Theorem funfni 5483

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
funfni	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5478	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
3		fndm 5480	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	eleq2d 2308	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	4	biimpar 297	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
6		funfni.1	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
7	2, 5, 6	syl2anc 415	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  dom cdm 4774  Fun wfun 5371   Fn wfn 5372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-fn 5380

This theorem is used by:  fneu  5487  fnbrfvb  5741  fvelrnb  5750  fvelimab  5759  fniinfv  5761  fvco2  5774  eqfnfv  5806  fndmdif  5814  fndmin  5816  elpreima  5828  fniniseg  5829  fniniseg2  5831  fnniniseg2  5832  fnopfv  5838  fnfvelrn  5840  rexrn  5845  ralrn  5846  fsn2  5882  fnressn  5901  eufnfv  5949  rexima  5960  ralima  5961  fniunfv  5968  dff13  5974  foeqcnvco  5996  f1eqcocnv  5997  isocnv2  6018  isoini  6024  f1oiso  6032  fnovex  6118  suppssof1  6320  offveqb  6322  1stexg  6401  2ndexg  6402  smoiso  6573  rdgruledefgg  6646  rdgivallem  6652  frectfr  6671  frecrdg  6679  en1  7086  fnfi  7250  ordiso2  7375  cc2lem  7632  slotex  13381  ressbas2d  13424  ressbasid  13426  strressid  13427  ressval3d  13428  imasex  13628  imasival  13629  imasbas  13630  imasplusg  13631  imasmulr  13632  imasaddfn  13640  imasaddval  13641  imasaddf  13642  imasmulfn  13643  imasmulval  13644  imasmulf  13645  qusval  13646  qusex  13648  qusaddvallemg  13656  qusaddflemg  13657  qusaddval  13658  qusaddf  13659  qusmulval  13660  qusmulf  13661  xpsfeq  13668  ismgm  13679  plusffvalg  13684  grpidvalg  13695  fn0g  13697  fngzsum  13710  gzsumvalx  13711  gzsumfzval  13713  gzsumress  13714  gzsum0  13715  issgrp  13720  ismnddef  13733  issubmnd  13757  ress0g  13758  ismhm  13770  mhmex  13771  issubm  13781  0mhm  13795  grppropstrg  13826  grpinvfvalg  13849  grpinvval  13850  grpinvfng  13851  grpsubfvalg  13852  grpsubval  13853  grpressid  13868  grplactfval  13908  qusgrp2  13918  mulgfvalg  13926  mulgval  13927  mulgex  13928  mulgfng  13929  issubg  13978  subgex  13981  issubg2m  13994  isnsg  14007  releqgg  14025  eqgex  14026  eqgfval  14027  eqgen  14032  isghm  14048  ablressid  14141  prdsex  14174  prdsval  14175  prdsbaslemss  14176  prdsbas  14178  prdsplusg  14179  prdsmulr  14180  xpsval  14203  pwsbas  14207  pwselbasb  14208  pwssnf1o  14213  mgptopng  14230  isrng  14235  rngressid  14255  qusrng  14259  dfur2g  14268  issrg  14271  isring  14306  ringidss  14336  ringressid  14370  qusring2  14373  dvdsrvald  14402  dvdsrex  14407  unitgrp  14425  unitabl  14426  invrfvald  14431  unitlinv  14435  unitrinv  14436  dvrfvald  14442  rdivmuldivd  14453  invrpropdg  14458  dfrhm2  14463  rhmex  14466  rhmunitinv  14487  isnzr2  14493  issubrng  14509  issubrg  14531  subrgugrp  14550  rrgval  14572  isdomn  14580  aprval  14593  aprap  14600  aprprop  14603  islmod  14629  scaffvalg  14645  rmodislmod  14690  lssex  14693  lsssetm  14695  islssm  14696  islssmg  14697  islss3  14718  lspfval  14727  lspval  14729  lspcl  14730  lspex  14734  sraval  14776  sralemg  14777  srascag  14781  sravscag  14782  sraipg  14783  sraex  14785  rlmsubg  14797  rlmvnegg  14804  ixpsnbasval  14805  lidlex  14812  rspex  14813  lidlss  14815  lidlrsppropdg  14834  qusrhm  14867  mopnset  14891  aspval  15017  asclfval  15023  psrval  15052  fnpsr  15053  psrbasg  15067  psrelbas  15068  psrplusgg  15071  psraddcl  15073  psr0cl  15074  psrnegcl  15076  psr1clfi  15081  mplvalcoe  15083  fnmpl  15086  mplplusgg  15096  vtxvalg  16269  vtxex  16271