Theorem funfvex 5532

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5224	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑦𝐴𝐹𝑦)
2		funfveu 5528	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦)
3		euiotaex 5194	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2264	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃!weu 2026   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   class class class wbr 4003  dom cdm 4626  ℩cio 5176  Fun wfun 5210  ‘cfv 5216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5556  fvelrnb  5563  funimass4  5566  fvelimab  5572  fniinfv  5574  funfvdm  5579  dmfco  5584  fvco2  5585  eqfnfv  5613  fndmdif  5621  fndmin  5623  fvimacnvi  5630  fvimacnv  5631  funconstss  5634  fniniseg  5636  fniniseg2  5638  fnniniseg2  5639  rexsupp  5640  fvelrn  5647  rexrn  5653  ralrn  5654  dff3im  5661  fmptco  5682  fsn2  5690  fnressn  5702  resfunexg  5737  eufnfv  5747  funfvima3  5750  rexima  5755  ralima  5756  fniunfv  5762  elunirn  5766  dff13  5768  foeqcnvco  5790  f1eqcocnv  5791  isocnv2  5812  isoini  5818  f1oiso  5826  fnovex  5907  suppssof1  6099  offveqb  6101  1stexg  6167  2ndexg  6168  smoiso  6302  rdgtfr  6374  rdgruledefgg  6375  rdgivallem  6381  frectfr  6400  frecrdg  6408  en1  6798  fundmen  6805  fnfi  6935  ordiso2  7033  cc2lem  7264  climshft2  11313  slotex  12488  strsetsid  12494  ressbas2d  12527  strressid  12529  ressval3d  12530  prdsex  12717  imasex  12725  imasival  12726  imasbas  12727  imasplusg  12728  imasmulr  12729  imasaddfn  12737  imasaddval  12738  imasaddf  12739  imasmulfn  12740  imasmulval  12741  imasmulf  12742  qusval  12743  qusaddvallemg  12751  qusaddflemg  12752  qusaddval  12753  qusaddf  12754  qusmulval  12755  qusmulf  12756  xpsfeq  12763  xpsval  12770  ismgm  12775  plusffvalg  12780  grpidvalg  12791  fn0g  12793  issgrp  12808  ismnddef  12818  issubmnd  12842  ress0g  12843  ismhm  12852  issubm  12862  0mhm  12872  grppropstrg  12894  grpinvfvalg  12914  grpinvval  12915  grpinvfng  12916  grpsubfvalg  12917  grpsubval  12918  grpressid  12930  grplactfval  12970  mulgfvalg  12984  mulgval  12985  mulgfng  12986  issubg  13031  subgex  13034  issubg2m  13047  isnsg  13060  releqgg  13078  eqgfval  13079  eqgen  13084  mgptopng  13137  dfur2g  13143  issrg  13146  isring  13181  ringidss  13210  ringressid  13236  reldvdsrsrg  13259  dvdsrvald  13260  dvdsrex  13265  unitgrp  13283  unitabl  13284  invrfvald  13289  unitlinv  13293  unitrinv  13294  dvrfvald  13300  rdivmuldivd  13311  invrpropdg  13316  issubrg  13340  subrgugrp  13359  aprval  13370  aprap  13374  islmod  13379  scaffvalg  13394