Theorem funfvex 5712

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5385	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑦𝐴𝐹𝑦)
2		funfveu 5708	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦)
3		euiotaex 5354	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2325	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃!weu 2086   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   class class class wbr 4130  dom cdm 4774  ℩cio 5335  Fun wfun 5371  ‘cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385

This theorem is used by:  fnbrfvb  5741  fvelrnb  5750  funimass4  5753  fvelimab  5759  fniinfv  5761  funfvdm  5766  dmfco  5773  fvco2  5774  eqfnfv  5806  fndmdif  5814  fndmin  5816  fvimacnvi  5823  fvimacnv  5824  funconstss  5827  fniniseg  5829  fniniseg2  5831  fnniniseg2  5832  fvelrn  5839  rexrn  5845  ralrn  5846  dff3im  5853  fmptco  5874  fsn2  5882  funiun  5890  fnressn  5901  resfunexg  5936  eufnfv  5949  funfvima3  5952  rexima  5960  ralima  5961  fniunfv  5968  elunirn  5972  dff13  5974  foeqcnvco  5996  f1eqcocnv  5997  isocnv2  6018  isoini  6024  f1oiso  6032  fnovex  6118  suppssof1  6320  offveqb  6322  1stexg  6401  2ndexg  6402  smoiso  6573  rdgtfr  6645  rdgruledefgg  6646  rdgivallem  6652  frectfr  6671  frecrdg  6679  en1  7086  fundmen  7094  fnfi  7250  ordiso2  7375  cc2lem  7632  climshft2  12088  slotex  13428  strsetsid  13434  ressbas2d  13471  ressbasid  13473  strressid  13474  ressval3d  13475  imasex  13675  imasival  13676  imasbas  13677  imasplusg  13678  imasmulr  13679  imasaddfn  13687  imasaddval  13688  imasaddf  13689  imasmulfn  13690  imasmulval  13691  imasmulf  13692  qusval  13693  qusex  13695  qusaddvallemg  13703  qusaddflemg  13704  qusaddval  13705  qusaddf  13706  qusmulval  13707  qusmulf  13708  xpsfeq  13715  ismgm  13726  plusffvalg  13731  grpidvalg  13742  fn0g  13744  fngzsum  13757  gzsumvalx  13758  gzsumfzval  13760  gzsumress  13761  gzsum0  13762  issgrp  13767  ismnddef  13780  issubmnd  13804  ress0g  13805  ismhm  13817  mhmex  13818  issubm  13828  0mhm  13842  grppropstrg  13873  grpinvfvalg  13896  grpinvval  13897  grpinvfng  13898  grpsubfvalg  13899  grpsubval  13900  grpressid  13915  grplactfval  13955  qusgrp2  13965  mulgfvalg  13973  mulgval  13974  mulgex  13975  mulgfng  13976  issubg  14025  subgex  14028  issubg2m  14041  isnsg  14054  releqgg  14072  eqgex  14073  eqgfval  14074  eqgen  14079  isghm  14095  ablressid  14188  prdsex  14221  prdsval  14222  prdsbaslemss  14223  prdsbas  14225  prdsplusg  14226  prdsmulr  14227  xpsval  14250  pwsbas  14254  pwselbasb  14255  pwssnf1o  14260  mgptopng  14277  isrng  14282  rngressid  14302  qusrng  14306  dfur2g  14315  issrg  14318  isring  14353  ringidss  14383  ringressid  14417  qusring2  14420  dvdsrvald  14449  dvdsrex  14454  unitgrp  14472  unitabl  14473  invrfvald  14478  unitlinv  14482  unitrinv  14483  dvrfvald  14489  rdivmuldivd  14500  invrpropdg  14505  dfrhm2  14510  rhmex  14513  rhmunitinv  14534  isnzr2  14540  issubrng  14556  issubrg  14578  subrgugrp  14597  rrgval  14619  isdomn  14627  aprval  14640  aprap  14647  aprprop  14650  islmod  14676  scaffvalg  14692  rmodislmod  14737  lssex  14740  lsssetm  14742  islssm  14743  islssmg  14744  islss3  14765  lspfval  14774  lspval  14776  lspcl  14777  lspex  14781  sraval  14823  sralemg  14824  srascag  14828  sravscag  14829  sraipg  14830  sraex  14832  rlmsubg  14844  rlmvnegg  14851  ixpsnbasval  14852  lidlex  14859  rspex  14860  lidlss  14862  lidlrsppropdg  14881  qusrhm  14914  mopnset  14938  aspval  15064  asclfval  15070  psrval  15099  fnpsr  15100  psrbasg  15114  psrelbas  15115  psrplusgg  15118  psraddcl  15120  psr0cl  15121  psrnegcl  15123  psr1clfi  15128  mplvalcoe  15130  fnmpl  15133  mplplusgg  15143  vtxvalg  16376  vtxex  16378  eupth2lem3lem6fi  16831