Theorem funfni 5483

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
funfni	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5478	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
3		fndm 5480	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	eleq2d 2308	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	4	biimpar 297	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
6		funfni.1	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
7	2, 5, 6	syl2anc 415	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  dom cdm 4774  Fun wfun 5371   Fn wfn 5372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-fn 5380

This theorem is used by:  fneu  5487  fnbrfvb  5741  fvelrnb  5750  fvelimab  5759  fniinfv  5761  fvco2  5774  eqfnfv  5806  fndmdif  5814  fndmin  5816  elpreima  5828  fniniseg  5829  fniniseg2  5831  fnniniseg2  5832  fnopfv  5838  fnfvelrn  5840  rexrn  5845  ralrn  5846  fsn2  5882  fnressn  5901  eufnfv  5949  rexima  5960  ralima  5961  fniunfv  5968  dff13  5974  foeqcnvco  5996  f1eqcocnv  5997  isocnv2  6018  isoini  6024  f1oiso  6032  fnovex  6118  suppssof1  6320  offveqb  6322  1stexg  6401  2ndexg  6402  smoiso  6573  rdgruledefgg  6646  rdgivallem  6652  frectfr  6671  frecrdg  6679  en1  7086  fnfi  7250  ordiso2  7376  cc2lem  7633  slotex  13430  ressbas2d  13473  ressbasid  13475  strressid  13476  ressval3d  13477  imasex  13677  imasival  13678  imasbas  13679  imasplusg  13680  imasmulr  13681  imasaddfn  13689  imasaddval  13690  imasaddf  13691  imasmulfn  13692  imasmulval  13693  imasmulf  13694  qusval  13695  qusex  13697  qusaddvallemg  13705  qusaddflemg  13706  qusaddval  13707  qusaddf  13708  qusmulval  13709  qusmulf  13710  xpsfeq  13717  ismgm  13728  plusffvalg  13733  grpidvalg  13744  fn0g  13746  fngzsum  13759  gzsumvalx  13760  gzsumfzval  13762  gzsumress  13763  gzsum0  13764  issgrp  13769  ismnddef  13782  issubmnd  13806  ress0g  13807  ismhm  13819  mhmex  13820  issubm  13830  0mhm  13844  grppropstrg  13875  grpinvfvalg  13898  grpinvval  13899  grpinvfng  13900  grpsubfvalg  13901  grpsubval  13902  grpressid  13917  grplactfval  13957  qusgrp2  13967  mulgfvalg  13975  mulgval  13976  mulgex  13977  mulgfng  13978  issubg  14027  subgex  14030  issubg2m  14043  isnsg  14056  releqgg  14074  eqgex  14075  eqgfval  14076  eqgen  14081  isghm  14097  ablressid  14190  prdsex  14223  prdsval  14224  prdsbaslemss  14225  prdsbas  14227  prdsplusg  14228  prdsmulr  14229  xpsval  14252  pwsbas  14256  pwselbasb  14257  pwssnf1o  14262  mgptopng  14279  isrng  14284  rngressid  14304  qusrng  14308  dfur2g  14317  issrg  14320  isring  14355  ringidss  14385  ringressid  14419  qusring2  14422  dvdsrvald  14451  dvdsrex  14456  unitgrp  14474  unitabl  14475  invrfvald  14480  unitlinv  14484  unitrinv  14485  dvrfvald  14491  rdivmuldivd  14502  invrpropdg  14507  dfrhm2  14512  rhmex  14515  rhmunitinv  14536  isnzr2  14542  issubrng  14558  issubrg  14580  subrgugrp  14599  rrgval  14621  isdomn  14629  aprval  14642  aprap  14649  aprprop  14652  islmod  14678  scaffvalg  14694  rmodislmod  14739  lssex  14742  lsssetm  14744  islssm  14745  islssmg  14746  islss3  14767  lspfval  14776  lspval  14778  lspcl  14779  lspex  14783  sraval  14825  sralemg  14826  srascag  14830  sravscag  14831  sraipg  14832  sraex  14834  rlmsubg  14846  rlmvnegg  14853  ixpsnbasval  14854  lidlex  14861  rspex  14862  lidlss  14864  lidlrsppropdg  14883  qusrhm  14916  mopnset  14940  aspval  15066  asclfval  15072  psrval  15101  fnpsr  15102  psrbasg  15117  psrelbas  15118  psrplusgg  15121  psraddcl  15123  psr0cl  15124  psrnegcl  15126  psr1clfi  15131  mplvalcoe  15133  fnmpl  15136  mplplusgg  15146  vtxvalg  16379  vtxex  16381