Theorem funfni 5429

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
funfni	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5424	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
3		fndm 5426	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	eleq2d 2299	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	4	biimpar 297	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
6		funfni.1	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
7	2, 5, 6	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  dom cdm 4723  Fun wfun 5318   Fn wfn 5319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-ial 1580  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-fn 5327

This theorem is referenced by:  fneu  5433  fnbrfvb  5680  fvelrnb  5689  fvelimab  5698  fniinfv  5700  fvco2  5711  eqfnfv  5740  fndmdif  5748  fndmin  5750  elpreima  5762  fniniseg  5763  fniniseg2  5765  fnniniseg2  5766  rexsupp  5767  fnopfv  5773  fnfvelrn  5775  rexrn  5780  ralrn  5781  fsn2  5817  fnressn  5835  eufnfv  5880  rexima  5890  ralima  5891  fniunfv  5898  dff13  5904  foeqcnvco  5926  f1eqcocnv  5927  isocnv2  5948  isoini  5954  f1oiso  5962  fnovex  6046  suppssof1  6248  offveqb  6250  1stexg  6325  2ndexg  6326  smoiso  6463  rdgruledefgg  6536  rdgivallem  6542  frectfr  6561  frecrdg  6569  en1  6968  fnfi  7129  ordiso2  7228  cc2lem  7478  slotex  13102  ressbas2d  13144  ressbasid  13146  strressid  13147  ressval3d  13148  prdsex  13345  prdsval  13349  prdsbaslemss  13350  prdsbas  13352  prdsplusg  13353  prdsmulr  13354  pwsbas  13368  pwselbasb  13369  pwssnf1o  13374  imasex  13381  imasival  13382  imasbas  13383  imasplusg  13384  imasmulr  13385  imasaddfn  13393  imasaddval  13394  imasaddf  13395  imasmulfn  13396  imasmulval  13397  imasmulf  13398  qusval  13399  qusex  13401  qusaddvallemg  13409  qusaddflemg  13410  qusaddval  13411  qusaddf  13412  qusmulval  13413  qusmulf  13414  xpsfeq  13421  xpsval  13428  ismgm  13433  plusffvalg  13438  grpidvalg  13449  fn0g  13451  fngsum  13464  igsumvalx  13465  gsumfzval  13467  gsumress  13471  gsum0g  13472  issgrp  13479  ismnddef  13494  issubmnd  13518  ress0g  13519  ismhm  13537  mhmex  13538  issubm  13548  0mhm  13562  grppropstrg  13595  grpinvfvalg  13618  grpinvval  13619  grpinvfng  13620  grpsubfvalg  13621  grpsubval  13622  grpressid  13637  grplactfval  13677  qusgrp2  13693  mulgfvalg  13701  mulgval  13702  mulgex  13703  mulgfng  13704  issubg  13753  subgex  13756  issubg2m  13769  isnsg  13782  releqgg  13800  eqgex  13801  eqgfval  13802  eqgen  13807  isghm  13823  ablressid  13915  mgptopng  13935  isrng  13940  rngressid  13960  qusrng  13964  dfur2g  13968  issrg  13971  isring  14006  ringidss  14035  ringressid  14069  qusring2  14072  dvdsrvald  14100  dvdsrex  14105  unitgrp  14123  unitabl  14124  invrfvald  14129  unitlinv  14133  unitrinv  14134  dvrfvald  14140  rdivmuldivd  14151  invrpropdg  14156  dfrhm2  14161  rhmex  14164  rhmunitinv  14185  isnzr2  14191  issubrng  14206  issubrg  14228  subrgugrp  14247  rrgval  14269  isdomn  14276  aprval  14289  aprap  14293  islmod  14298  scaffvalg  14313  rmodislmod  14358  lssex  14361  lsssetm  14363  islssm  14364  islssmg  14365  islss3  14386  lspfval  14395  lspval  14397  lspcl  14398  lspex  14402  sraval  14444  sralemg  14445  srascag  14449  sravscag  14450  sraipg  14451  sraex  14453  rlmsubg  14465  rlmvnegg  14472  ixpsnbasval  14473  lidlex  14480  rspex  14481  lidlss  14483  lidlrsppropdg  14502  qusrhm  14535  mopnset  14559  psrval  14673  fnpsr  14674  psrbasg  14681  psrelbas  14682  psrplusgg  14685  psraddcl  14687  psr0cl  14688  psrnegcl  14690  psr1clfi  14695  mplvalcoe  14697  fnmpl  14700  mplplusgg  14710  vtxvalg  15860  vtxex  15862