Theorem funfvex 5656

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5334	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑦𝐴𝐹𝑦)
2		funfveu 5652	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦)
3		euiotaex 5303	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2318	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃!weu 2079   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ℩cio 5284  Fun wfun 5320  ‘cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5684  fvelrnb  5693  funimass4  5696  fvelimab  5702  fniinfv  5704  funfvdm  5709  dmfco  5714  fvco2  5715  eqfnfv  5744  fndmdif  5752  fndmin  5754  fvimacnvi  5761  fvimacnv  5762  funconstss  5765  fniniseg  5767  fniniseg2  5769  fnniniseg2  5770  rexsupp  5771  fvelrn  5778  rexrn  5784  ralrn  5785  dff3im  5792  fmptco  5813  fsn2  5821  funiun  5829  fnressn  5840  resfunexg  5875  eufnfv  5885  funfvima3  5888  rexima  5895  ralima  5896  fniunfv  5903  elunirn  5907  dff13  5909  foeqcnvco  5931  f1eqcocnv  5932  isocnv2  5953  isoini  5959  f1oiso  5967  fnovex  6051  suppssof1  6253  offveqb  6255  1stexg  6330  2ndexg  6331  smoiso  6468  rdgtfr  6540  rdgruledefgg  6541  rdgivallem  6547  frectfr  6566  frecrdg  6574  en1  6973  fundmen  6981  fnfi  7135  ordiso2  7234  cc2lem  7485  climshft2  11868  slotex  13111  strsetsid  13117  ressbas2d  13153  ressbasid  13155  strressid  13156  ressval3d  13157  prdsex  13354  prdsval  13358  prdsbaslemss  13359  prdsbas  13361  prdsplusg  13362  prdsmulr  13363  pwsbas  13377  pwselbasb  13378  pwssnf1o  13383  imasex  13390  imasival  13391  imasbas  13392  imasplusg  13393  imasmulr  13394  imasaddfn  13402  imasaddval  13403  imasaddf  13404  imasmulfn  13405  imasmulval  13406  imasmulf  13407  qusval  13408  qusex  13410  qusaddvallemg  13418  qusaddflemg  13419  qusaddval  13420  qusaddf  13421  qusmulval  13422  qusmulf  13423  xpsfeq  13430  xpsval  13437  ismgm  13442  plusffvalg  13447  grpidvalg  13458  fn0g  13460  fngsum  13473  igsumvalx  13474  gsumfzval  13476  gsumress  13480  gsum0g  13481  issgrp  13488  ismnddef  13503  issubmnd  13527  ress0g  13528  ismhm  13546  mhmex  13547  issubm  13557  0mhm  13571  grppropstrg  13604  grpinvfvalg  13627  grpinvval  13628  grpinvfng  13629  grpsubfvalg  13630  grpsubval  13631  grpressid  13646  grplactfval  13686  qusgrp2  13702  mulgfvalg  13710  mulgval  13711  mulgex  13712  mulgfng  13713  issubg  13762  subgex  13765  issubg2m  13778  isnsg  13791  releqgg  13809  eqgex  13810  eqgfval  13811  eqgen  13816  isghm  13832  ablressid  13924  mgptopng  13945  isrng  13950  rngressid  13970  qusrng  13974  dfur2g  13978  issrg  13981  isring  14016  ringidss  14045  ringressid  14079  qusring2  14082  dvdsrvald  14110  dvdsrex  14115  unitgrp  14133  unitabl  14134  invrfvald  14139  unitlinv  14143  unitrinv  14144  dvrfvald  14150  rdivmuldivd  14161  invrpropdg  14166  dfrhm2  14171  rhmex  14174  rhmunitinv  14195  isnzr2  14201  issubrng  14216  issubrg  14238  subrgugrp  14257  rrgval  14279  isdomn  14286  aprval  14299  aprap  14303  islmod  14308  scaffvalg  14323  rmodislmod  14368  lssex  14371  lsssetm  14373  islssm  14374  islssmg  14375  islss3  14396  lspfval  14405  lspval  14407  lspcl  14408  lspex  14412  sraval  14454  sralemg  14455  srascag  14459  sravscag  14460  sraipg  14461  sraex  14463  rlmsubg  14475  rlmvnegg  14482  ixpsnbasval  14483  lidlex  14490  rspex  14491  lidlss  14493  lidlrsppropdg  14512  qusrhm  14545  mopnset  14569  psrval  14683  fnpsr  14684  psrbasg  14691  psrelbas  14692  psrplusgg  14695  psraddcl  14697  psr0cl  14698  psrnegcl  14700  psr1clfi  14705  mplvalcoe  14707  fnmpl  14710  mplplusgg  14720  vtxvalg  15870  vtxex  15872  eupth2lem3lem6fi  16325