Theorem funfvex 5710

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5383	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑦𝐴𝐹𝑦)
2		funfveu 5706	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦)
3		euiotaex 5352	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2325	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃!weu 2086   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   class class class wbr 4128  dom cdm 4772  ℩cio 5333  Fun wfun 5369  ‘cfv 5375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5738  fvelrnb  5747  funimass4  5750  fvelimab  5756  fniinfv  5758  funfvdm  5763  dmfco  5770  fvco2  5771  eqfnfv  5800  fndmdif  5808  fndmin  5810  fvimacnvi  5817  fvimacnv  5818  funconstss  5821  fniniseg  5823  fniniseg2  5825  fnniniseg2  5826  fvelrn  5833  rexrn  5839  ralrn  5840  dff3im  5847  fmptco  5868  fsn2  5876  funiun  5884  fnressn  5895  resfunexg  5930  eufnfv  5943  funfvima3  5946  rexima  5954  ralima  5955  fniunfv  5962  elunirn  5966  dff13  5968  foeqcnvco  5990  f1eqcocnv  5991  isocnv2  6012  isoini  6018  f1oiso  6026  fnovex  6112  suppssof1  6314  offveqb  6316  1stexg  6395  2ndexg  6396  smoiso  6567  rdgtfr  6639  rdgruledefgg  6640  rdgivallem  6646  frectfr  6665  frecrdg  6673  en1  7080  fundmen  7088  fnfi  7244  ordiso2  7369  cc2lem  7626  climshft2  12055  slotex  13362  strsetsid  13368  ressbas2d  13405  ressbasid  13407  strressid  13408  ressval3d  13409  imasex  13609  imasival  13610  imasbas  13611  imasplusg  13612  imasmulr  13613  imasaddfn  13621  imasaddval  13622  imasaddf  13623  imasmulfn  13624  imasmulval  13625  imasmulf  13626  qusval  13627  qusex  13629  qusaddvallemg  13637  qusaddflemg  13638  qusaddval  13639  qusaddf  13640  qusmulval  13641  qusmulf  13642  xpsfeq  13649  ismgm  13660  plusffvalg  13665  grpidvalg  13676  fn0g  13678  fngzsum  13691  gzsumvalx  13692  gzsumfzval  13694  gzsumress  13695  gzsum0  13696  issgrp  13701  ismnddef  13714  issubmnd  13738  ress0g  13739  ismhm  13751  mhmex  13752  issubm  13762  0mhm  13776  grppropstrg  13807  grpinvfvalg  13830  grpinvval  13831  grpinvfng  13832  grpsubfvalg  13833  grpsubval  13834  grpressid  13849  grplactfval  13889  qusgrp2  13899  mulgfvalg  13907  mulgval  13908  mulgex  13909  mulgfng  13910  issubg  13959  subgex  13962  issubg2m  13975  isnsg  13988  releqgg  14006  eqgex  14007  eqgfval  14008  eqgen  14013  isghm  14029  ablressid  14122  prdsex  14155  prdsval  14156  prdsbaslemss  14157  prdsbas  14159  prdsplusg  14160  prdsmulr  14161  xpsval  14184  pwsbas  14188  pwselbasb  14189  pwssnf1o  14194  mgptopng  14211  isrng  14216  rngressid  14236  qusrng  14240  dfur2g  14249  issrg  14252  isring  14287  ringidss  14317  ringressid  14351  qusring2  14354  dvdsrvald  14383  dvdsrex  14388  unitgrp  14406  unitabl  14407  invrfvald  14412  unitlinv  14416  unitrinv  14417  dvrfvald  14423  rdivmuldivd  14434  invrpropdg  14439  dfrhm2  14444  rhmex  14447  rhmunitinv  14468  isnzr2  14474  issubrng  14490  issubrg  14512  subrgugrp  14531  rrgval  14553  isdomn  14561  aprval  14574  aprap  14581  aprprop  14584  islmod  14610  scaffvalg  14626  rmodislmod  14671  lssex  14674  lsssetm  14676  islssm  14677  islssmg  14678  islss3  14699  lspfval  14708  lspval  14710  lspcl  14711  lspex  14715  sraval  14757  sralemg  14758  srascag  14762  sravscag  14763  sraipg  14764  sraex  14766  rlmsubg  14778  rlmvnegg  14785  ixpsnbasval  14786  lidlex  14793  rspex  14794  lidlss  14796  lidlrsppropdg  14815  qusrhm  14848  mopnset  14872  aspval  14998  asclfval  15004  psrval  15033  fnpsr  15034  psrbasg  15048  psrelbas  15049  psrplusgg  15052  psraddcl  15054  psr0cl  15055  psrnegcl  15057  psr1clfi  15062  mplvalcoe  15064  fnmpl  15067  mplplusgg  15077  vtxvalg  16240  vtxex  16242  eupth2lem3lem6fi  16695