Theorem funfvex 5646

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5326	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑦𝐴𝐹𝑦)
2		funfveu 5642	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦)
3		euiotaex 5295	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2316	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃!weu 2077   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   class class class wbr 4083  dom cdm 4719  ℩cio 5276  Fun wfun 5312  ‘cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5674  fvelrnb  5683  funimass4  5686  fvelimab  5692  fniinfv  5694  funfvdm  5699  dmfco  5704  fvco2  5705  eqfnfv  5734  fndmdif  5742  fndmin  5744  fvimacnvi  5751  fvimacnv  5752  funconstss  5755  fniniseg  5757  fniniseg2  5759  fnniniseg2  5760  rexsupp  5761  fvelrn  5768  rexrn  5774  ralrn  5775  dff3im  5782  fmptco  5803  fsn2  5811  funiun  5818  fnressn  5829  resfunexg  5864  eufnfv  5874  funfvima3  5877  rexima  5884  ralima  5885  fniunfv  5892  elunirn  5896  dff13  5898  foeqcnvco  5920  f1eqcocnv  5921  isocnv2  5942  isoini  5948  f1oiso  5956  fnovex  6040  suppssof1  6242  offveqb  6244  1stexg  6319  2ndexg  6320  smoiso  6454  rdgtfr  6526  rdgruledefgg  6527  rdgivallem  6533  frectfr  6552  frecrdg  6560  en1  6959  fundmen  6967  fnfi  7111  ordiso2  7210  cc2lem  7460  climshft2  11825  slotex  13067  strsetsid  13073  ressbas2d  13109  ressbasid  13111  strressid  13112  ressval3d  13113  prdsex  13310  prdsval  13314  prdsbaslemss  13315  prdsbas  13317  prdsplusg  13318  prdsmulr  13319  pwsbas  13333  pwselbasb  13334  pwssnf1o  13339  imasex  13346  imasival  13347  imasbas  13348  imasplusg  13349  imasmulr  13350  imasaddfn  13358  imasaddval  13359  imasaddf  13360  imasmulfn  13361  imasmulval  13362  imasmulf  13363  qusval  13364  qusex  13366  qusaddvallemg  13374  qusaddflemg  13375  qusaddval  13376  qusaddf  13377  qusmulval  13378  qusmulf  13379  xpsfeq  13386  xpsval  13393  ismgm  13398  plusffvalg  13403  grpidvalg  13414  fn0g  13416  fngsum  13429  igsumvalx  13430  gsumfzval  13432  gsumress  13436  gsum0g  13437  issgrp  13444  ismnddef  13459  issubmnd  13483  ress0g  13484  ismhm  13502  mhmex  13503  issubm  13513  0mhm  13527  grppropstrg  13560  grpinvfvalg  13583  grpinvval  13584  grpinvfng  13585  grpsubfvalg  13586  grpsubval  13587  grpressid  13602  grplactfval  13642  qusgrp2  13658  mulgfvalg  13666  mulgval  13667  mulgex  13668  mulgfng  13669  issubg  13718  subgex  13721  issubg2m  13734  isnsg  13747  releqgg  13765  eqgex  13766  eqgfval  13767  eqgen  13772  isghm  13788  ablressid  13880  mgptopng  13900  isrng  13905  rngressid  13925  qusrng  13929  dfur2g  13933  issrg  13936  isring  13971  ringidss  14000  ringressid  14034  qusring2  14037  dvdsrvald  14065  dvdsrex  14070  unitgrp  14088  unitabl  14089  invrfvald  14094  unitlinv  14098  unitrinv  14099  dvrfvald  14105  rdivmuldivd  14116  invrpropdg  14121  dfrhm2  14126  rhmex  14129  rhmunitinv  14150  isnzr2  14156  issubrng  14171  issubrg  14193  subrgugrp  14212  rrgval  14234  isdomn  14241  aprval  14254  aprap  14258  islmod  14263  scaffvalg  14278  rmodislmod  14323  lssex  14326  lsssetm  14328  islssm  14329  islssmg  14330  islss3  14351  lspfval  14360  lspval  14362  lspcl  14363  lspex  14367  sraval  14409  sralemg  14410  srascag  14414  sravscag  14415  sraipg  14416  sraex  14418  rlmsubg  14430  rlmvnegg  14437  ixpsnbasval  14438  lidlex  14445  rspex  14446  lidlss  14448  lidlrsppropdg  14467  qusrhm  14500  mopnset  14524  psrval  14638  fnpsr  14639  psrbasg  14646  psrelbas  14647  psrplusgg  14650  psraddcl  14652  psr0cl  14653  psrnegcl  14655  psr1clfi  14660  mplvalcoe  14662  fnmpl  14665  mplplusgg  14675  vtxvalg  15825  vtxex  15827