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Theorem fununi 5127
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
fununi (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Fun 𝐴)
Distinct variable group:   𝑓,𝑔,𝐴

Proof of Theorem fununi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 5076 . . . . 5 (Fun 𝑓 → Rel 𝑓)
21adantr 272 . . . 4 ((Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Rel 𝑓)
32ralimi 2454 . . 3 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑓𝐴 Rel 𝑓)
4 reluni 4600 . . 3 (Rel 𝐴 ↔ ∀𝑓𝐴 Rel 𝑓)
53, 4sylibr 133 . 2 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Rel 𝐴)
6 r19.28av 2527 . . . 4 ((Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
76ralimi 2454 . . 3 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
8 ssel 3041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤𝑣 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣))
98anim1d 332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝑣 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)))
10 dffun4 5070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝑣 ↔ (Rel 𝑣 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
1110simprbi 271 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝑣 → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
121119.21bbi 1506 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑣 → ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
131219.21bi 1505 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝑣 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
149, 13syl9r 73 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝑣 → (𝑤𝑣 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
1514adantl 273 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) → (𝑤𝑣 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
16 ssel 3041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣𝑤 → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤))
1716anim2d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣𝑤 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤)))
18 dffun4 5070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝑤 ↔ (Rel 𝑤 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤) → 𝑦 = 𝑧)))
1918simprbi 271 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝑤 → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤) → 𝑦 = 𝑧))
201919.21bbi 1506 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑤 → ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤) → 𝑦 = 𝑧))
212019.21bi 1505 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝑤 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤) → 𝑦 = 𝑧))
2217, 21syl9r 73 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝑤 → (𝑣𝑤 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
2322adantr 272 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) → (𝑣𝑤 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
2415, 23jaod 678 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) → ((𝑤𝑣𝑣𝑤) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
2524imp 123 . . . . . . . 8 (((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
2625ralimi 2454 . . . . . . 7 (∀𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) → ∀𝑣𝐴 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
2726ralimi 2454 . . . . . 6 (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) → ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
28 funeq 5079 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑤 → (Fun 𝑓 ↔ Fun 𝑤))
29 sseq1 3070 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑤 → (𝑓𝑔𝑤𝑔))
30 sseq2 3071 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑤 → (𝑔𝑓𝑔𝑤))
3129, 30orbi12d 748 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑤 → ((𝑓𝑔𝑔𝑓) ↔ (𝑤𝑔𝑔𝑤)))
3228, 31anbi12d 460 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑤 → ((Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑔𝑔𝑤))))
33 sseq2 3071 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑣 → (𝑤𝑔𝑤𝑣))
34 sseq1 3070 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑣 → (𝑔𝑤𝑣𝑤))
3533, 34orbi12d 748 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑣 → ((𝑤𝑔𝑔𝑤) ↔ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
3635anbi2d 455 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑣 → ((Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑔𝑔𝑤)) ↔ (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
3732, 36cbvral2v 2620 . . . . . . . 8 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
38 ralcom 2552 . . . . . . . . 9 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ ∀𝑔𝐴𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
39 orcom 688 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑔𝑔𝑓) ↔ (𝑔𝑓𝑓𝑔))
40 sseq1 3070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑤 → (𝑔𝑓𝑤𝑓))
41 sseq2 3071 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑤 → (𝑓𝑔𝑓𝑤))
4240, 41orbi12d 748 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑤 → ((𝑔𝑓𝑓𝑔) ↔ (𝑤𝑓𝑓𝑤)))
4339, 42syl5bb 191 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑤 → ((𝑓𝑔𝑔𝑓) ↔ (𝑤𝑓𝑓𝑤)))
4443anbi2d 455 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑤 → ((Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ (Fun 𝑓 ∧ (𝑤𝑓𝑓𝑤))))
45 funeq 5079 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑣 → (Fun 𝑓 ↔ Fun 𝑣))
46 sseq2 3071 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑣 → (𝑤𝑓𝑤𝑣))
47 sseq1 3070 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑣 → (𝑓𝑤𝑣𝑤))
4846, 47orbi12d 748 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑣 → ((𝑤𝑓𝑓𝑤) ↔ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
4945, 48anbi12d 460 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑣 → ((Fun 𝑓 ∧ (𝑤𝑓𝑓𝑤)) ↔ (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
5044, 49cbvral2v 2620 . . . . . . . . 9 (∀𝑔𝐴𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
5138, 50bitri 183 . . . . . . . 8 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
5237, 51anbi12i 451 . . . . . . 7 ((∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ∧ ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓))) ↔ (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
53 anidm 391 . . . . . . 7 ((∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ∧ ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓))) ↔ ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
54 anandir 561 . . . . . . . . 9 (((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ↔ ((Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
55542ralbii 2402 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
56 r19.26-2 2520 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))) ↔ (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
5755, 56bitr2i 184 . . . . . . 7 ((∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
5852, 53, 573bitr3i 209 . . . . . 6 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
59 eluni 3686 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴))
60 eluni 3686 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴))
6159, 60anbi12i 451 . . . . . . . . 9 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ ∃𝑣(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)))
62 eeanv 1867 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝑣((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)) ↔ (∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ ∃𝑣(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)))
63 an4 556 . . . . . . . . . . 11 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) ∧ (𝑤𝐴𝑣𝐴)))
64 ancom 264 . . . . . . . . . . 11 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) ∧ (𝑤𝐴𝑣𝐴)) ↔ ((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)))
6563, 64bitri 183 . . . . . . . . . 10 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)) ↔ ((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)))
66652exbii 1553 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝑣((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)) ↔ ∃𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)))
6761, 62, 663bitr2i 207 . . . . . . . 8 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)))
6867imbi1i 237 . . . . . . 7 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧) ↔ (∃𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧))
69 19.23v 1822 . . . . . . 7 (∀𝑤(∃𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ (∃𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧))
70 r2al 2413 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
71 impexp 261 . . . . . . . . 9 ((((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ((𝑤𝐴𝑣𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
72712albii 1415 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝑣(((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
73 19.23v 1822 . . . . . . . . 9 (∀𝑣(((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ (∃𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧))
7473albii 1414 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝑣(((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑤(∃𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧))
7570, 72, 743bitr2ri 208 . . . . . . 7 (∀𝑤(∃𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
7668, 69, 753bitr2i 207 . . . . . 6 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
7727, 58, 763imtr4i 200 . . . . 5 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
7877alrimiv 1813 . . . 4 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
7978alrimivv 1814 . . 3 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
807, 79syl 14 . 2 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
81 dffun4 5070 . 2 (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧)))
825, 80, 81sylanbrc 411 1 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Fun 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 670  wal 1297  wex 1436  wcel 1448  wral 2375  wss 3021  cop 3477   cuni 3683  Rel wrel 4482  Fun wfun 5053
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-fun 5061
This theorem is referenced by:  funcnvuni  5128  fun11uni  5129  ennnfonelemfun  11722
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