Theorem ltnrd 8186

Description: 'Less than' is irreflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltnrd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem ltnrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnr 8151	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4045  ℝcr 7926   < clt 8109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-pre-ltirr 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114

This theorem is referenced by:  fzonel  10285  infssuzex  10378  frec2uzlt2d  10551  frec2uzf1od  10553  zfz1isolemiso  10986  recvguniqlem  11338  resqrexlemoverl  11365  leabs  11418  ltabs  11431  maxleim  11549  climuni  11637  znnen  12802  dedekindeulemeu  15127  dedekindicclemeu  15136  ivthinc  15148  limcimo  15170  efltlemlt  15279  taupi  16049