Theorem funfvex 5544

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5236	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑦𝐴𝐹𝑦)
2		funfveu 5540	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦)
3		euiotaex 5206	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2274	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃!weu 2036   ∈ wcel 2158  Vcvv 2749   class class class wbr 4015  dom cdm 4638  ℩cio 5188  Fun wfun 5222  ‘cfv 5228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5569  fvelrnb  5576  funimass4  5579  fvelimab  5585  fniinfv  5587  funfvdm  5592  dmfco  5597  fvco2  5598  eqfnfv  5626  fndmdif  5634  fndmin  5636  fvimacnvi  5643  fvimacnv  5644  funconstss  5647  fniniseg  5649  fniniseg2  5651  fnniniseg2  5652  rexsupp  5653  fvelrn  5660  rexrn  5666  ralrn  5667  dff3im  5674  fmptco  5695  fsn2  5703  fnressn  5715  resfunexg  5750  eufnfv  5760  funfvima3  5763  rexima  5768  ralima  5769  fniunfv  5776  elunirn  5780  dff13  5782  foeqcnvco  5804  f1eqcocnv  5805  isocnv2  5826  isoini  5832  f1oiso  5840  fnovex  5921  suppssof1  6114  offveqb  6116  1stexg  6182  2ndexg  6183  smoiso  6317  rdgtfr  6389  rdgruledefgg  6390  rdgivallem  6396  frectfr  6415  frecrdg  6423  en1  6813  fundmen  6820  fnfi  6950  ordiso2  7048  cc2lem  7279  climshft2  11328  slotex  12503  strsetsid  12509  ressbas2d  12542  ressbasid  12544  strressid  12545  ressval3d  12546  prdsex  12736  imasex  12744  imasival  12745  imasbas  12746  imasplusg  12747  imasmulr  12748  imasaddfn  12756  imasaddval  12757  imasaddf  12758  imasmulfn  12759  imasmulval  12760  imasmulf  12761  qusval  12762  qusex  12764  qusaddvallemg  12771  qusaddflemg  12772  qusaddval  12773  qusaddf  12774  qusmulval  12775  qusmulf  12776  xpsfeq  12783  xpsval  12790  ismgm  12795  plusffvalg  12800  grpidvalg  12811  fn0g  12813  issgrp  12828  ismnddef  12841  issubmnd  12865  ress0g  12866  ismhm  12875  issubm  12885  0mhm  12895  grppropstrg  12917  grpinvfvalg  12939  grpinvval  12940  grpinvfng  12941  grpsubfvalg  12942  grpsubval  12943  grpressid  12958  grplactfval  12998  qusgrp2  13008  mulgfvalg  13016  mulgval  13017  mulgex  13018  mulgfng  13019  issubg  13065  subgex  13068  issubg2m  13081  isnsg  13094  releqgg  13112  eqgex  13113  eqgfval  13114  eqgen  13119  ablressid  13170  mgptopng  13181  isrng  13186  rngressid  13206  qusrng  13210  dfur2g  13214  issrg  13217  isring  13252  ringidss  13281  ringressid  13311  qusring2  13314  reldvdsrsrg  13340  dvdsrvald  13341  dvdsrex  13346  unitgrp  13364  unitabl  13365  invrfvald  13370  unitlinv  13374  unitrinv  13375  dvrfvald  13381  rdivmuldivd  13392  invrpropdg  13397  issubrng  13419  issubrg  13441  subrgugrp  13460  aprval  13471  aprap  13475  islmod  13480  scaffvalg  13495  rmodislmod  13540  lssex  13543  lsssetm  13545  islssm  13546  islssmg  13547  islss3  13568  lspfval  13577  lspval  13579  lspcl  13580  lspex  13584  sraval  13626  sralemg  13627  srascag  13631  sravscag  13632  sraipg  13633  sraex  13635  rlmsubg  13647  rlmvnegg  13654  ixpsnbasval  13655  lidlex  13662  rspex  13663  lidlss  13665  lidlrsppropdg  13684