ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fun11uni GIF version

Theorem fun11uni 5040
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of one-to-one functions is a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
fun11uni (∀𝑓𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → (Fun 𝐴 ∧ Fun 𝐴))
Distinct variable group:   𝑓,𝑔,𝐴

Proof of Theorem fun11uni
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . . . 5 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) → Fun 𝑓)
21anim1i 333 . . . 4 (((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
32ralimi 2434 . . 3 (∀𝑓𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
4 fununi 5038 . . 3 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Fun 𝐴)
53, 4syl 14 . 2 (∀𝑓𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Fun 𝐴)
6 simpr 108 . . . . 5 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) → Fun 𝑓)
76anim1i 333 . . . 4 (((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
87ralimi 2434 . . 3 (∀𝑓𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
9 funcnvuni 5039 . . 3 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Fun 𝐴)
108, 9syl 14 . 2 (∀𝑓𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Fun 𝐴)
115, 10jca 300 1 (∀𝑓𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun 𝑓) ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → (Fun 𝐴 ∧ Fun 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wo 662  wral 2355  wss 2986   cuni 3630  ccnv 4403  Fun wfun 4966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-fun 4974
This theorem is referenced by:  fun11iun  5225
  Copyright terms: Public domain W3C validator