Theorem funfni 5358

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
funfni	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5355	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
3		fndm 5357	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	eleq2d 2266	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	4	biimpar 297	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
6		funfni.1	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
7	2, 5, 6	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  dom cdm 4663  Fun wfun 5252   Fn wfn 5253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-ial 1548  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-fn 5261

This theorem is referenced by:  fneu  5362  fnbrfvb  5601  fvelrnb  5608  fvelimab  5617  fniinfv  5619  fvco2  5630  eqfnfv  5659  fndmdif  5667  fndmin  5669  elpreima  5681  fniniseg  5682  fniniseg2  5684  fnniniseg2  5685  rexsupp  5686  fnopfv  5692  fnfvelrn  5694  rexrn  5699  ralrn  5700  fsn2  5736  fnressn  5748  eufnfv  5793  rexima  5801  ralima  5802  fniunfv  5809  dff13  5815  foeqcnvco  5837  f1eqcocnv  5838  isocnv2  5859  isoini  5865  f1oiso  5873  fnovex  5955  suppssof1  6153  offveqb  6155  1stexg  6225  2ndexg  6226  smoiso  6360  rdgruledefgg  6433  rdgivallem  6439  frectfr  6458  frecrdg  6466  en1  6858  fnfi  7002  ordiso2  7101  cc2lem  7333  slotex  12705  ressbas2d  12746  ressbasid  12748  strressid  12749  ressval3d  12750  prdsex  12940  imasex  12948  imasival  12949  imasbas  12950  imasplusg  12951  imasmulr  12952  imasaddfn  12960  imasaddval  12961  imasaddf  12962  imasmulfn  12963  imasmulval  12964  imasmulf  12965  qusval  12966  qusex  12968  qusaddvallemg  12976  qusaddflemg  12977  qusaddval  12978  qusaddf  12979  qusmulval  12980  qusmulf  12981  xpsfeq  12988  xpsval  12995  ismgm  13000  plusffvalg  13005  grpidvalg  13016  fn0g  13018  fngsum  13031  igsumvalx  13032  gsumfzval  13034  gsumress  13038  gsum0g  13039  issgrp  13046  ismnddef  13059  issubmnd  13083  ress0g  13084  ismhm  13093  mhmex  13094  issubm  13104  0mhm  13118  grppropstrg  13151  grpinvfvalg  13174  grpinvval  13175  grpinvfng  13176  grpsubfvalg  13177  grpsubval  13178  grpressid  13193  grplactfval  13233  qusgrp2  13243  mulgfvalg  13251  mulgval  13252  mulgex  13253  mulgfng  13254  issubg  13303  subgex  13306  issubg2m  13319  isnsg  13332  releqgg  13350  eqgex  13351  eqgfval  13352  eqgen  13357  isghm  13373  ablressid  13465  mgptopng  13485  isrng  13490  rngressid  13510  qusrng  13514  dfur2g  13518  issrg  13521  isring  13556  ringidss  13585  ringressid  13619  qusring2  13622  reldvdsrsrg  13648  dvdsrvald  13649  dvdsrex  13654  unitgrp  13672  unitabl  13673  invrfvald  13678  unitlinv  13682  unitrinv  13683  dvrfvald  13689  rdivmuldivd  13700  invrpropdg  13705  dfrhm2  13710  rhmex  13713  rhmunitinv  13734  isnzr2  13740  issubrng  13755  issubrg  13777  subrgugrp  13796  rrgval  13818  isdomn  13825  aprval  13838  aprap  13842  islmod  13847  scaffvalg  13862  rmodislmod  13907  lssex  13910  lsssetm  13912  islssm  13913  islssmg  13914  islss3  13935  lspfval  13944  lspval  13946  lspcl  13947  lspex  13951  sraval  13993  sralemg  13994  srascag  13998  sravscag  13999  sraipg  14000  sraex  14002  rlmsubg  14014  rlmvnegg  14021  ixpsnbasval  14022  lidlex  14029  rspex  14030  lidlss  14032  lidlrsppropdg  14051  qusrhm  14084  mopnset  14108  psrval  14220  fnpsr  14221  psrbasg  14227  psrelbas  14228  psrplusgg  14230  psraddcl  14232