ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elpreima GIF version

Theorem elpreima 5637
Description: Membership in the preimage of a set under a function. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
elpreima (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐹𝐶) ↔ (𝐵𝐴 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝐶)))

Proof of Theorem elpreima
StepHypRef Expression
1 cnvimass 4993 . . . . 5 (𝐹𝐶) ⊆ dom 𝐹
21sseli 3153 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝐹𝐶) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
3 fndm 5317 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
43eleq2d 2247 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹𝐵𝐴))
52, 4imbitrid 154 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐹𝐶) → 𝐵𝐴))
6 fnfun 5315 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
7 fvimacnvi 5632 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ (𝐹𝐶)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
86, 7sylan 283 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵 ∈ (𝐹𝐶)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
98ex 115 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐹𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ 𝐶))
105, 9jcad 307 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐹𝐶) → (𝐵𝐴 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝐶)))
11 fvimacnv 5633 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝐵) ∈ 𝐶𝐵 ∈ (𝐹𝐶)))
1211funfni 5318 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ 𝐶𝐵 ∈ (𝐹𝐶)))
1312biimpd 144 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ 𝐶𝐵 ∈ (𝐹𝐶)))
1413expimpd 363 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐵𝐴 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐹𝐶)))
1510, 14impbid 129 1 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐹𝐶) ↔ (𝐵𝐴 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2148  ccnv 4627  dom cdm 4628  cima 4631  Fun wfun 5212   Fn wfn 5213  cfv 5218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226
This theorem is referenced by:  fniniseg  5638  fncnvima2  5639  rexsupp  5642  unpreima  5643  respreima  5646  fisumss  11402  fprodssdc  11600  tanvalap  11718  1arith  12367  cncnpi  13767  cncnp  13769  cnpdis  13781  tx1cn  13808  tx2cn  13809  txcnmpt  13812  txdis1cn  13817  xmeterval  13974  cnbl0  14073  cnblcld  14074
  Copyright terms: Public domain W3C validator