Theorem funfvex 5572

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5263	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑦𝐴𝐹𝑦)
2		funfveu 5568	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦)
3		euiotaex 5232	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2280	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃!weu 2042   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   class class class wbr 4030  dom cdm 4660  ℩cio 5214  Fun wfun 5249  ‘cfv 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5598  fvelrnb  5605  funimass4  5608  fvelimab  5614  fniinfv  5616  funfvdm  5621  dmfco  5626  fvco2  5627  eqfnfv  5656  fndmdif  5664  fndmin  5666  fvimacnvi  5673  fvimacnv  5674  funconstss  5677  fniniseg  5679  fniniseg2  5681  fnniniseg2  5682  rexsupp  5683  fvelrn  5690  rexrn  5696  ralrn  5697  dff3im  5704  fmptco  5725  fsn2  5733  fnressn  5745  resfunexg  5780  eufnfv  5790  funfvima3  5793  rexima  5798  ralima  5799  fniunfv  5806  elunirn  5810  dff13  5812  foeqcnvco  5834  f1eqcocnv  5835  isocnv2  5856  isoini  5862  f1oiso  5870  fnovex  5952  suppssof1  6150  offveqb  6152  1stexg  6222  2ndexg  6223  smoiso  6357  rdgtfr  6429  rdgruledefgg  6430  rdgivallem  6436  frectfr  6455  frecrdg  6463  en1  6855  fundmen  6862  fnfi  6997  ordiso2  7096  cc2lem  7328  climshft2  11452  slotex  12648  strsetsid  12654  ressbas2d  12689  ressbasid  12691  strressid  12692  ressval3d  12693  prdsex  12883  imasex  12891  imasival  12892  imasbas  12893  imasplusg  12894  imasmulr  12895  imasaddfn  12903  imasaddval  12904  imasaddf  12905  imasmulfn  12906  imasmulval  12907  imasmulf  12908  qusval  12909  qusex  12911  qusaddvallemg  12919  qusaddflemg  12920  qusaddval  12921  qusaddf  12922  qusmulval  12923  qusmulf  12924  xpsfeq  12931  xpsval  12938  ismgm  12943  plusffvalg  12948  grpidvalg  12959  fn0g  12961  fngsum  12974  igsumvalx  12975  gsumfzval  12977  gsumress  12981  gsum0g  12982  issgrp  12989  ismnddef  13002  issubmnd  13026  ress0g  13027  ismhm  13036  mhmex  13037  issubm  13047  0mhm  13061  grppropstrg  13094  grpinvfvalg  13117  grpinvval  13118  grpinvfng  13119  grpsubfvalg  13120  grpsubval  13121  grpressid  13136  grplactfval  13176  qusgrp2  13186  mulgfvalg  13194  mulgval  13195  mulgex  13196  mulgfng  13197  issubg  13246  subgex  13249  issubg2m  13262  isnsg  13275  releqgg  13293  eqgex  13294  eqgfval  13295  eqgen  13300  isghm  13316  ablressid  13408  mgptopng  13428  isrng  13433  rngressid  13453  qusrng  13457  dfur2g  13461  issrg  13464  isring  13499  ringidss  13528  ringressid  13562  qusring2  13565  reldvdsrsrg  13591  dvdsrvald  13592  dvdsrex  13597  unitgrp  13615  unitabl  13616  invrfvald  13621  unitlinv  13625  unitrinv  13626  dvrfvald  13632  rdivmuldivd  13643  invrpropdg  13648  dfrhm2  13653  rhmex  13656  rhmunitinv  13677  isnzr2  13683  issubrng  13698  issubrg  13720  subrgugrp  13739  rrgval  13761  isdomn  13768  aprval  13781  aprap  13785  islmod  13790  scaffvalg  13805  rmodislmod  13850  lssex  13853  lsssetm  13855  islssm  13856  islssmg  13857  islss3  13878  lspfval  13887  lspval  13889  lspcl  13890  lspex  13894  sraval  13936  sralemg  13937  srascag  13941  sravscag  13942  sraipg  13943  sraex  13945  rlmsubg  13957  rlmvnegg  13964  ixpsnbasval  13965  lidlex  13972  rspex  13973  lidlss  13975  lidlrsppropdg  13994  qusrhm  14027  mopnset  14051  psrval  14163  fnpsr  14164  psrbasg  14170  psrelbas  14171  psrplusgg  14173  psraddcl  14175