Theorem ltnrd 8069

Description: 'Less than' is irreflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltnrd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem ltnrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnr 8034	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  ℝcr 7810   < clt 7992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-pre-ltirr 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997

This theorem is referenced by:  fzonel  10160  frec2uzlt2d  10404  frec2uzf1od  10406  zfz1isolemiso  10819  recvguniqlem  11003  resqrexlemoverl  11030  leabs  11083  ltabs  11096  maxleim  11214  climuni  11301  infssuzex  11950  znnen  12399  dedekindeulemeu  14103  dedekindicclemeu  14112  ivthinc  14124  limcimo  14137  efltlemlt  14198  taupi  14823