Theorem taupi 15717

Description: Relationship between τ and π. This can be seen as connecting the ratio of a circle's circumference to its radius and the ratio of a circle's circumference to its diameter. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
taupi	⊢ τ = (2 · π)

Proof of Theorem taupi

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tau 11941	. 2 ⊢ τ = inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < )
2		lttri3 8106	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4		2re 9060	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		pire 15022	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
6	4, 5	remulcli 8040	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · π) ∈ ℝ)
8		2rp 9733	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9		pirp 15025	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ+
10		rpmulcl 9753	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
11	8, 9, 10	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
12	6	recni 8038	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
13		cos2pi 15040	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘(2 · π)) = 1
14		cosf 11870	. . . . . . . . 9 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
15		ffn 5407	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ cos Fn ℂ
17		fniniseg 5682	. . . . . . . 8 ⊢ (cos Fn ℂ → ((2 · π) ∈ (◡cos “ {1}) ↔ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (cos‘(2 · π)) = 1)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · π) ∈ (◡cos “ {1}) ↔ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (cos‘(2 · π)) = 1))
19	12, 13, 18	mpbir2an 944	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ (◡cos “ {1})
20	11, 19	elini 3347	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))
21	20	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})))
22		elinel2 3350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 𝑥 ∈ (◡cos “ {1}))
23		fniniseg 5682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡cos “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1)))
24	16, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡cos “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1))
25	22, 24	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) = 1))
26	25	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → (cos‘𝑥) = 1)
27	26	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → (cos‘𝑥) = 1)
28		elinel1 3349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 𝑥 ∈ ℝ+)
29	28	rpred 9771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 𝑥 ∈ ℝ)
30	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
31	28	rpgt0d 9774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → 0 < 𝑥)
32	31	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 0 < 𝑥)
33		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 < (2 · π))
34		0xr 8073	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
35	6	rexri 8084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
36		elioo2 9996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · π))))
37	34, 35, 36	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · π)))
38	30, 32, 33, 37	syl3anbrc 1183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)))
39		cos02pilt1 15087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝑥) < 1)
40	38, 39	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → (cos‘𝑥) < 1)
41	27, 40	eqbrtrrd 4057	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 1 < 1)
42		1red 8041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → 1 ∈ ℝ)
43	42	ltnrd 8138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ∧ 𝑥 < (2 · π)) → ¬ 1 < 1)
44	41, 43	pm2.65da 662	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → ¬ 𝑥 < (2 · π))
45	44	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))) → ¬ 𝑥 < (2 · π))
46	3, 7, 21, 45	infminti 7093	. . 3 ⊢ (⊤ → inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) = (2 · π))
47	46	mptru 1373	. 2 ⊢ inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) = (2 · π)
48	1, 47	eqtri 2217	1 ⊢ τ = (2 · π)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2167   ∩ cin 3156  {csn 3622   class class class wbr 4033  ^◡ccnv 4662   “ cima 4666   Fn wfn 5253  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  infcinf 7049  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   · cmul 7884  ℝ^*cxr 8060   < clt 8061  2c2 9041  ℝ⁺crp 9728  (,)cioo 9963  cosccos 11810  πcpi 11812  τctau 11940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-pre-suploc 8000  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-map 6709  df-pm 6710  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-ioo 9967  df-ioc 9968  df-ico 9969  df-icc 9970  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-bc 10840  df-ihash 10868  df-shft 10980  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-ef 11813  df-sin 11815  df-cos 11816  df-pi 11818  df-tau 11941  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-ntr 14332  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-cncf 14807  df-limced 14892  df-dvap 14893

This theorem is referenced by: (None)