Theorem funfvex 5513

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5206	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑦𝐴𝐹𝑦)
2		funfveu 5509	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦)
3		euiotaex 5176	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2257	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∃!weu 2019   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   class class class wbr 3989  dom cdm 4611  ℩cio 5158  Fun wfun 5192  ‘cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5537  fvelrnb  5544  funimass4  5547  fvelimab  5552  fniinfv  5554  funfvdm  5559  dmfco  5564  fvco2  5565  eqfnfv  5593  fndmdif  5601  fndmin  5603  fvimacnvi  5610  fvimacnv  5611  funconstss  5614  fniniseg  5616  fniniseg2  5618  fnniniseg2  5619  rexsupp  5620  fvelrn  5627  rexrn  5633  ralrn  5634  dff3im  5641  fmptco  5662  fsn2  5670  fnressn  5682  resfunexg  5717  eufnfv  5726  funfvima3  5729  rexima  5734  ralima  5735  fniunfv  5741  elunirn  5745  dff13  5747  foeqcnvco  5769  f1eqcocnv  5770  isocnv2  5791  isoini  5797  f1oiso  5805  fnovex  5886  suppssof1  6078  offveqb  6080  1stexg  6146  2ndexg  6147  smoiso  6281  rdgtfr  6353  rdgruledefgg  6354  rdgivallem  6360  frectfr  6379  frecrdg  6387  en1  6777  fundmen  6784  fnfi  6914  ordiso2  7012  cc2lem  7228  climshft2  11269  slotex  12443  strsetsid  12449  ismgm  12611  plusffvalg  12616  grpidvalg  12627  fn0g  12629  issgrp  12644  ismnddef  12654  ismhm  12685  issubm  12695  0mhm  12704  grpinvfvalg  12745  grpinvval  12746  grpinvfng  12747  grpsubfvalg  12748  grpsubval  12749