Theorem funfvex 5370

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5067	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑦𝐴𝐹𝑦)
2		funfveu 5366	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦)
3		euiotaex 5040	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
5	1, 4	syl5eqel 2186	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1448  ∃!weu 1960  Vcvv 2641   class class class wbr 3875  dom cdm 4477  ℩cio 5022  Fun wfun 5053  ‘cfv 5059

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5394  fvelrnb  5401  funimass4  5404  fvelimab  5409  fniinfv  5411  funfvdm  5416  dmfco  5421  fvco2  5422  eqfnfv  5450  fndmdif  5457  fndmin  5459  fvimacnvi  5466  fvimacnv  5467  funconstss  5470  fniniseg  5472  fniniseg2  5474  fnniniseg2  5475  rexsupp  5476  fvelrn  5483  rexrn  5489  ralrn  5490  dff3im  5497  fmptco  5518  fsn2  5526  fnressn  5538  resfunexg  5573  eufnfv  5580  funfvima3  5583  rexima  5588  ralima  5589  fniunfv  5595  elunirn  5599  dff13  5601  foeqcnvco  5623  f1eqcocnv  5624  isocnv2  5645  isoini  5651  f1oiso  5659  fnovex  5736  suppssof1  5930  offveqb  5932  1stexg  5996  2ndexg  5997  smoiso  6129  rdgtfr  6201  rdgruledefgg  6202  rdgivallem  6208  frectfr  6227  frecrdg  6235  en1  6623  fundmen  6630  fnfi  6753  ordiso2  6835  climshft2  10914  slotex  11768  strsetsid  11774