Theorem funfvex 5503

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5196	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑦𝐴𝐹𝑦)
2		funfveu 5499	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦)
3		euiotaex 5169	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2253	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∃!weu 2014   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   class class class wbr 3982  dom cdm 4604  ℩cio 5151  Fun wfun 5182  ‘cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5527  fvelrnb  5534  funimass4  5537  fvelimab  5542  fniinfv  5544  funfvdm  5549  dmfco  5554  fvco2  5555  eqfnfv  5583  fndmdif  5590  fndmin  5592  fvimacnvi  5599  fvimacnv  5600  funconstss  5603  fniniseg  5605  fniniseg2  5607  fnniniseg2  5608  rexsupp  5609  fvelrn  5616  rexrn  5622  ralrn  5623  dff3im  5630  fmptco  5651  fsn2  5659  fnressn  5671  resfunexg  5706  eufnfv  5715  funfvima3  5718  rexima  5723  ralima  5724  fniunfv  5730  elunirn  5734  dff13  5736  foeqcnvco  5758  f1eqcocnv  5759  isocnv2  5780  isoini  5786  f1oiso  5794  fnovex  5875  suppssof1  6067  offveqb  6069  1stexg  6135  2ndexg  6136  smoiso  6270  rdgtfr  6342  rdgruledefgg  6343  rdgivallem  6349  frectfr  6368  frecrdg  6376  en1  6765  fundmen  6772  fnfi  6902  ordiso2  7000  cc2lem  7207  climshft2  11247  slotex  12421  strsetsid  12427  ismgm  12588  plusffvalg  12593  grpidvalg  12604  fn0g  12606