Theorem funfni 5355

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
funfni	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5352	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
3		fndm 5354	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	eleq2d 2263	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	4	biimpar 297	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
6		funfni.1	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
7	2, 5, 6	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164  dom cdm 4660  Fun wfun 5249   Fn wfn 5250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-ial 1545  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-fn 5258

This theorem is referenced by:  fneu  5359  fnbrfvb  5598  fvelrnb  5605  fvelimab  5614  fniinfv  5616  fvco2  5627  eqfnfv  5656  fndmdif  5664  fndmin  5666  elpreima  5678  fniniseg  5679  fniniseg2  5681  fnniniseg2  5682  rexsupp  5683  fnopfv  5689  fnfvelrn  5691  rexrn  5696  ralrn  5697  fsn2  5733  fnressn  5745  eufnfv  5790  rexima  5798  ralima  5799  fniunfv  5806  dff13  5812  foeqcnvco  5834  f1eqcocnv  5835  isocnv2  5856  isoini  5862  f1oiso  5870  fnovex  5952  suppssof1  6150  offveqb  6152  1stexg  6222  2ndexg  6223  smoiso  6357  rdgruledefgg  6430  rdgivallem  6436  frectfr  6455  frecrdg  6463  en1  6855  fnfi  6997  ordiso2  7096  cc2lem  7328  slotex  12648  ressbas2d  12689  ressbasid  12691  strressid  12692  ressval3d  12693  prdsex  12883  imasex  12891  imasival  12892  imasbas  12893  imasplusg  12894  imasmulr  12895  imasaddfn  12903  imasaddval  12904  imasaddf  12905  imasmulfn  12906  imasmulval  12907  imasmulf  12908  qusval  12909  qusex  12911  qusaddvallemg  12919  qusaddflemg  12920  qusaddval  12921  qusaddf  12922  qusmulval  12923  qusmulf  12924  xpsfeq  12931  xpsval  12938  ismgm  12943  plusffvalg  12948  grpidvalg  12959  fn0g  12961  fngsum  12974  igsumvalx  12975  gsumfzval  12977  gsumress  12981  gsum0g  12982  issgrp  12989  ismnddef  13002  issubmnd  13026  ress0g  13027  ismhm  13036  mhmex  13037  issubm  13047  0mhm  13061  grppropstrg  13094  grpinvfvalg  13117  grpinvval  13118  grpinvfng  13119  grpsubfvalg  13120  grpsubval  13121  grpressid  13136  grplactfval  13176  qusgrp2  13186  mulgfvalg  13194  mulgval  13195  mulgex  13196  mulgfng  13197  issubg  13246  subgex  13249  issubg2m  13262  isnsg  13275  releqgg  13293  eqgex  13294  eqgfval  13295  eqgen  13300  isghm  13316  ablressid  13408  mgptopng  13428  isrng  13433  rngressid  13453  qusrng  13457  dfur2g  13461  issrg  13464  isring  13499  ringidss  13528  ringressid  13562  qusring2  13565  reldvdsrsrg  13591  dvdsrvald  13592  dvdsrex  13597  unitgrp  13615  unitabl  13616  invrfvald  13621  unitlinv  13625  unitrinv  13626  dvrfvald  13632  rdivmuldivd  13643  invrpropdg  13648  dfrhm2  13653  rhmex  13656  rhmunitinv  13677  isnzr2  13683  issubrng  13698  issubrg  13720  subrgugrp  13739  rrgval  13761  isdomn  13768  aprval  13781  aprap  13785  islmod  13790  scaffvalg  13805  rmodislmod  13850  lssex  13853  lsssetm  13855  islssm  13856  islssmg  13857  islss3  13878  lspfval  13887  lspval  13889  lspcl  13890  lspex  13894  sraval  13936  sralemg  13937  srascag  13941  sravscag  13942  sraipg  13943  sraex  13945  rlmsubg  13957  rlmvnegg  13964  ixpsnbasval  13965  lidlex  13972  rspex  13973  lidlss  13975  lidlrsppropdg  13994  qusrhm  14027  mopnset  14051  psrval  14163  fnpsr  14164  psrbasg  14170  psrelbas  14171  psrplusgg  14173  psraddcl  14175