Theorem funfvex 5511

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5204	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑦𝐴𝐹𝑦)
2		funfveu 5507	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦)
3		euiotaex 5174	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2257	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∃!weu 2019   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   class class class wbr 3987  dom cdm 4609  ℩cio 5156  Fun wfun 5190  ‘cfv 5196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5535  fvelrnb  5542  funimass4  5545  fvelimab  5550  fniinfv  5552  funfvdm  5557  dmfco  5562  fvco2  5563  eqfnfv  5591  fndmdif  5598  fndmin  5600  fvimacnvi  5607  fvimacnv  5608  funconstss  5611  fniniseg  5613  fniniseg2  5615  fnniniseg2  5616  rexsupp  5617  fvelrn  5624  rexrn  5630  ralrn  5631  dff3im  5638  fmptco  5659  fsn2  5667  fnressn  5679  resfunexg  5714  eufnfv  5723  funfvima3  5726  rexima  5731  ralima  5732  fniunfv  5738  elunirn  5742  dff13  5744  foeqcnvco  5766  f1eqcocnv  5767  isocnv2  5788  isoini  5794  f1oiso  5802  fnovex  5883  suppssof1  6075  offveqb  6077  1stexg  6143  2ndexg  6144  smoiso  6278  rdgtfr  6350  rdgruledefgg  6351  rdgivallem  6357  frectfr  6376  frecrdg  6384  en1  6773  fundmen  6780  fnfi  6910  ordiso2  7008  cc2lem  7215  climshft2  11256  slotex  12430  strsetsid  12436  ismgm  12598  plusffvalg  12603  grpidvalg  12614  fn0g  12616  issgrp  12631  ismnddef  12641  ismhm  12672  issubm  12682  0mhm  12691