Theorem funfni 5361

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
funfni	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5356	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
3		fndm 5358	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	eleq2d 2266	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	4	biimpar 297	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
6		funfni.1	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
7	2, 5, 6	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  dom cdm 4664  Fun wfun 5253   Fn wfn 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-ial 1548  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-fn 5262

This theorem is referenced by:  fneu  5365  fnbrfvb  5604  fvelrnb  5611  fvelimab  5620  fniinfv  5622  fvco2  5633  eqfnfv  5662  fndmdif  5670  fndmin  5672  elpreima  5684  fniniseg  5685  fniniseg2  5687  fnniniseg2  5688  rexsupp  5689  fnopfv  5695  fnfvelrn  5697  rexrn  5702  ralrn  5703  fsn2  5739  fnressn  5751  eufnfv  5796  rexima  5804  ralima  5805  fniunfv  5812  dff13  5818  foeqcnvco  5840  f1eqcocnv  5841  isocnv2  5862  isoini  5868  f1oiso  5876  fnovex  5958  suppssof1  6157  offveqb  6159  1stexg  6234  2ndexg  6235  smoiso  6369  rdgruledefgg  6442  rdgivallem  6448  frectfr  6467  frecrdg  6475  en1  6867  fnfi  7011  ordiso2  7110  cc2lem  7349  slotex  12730  ressbas2d  12771  ressbasid  12773  strressid  12774  ressval3d  12775  prdsex  12971  prdsval  12975  prdsbaslemss  12976  prdsbas  12978  prdsplusg  12979  prdsmulr  12980  pwsbas  12994  pwselbasb  12995  pwssnf1o  13000  imasex  13007  imasival  13008  imasbas  13009  imasplusg  13010  imasmulr  13011  imasaddfn  13019  imasaddval  13020  imasaddf  13021  imasmulfn  13022  imasmulval  13023  imasmulf  13024  qusval  13025  qusex  13027  qusaddvallemg  13035  qusaddflemg  13036  qusaddval  13037  qusaddf  13038  qusmulval  13039  qusmulf  13040  xpsfeq  13047  xpsval  13054  ismgm  13059  plusffvalg  13064  grpidvalg  13075  fn0g  13077  fngsum  13090  igsumvalx  13091  gsumfzval  13093  gsumress  13097  gsum0g  13098  issgrp  13105  ismnddef  13120  issubmnd  13144  ress0g  13145  ismhm  13163  mhmex  13164  issubm  13174  0mhm  13188  grppropstrg  13221  grpinvfvalg  13244  grpinvval  13245  grpinvfng  13246  grpsubfvalg  13247  grpsubval  13248  grpressid  13263  grplactfval  13303  qusgrp2  13319  mulgfvalg  13327  mulgval  13328  mulgex  13329  mulgfng  13330  issubg  13379  subgex  13382  issubg2m  13395  isnsg  13408  releqgg  13426  eqgex  13427  eqgfval  13428  eqgen  13433  isghm  13449  ablressid  13541  mgptopng  13561  isrng  13566  rngressid  13586  qusrng  13590  dfur2g  13594  issrg  13597  isring  13632  ringidss  13661  ringressid  13695  qusring2  13698  reldvdsrsrg  13724  dvdsrvald  13725  dvdsrex  13730  unitgrp  13748  unitabl  13749  invrfvald  13754  unitlinv  13758  unitrinv  13759  dvrfvald  13765  rdivmuldivd  13776  invrpropdg  13781  dfrhm2  13786  rhmex  13789  rhmunitinv  13810  isnzr2  13816  issubrng  13831  issubrg  13853  subrgugrp  13872  rrgval  13894  isdomn  13901  aprval  13914  aprap  13918  islmod  13923  scaffvalg  13938  rmodislmod  13983  lssex  13986  lsssetm  13988  islssm  13989  islssmg  13990  islss3  14011  lspfval  14020  lspval  14022  lspcl  14023  lspex  14027  sraval  14069  sralemg  14070  srascag  14074  sravscag  14075  sraipg  14076  sraex  14078  rlmsubg  14090  rlmvnegg  14097  ixpsnbasval  14098  lidlex  14105  rspex  14106  lidlss  14108  lidlrsppropdg  14127  qusrhm  14160  mopnset  14184  psrval  14296  fnpsr  14297  psrbasg  14303  psrelbas  14304  psrplusgg  14306  psraddcl  14308  psr0cl  14309  psrnegcl  14311  psr1clfi  14316