Theorem funfni 5423

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
funfni	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5418	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
3		fndm 5420	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	eleq2d 2299	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	4	biimpar 297	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
6		funfni.1	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
7	2, 5, 6	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  dom cdm 4719  Fun wfun 5312   Fn wfn 5313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-ial 1580  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-fn 5321

This theorem is referenced by:  fneu  5427  fnbrfvb  5674  fvelrnb  5683  fvelimab  5692  fniinfv  5694  fvco2  5705  eqfnfv  5734  fndmdif  5742  fndmin  5744  elpreima  5756  fniniseg  5757  fniniseg2  5759  fnniniseg2  5760  rexsupp  5761  fnopfv  5767  fnfvelrn  5769  rexrn  5774  ralrn  5775  fsn2  5811  fnressn  5829  eufnfv  5874  rexima  5884  ralima  5885  fniunfv  5892  dff13  5898  foeqcnvco  5920  f1eqcocnv  5921  isocnv2  5942  isoini  5948  f1oiso  5956  fnovex  6040  suppssof1  6242  offveqb  6244  1stexg  6319  2ndexg  6320  smoiso  6454  rdgruledefgg  6527  rdgivallem  6533  frectfr  6552  frecrdg  6560  en1  6959  fnfi  7111  ordiso2  7210  cc2lem  7460  slotex  13067  ressbas2d  13109  ressbasid  13111  strressid  13112  ressval3d  13113  prdsex  13310  prdsval  13314  prdsbaslemss  13315  prdsbas  13317  prdsplusg  13318  prdsmulr  13319  pwsbas  13333  pwselbasb  13334  pwssnf1o  13339  imasex  13346  imasival  13347  imasbas  13348  imasplusg  13349  imasmulr  13350  imasaddfn  13358  imasaddval  13359  imasaddf  13360  imasmulfn  13361  imasmulval  13362  imasmulf  13363  qusval  13364  qusex  13366  qusaddvallemg  13374  qusaddflemg  13375  qusaddval  13376  qusaddf  13377  qusmulval  13378  qusmulf  13379  xpsfeq  13386  xpsval  13393  ismgm  13398  plusffvalg  13403  grpidvalg  13414  fn0g  13416  fngsum  13429  igsumvalx  13430  gsumfzval  13432  gsumress  13436  gsum0g  13437  issgrp  13444  ismnddef  13459  issubmnd  13483  ress0g  13484  ismhm  13502  mhmex  13503  issubm  13513  0mhm  13527  grppropstrg  13560  grpinvfvalg  13583  grpinvval  13584  grpinvfng  13585  grpsubfvalg  13586  grpsubval  13587  grpressid  13602  grplactfval  13642  qusgrp2  13658  mulgfvalg  13666  mulgval  13667  mulgex  13668  mulgfng  13669  issubg  13718  subgex  13721  issubg2m  13734  isnsg  13747  releqgg  13765  eqgex  13766  eqgfval  13767  eqgen  13772  isghm  13788  ablressid  13880  mgptopng  13900  isrng  13905  rngressid  13925  qusrng  13929  dfur2g  13933  issrg  13936  isring  13971  ringidss  14000  ringressid  14034  qusring2  14037  dvdsrvald  14065  dvdsrex  14070  unitgrp  14088  unitabl  14089  invrfvald  14094  unitlinv  14098  unitrinv  14099  dvrfvald  14105  rdivmuldivd  14116  invrpropdg  14121  dfrhm2  14126  rhmex  14129  rhmunitinv  14150  isnzr2  14156  issubrng  14171  issubrg  14193  subrgugrp  14212  rrgval  14234  isdomn  14241  aprval  14254  aprap  14258  islmod  14263  scaffvalg  14278  rmodislmod  14323  lssex  14326  lsssetm  14328  islssm  14329  islssmg  14330  islss3  14351  lspfval  14360  lspval  14362  lspcl  14363  lspex  14367  sraval  14409  sralemg  14410  srascag  14414  sravscag  14415  sraipg  14416  sraex  14418  rlmsubg  14430  rlmvnegg  14437  ixpsnbasval  14438  lidlex  14445  rspex  14446  lidlss  14448  lidlrsppropdg  14467  qusrhm  14500  mopnset  14524  psrval  14638  fnpsr  14639  psrbasg  14646  psrelbas  14647  psrplusgg  14650  psraddcl  14652  psr0cl  14653  psrnegcl  14655  psr1clfi  14660  mplvalcoe  14662  fnmpl  14665  mplplusgg  14675  vtxvalg  15825  vtxex  15827