ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fun11uni GIF version

Theorem fun11uni 5084
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of one-to-one functions is a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
fun11uni (∀𝑓𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → (Fun 𝐴 ∧ Fun 𝐴))
Distinct variable group:   𝑓,𝑔,𝐴

Proof of Theorem fun11uni
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . . . 5 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) → Fun 𝑓)
21anim1i 333 . . . 4 (((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
32ralimi 2438 . . 3 (∀𝑓𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
4 fununi 5082 . . 3 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Fun 𝐴)
53, 4syl 14 . 2 (∀𝑓𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Fun 𝐴)
6 simpr 108 . . . . 5 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) → Fun 𝑓)
76anim1i 333 . . . 4 (((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
87ralimi 2438 . . 3 (∀𝑓𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
9 funcnvuni 5083 . . 3 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Fun 𝐴)
108, 9syl 14 . 2 (∀𝑓𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Fun 𝐴)
115, 10jca 300 1 (∀𝑓𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → (Fun 𝐴 ∧ Fun 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wo 664  wral 2359  wss 2999   cuni 3653  ccnv 4437  Fun wfun 5009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-fun 5017
This theorem is referenced by:  fun11iun  5274
  Copyright terms: Public domain W3C validator