Theorem funfni 5481

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
funfni	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5476	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
3		fndm 5478	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	eleq2d 2308	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	4	biimpar 297	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
6		funfni.1	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
7	2, 5, 6	syl2anc 415	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  dom cdm 4772  Fun wfun 5369   Fn wfn 5370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-fn 5378

This theorem is referenced by:  fneu  5485  fnbrfvb  5738  fvelrnb  5747  fvelimab  5756  fniinfv  5758  fvco2  5771  eqfnfv  5800  fndmdif  5808  fndmin  5810  elpreima  5822  fniniseg  5823  fniniseg2  5825  fnniniseg2  5826  fnopfv  5832  fnfvelrn  5834  rexrn  5839  ralrn  5840  fsn2  5876  fnressn  5895  eufnfv  5943  rexima  5954  ralima  5955  fniunfv  5962  dff13  5968  foeqcnvco  5990  f1eqcocnv  5991  isocnv2  6012  isoini  6018  f1oiso  6026  fnovex  6112  suppssof1  6314  offveqb  6316  1stexg  6395  2ndexg  6396  smoiso  6567  rdgruledefgg  6640  rdgivallem  6646  frectfr  6665  frecrdg  6673  en1  7080  fnfi  7244  ordiso2  7369  cc2lem  7626  slotex  13362  ressbas2d  13405  ressbasid  13407  strressid  13408  ressval3d  13409  imasex  13609  imasival  13610  imasbas  13611  imasplusg  13612  imasmulr  13613  imasaddfn  13621  imasaddval  13622  imasaddf  13623  imasmulfn  13624  imasmulval  13625  imasmulf  13626  qusval  13627  qusex  13629  qusaddvallemg  13637  qusaddflemg  13638  qusaddval  13639  qusaddf  13640  qusmulval  13641  qusmulf  13642  xpsfeq  13649  ismgm  13660  plusffvalg  13665  grpidvalg  13676  fn0g  13678  fngzsum  13691  gzsumvalx  13692  gzsumfzval  13694  gzsumress  13695  gzsum0  13696  issgrp  13701  ismnddef  13714  issubmnd  13738  ress0g  13739  ismhm  13751  mhmex  13752  issubm  13762  0mhm  13776  grppropstrg  13807  grpinvfvalg  13830  grpinvval  13831  grpinvfng  13832  grpsubfvalg  13833  grpsubval  13834  grpressid  13849  grplactfval  13889  qusgrp2  13899  mulgfvalg  13907  mulgval  13908  mulgex  13909  mulgfng  13910  issubg  13959  subgex  13962  issubg2m  13975  isnsg  13988  releqgg  14006  eqgex  14007  eqgfval  14008  eqgen  14013  isghm  14029  ablressid  14122  prdsex  14155  prdsval  14156  prdsbaslemss  14157  prdsbas  14159  prdsplusg  14160  prdsmulr  14161  xpsval  14184  pwsbas  14188  pwselbasb  14189  pwssnf1o  14194  mgptopng  14211  isrng  14216  rngressid  14236  qusrng  14240  dfur2g  14249  issrg  14252  isring  14287  ringidss  14317  ringressid  14351  qusring2  14354  dvdsrvald  14383  dvdsrex  14388  unitgrp  14406  unitabl  14407  invrfvald  14412  unitlinv  14416  unitrinv  14417  dvrfvald  14423  rdivmuldivd  14434  invrpropdg  14439  dfrhm2  14444  rhmex  14447  rhmunitinv  14468  isnzr2  14474  issubrng  14490  issubrg  14512  subrgugrp  14531  rrgval  14553  isdomn  14561  aprval  14574  aprap  14581  aprprop  14584  islmod  14610  scaffvalg  14626  rmodislmod  14671  lssex  14674  lsssetm  14676  islssm  14677  islssmg  14678  islss3  14699  lspfval  14708  lspval  14710  lspcl  14711  lspex  14715  sraval  14757  sralemg  14758  srascag  14762  sravscag  14763  sraipg  14764  sraex  14766  rlmsubg  14778  rlmvnegg  14785  ixpsnbasval  14786  lidlex  14793  rspex  14794  lidlss  14796  lidlrsppropdg  14815  qusrhm  14848  mopnset  14872  aspval  14998  asclfval  15004  psrval  15033  fnpsr  15034  psrbasg  15048  psrelbas  15049  psrplusgg  15052  psraddcl  15054  psr0cl  15055  psrnegcl  15057  psr1clfi  15062  mplvalcoe  15064  fnmpl  15067  mplplusgg  15077  vtxvalg  16240  vtxex  16242