Theorem fun11uni 5201

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of one-to-one functions is a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fun11uni	⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝐴 (𝑓 ⊆ 𝑔 ∨ 𝑔 ⊆ 𝑓)) → (Fun ∪ 𝐴 ∧ Fun ◡∪ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑓,𝑔,𝐴

Proof of Theorem fun11uni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑓 ∧ Fun ◡𝑓) → Fun 𝑓)
2	1	anim1i 338	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝑓 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝐴 (𝑓 ⊆ 𝑔 ∨ 𝑔 ⊆ 𝑓)) → (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔 ∈ 𝐴 (𝑓 ⊆ 𝑔 ∨ 𝑔 ⊆ 𝑓)))
3	2	ralimi 2498	. . 3 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝐴 (𝑓 ⊆ 𝑔 ∨ 𝑔 ⊆ 𝑓)) → ∀𝑓 ∈ 𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔 ∈ 𝐴 (𝑓 ⊆ 𝑔 ∨ 𝑔 ⊆ 𝑓)))
4		fununi 5199	. . 3 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔 ∈ 𝐴 (𝑓 ⊆ 𝑔 ∨ 𝑔 ⊆ 𝑓)) → Fun ∪ 𝐴)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝐴 (𝑓 ⊆ 𝑔 ∨ 𝑔 ⊆ 𝑓)) → Fun ∪ 𝐴)
6		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑓 ∧ Fun ◡𝑓) → Fun ◡𝑓)
7	6	anim1i 338	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝑓 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝐴 (𝑓 ⊆ 𝑔 ∨ 𝑔 ⊆ 𝑓)) → (Fun ◡𝑓 ∧ ∀𝑔 ∈ 𝐴 (𝑓 ⊆ 𝑔 ∨ 𝑔 ⊆ 𝑓)))
8	7	ralimi 2498	. . 3 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝐴 (𝑓 ⊆ 𝑔 ∨ 𝑔 ⊆ 𝑓)) → ∀𝑓 ∈ 𝐴 (Fun ◡𝑓 ∧ ∀𝑔 ∈ 𝐴 (𝑓 ⊆ 𝑔 ∨ 𝑔 ⊆ 𝑓)))
9		funcnvuni 5200	. . 3 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐴 (Fun ◡𝑓 ∧ ∀𝑔 ∈ 𝐴 (𝑓 ⊆ 𝑔 ∨ 𝑔 ⊆ 𝑓)) → Fun ◡∪ 𝐴)
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝐴 (𝑓 ⊆ 𝑔 ∨ 𝑔 ⊆ 𝑓)) → Fun ◡∪ 𝐴)
11	5, 10	jca 304	1 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐴 ((Fun 𝑓 ∧ Fun ◡𝑓) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝐴 (𝑓 ⊆ 𝑔 ∨ 𝑔 ⊆ 𝑓)) → (Fun ∪ 𝐴 ∧ Fun ◡∪ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  ∀wral 2417   ⊆ wss 3076  ∪ cuni 3744  ^◡ccnv 4546  Fun wfun 5125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-fun 5133

This theorem is referenced by:  fun11iun  5396  ennnfonelemf1  11967