∈ ℝ
76a1i 9 . . . 4 (⊤ → (2 · π) ∈ ℝ)
8 2rp 9565 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
9 pirp 13110 . . . . . . 7 π ∈ ℝ+
10 rpmulcl 9585 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
118, 9, 10mp2an 423 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ+
126recni 7890 . . . . . . 7 (2 · π) ∈ ℂ
13 cos2pi 13125 . . . . . . 7 (cos‘(2 · π)) = 1
14 cosf 11602 . . . . . . . . 9 cos:ℂ⟶ℂ
15 ffn 5319 . . . . . . . . 9 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 cos Fn ℂ
17 fniniseg 5587 . . . . . . . 8 (cos Fn ℂ → ((2 · π) ∈ (cos “ {1}) ↔ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (cos‘(2 · π)) = 1)))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 ((2 · π) ∈ (cos “ {1}) ↔ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (cos‘(2 · π)) = 1))
1912, 13, 18mpbir2an 927 . . . . . 6 (2 · π) ∈ (cos “ {1})
2011, 19elini 3291 . . . . 5 (2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1}))
2120a1i 9 . . . 4 (⊤ → (2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})))
22 elinel2 3294 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) → 𝑥 ∈ (cos “ {1}))
23 fniniseg 5587 . . . . . . . . . . 11 (cos Fn ℂ → (𝑥 ∈ (cos “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1)))
2416, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (cos “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1))
2522, 24sylib 121 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1))
2625simprd 113 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) → (cos‘𝑥) = 1)
2726adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → (cos‘𝑥) = 1)
28 elinel1 3293 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2928rpred 9603 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) → 𝑥 ∈ ℝ)
3029adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3128rpgt0d 9606 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) → 0 < 𝑥)
3231adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 0 < 𝑥)
33 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 < (2 · π))
34 0xr 7924 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
356rexri 7935 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ∈ ℝ*
36 elioo2 9825 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 < (2 · π))))
3734, 35, 36mp2an 423 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 < (2 · π)))
3830, 32, 33, 37syl3anbrc 1166 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)))
39 cos02pilt1 13172 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝑥) < 1)
4038, 39syl 14 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → (cos‘𝑥) < 1)
4127, 40eqbrtrrd 3988 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 1 < 1)
42 1red 7893 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 1 ∈ ℝ)
4342ltnrd 7988 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → ¬ 1 < 1)
4441, 43pm2.65da 651 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1})) → ¬ 𝑥 < (2 · π))
4544adantl 275 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (cos “ {1}))) → ¬ 𝑥 < (2 · π))
463, 7, 21, 45infminti 6971 . . 3 (⊤ → inf((ℝ+ ∩ (cos “ {1})), ℝ, < ) = (2 · π))
4746mptru 1344 . 2 inf((ℝ+ ∩ (cos “ {1})), ℝ, < ) = (2 · π)
481, 47eqtri 2178 1 τ = (2 · π)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1335  wtru 1336  wcel 2128  cin 3101  {csn 3560   class class class wbr 3965  ccnv 4585  cima 4589   Fn wfn 5165  wf 5166  cfv 5170  (class class class)co 5824  infcinf 6927  cc 7730  cr 7731  0cc0 7732  1c1 7733   · cmul 7737  *cxr 7911   < clt 7912  2c2 8884  +crp 9560  (,)cioo 9792  cosccos 11542  πcpi 11544  τctau 11671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852  ax-pre-suploc 7853  ax-addf 7854  ax-mulf 7855
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-disj 3943  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-of 6032  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-frec 6338  df-1o 6363  df-oadd 6367  df-er 6480  df-map 6595  df-pm 6596  df-en 6686  df-dom 6687  df-fin 6688  df-sup 6928  df-inf 6929  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-5 8895  df-6 8896  df-7 8897  df-8 8898  df-9 8899  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-xneg 9679  df-xadd 9680  df-ioo 9796  df-ioc 9797  df-ico 9798  df-icc 9799  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-fac 10600  df-bc 10622  df-ihash 10650  df-shft 10715  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176  df-sumdc 11251  df-ef 11545  df-sin 11547  df-cos 11548  df-pi 11550  df-tau 11672  df-rest 12353  df-topgen 12372  df-psmet 12387  df-xmet 12388  df-met 12389  df-bl 12390  df-mopn 12391  df-top 12396  df-topon 12409  df-bases 12441  df-ntr 12496  df-cn 12588  df-cnp 12589  df-tx 12653  df-cncf 12958  df-limced 13025  df-dvap 13026
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator