Theorem nn0mulcli 9584

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0addcl.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
nn0addcl.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcli	⊢ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0

Proof of Theorem nn0mulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl.1	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
2		nn0addcl.2	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
3		nn0mulcl 9582	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	mp2an 430	1 ⊢ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6079   · cmul 8178  ℕ₀cn0 9546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-sub 8493  df-inn 9288  df-n0 9547

This theorem is referenced by:  numnncl  9769  num0u  9770  numcl  9772  numsuc  9773  numlt  9784  decle  9793  decrmanc  9816  decsubi  9822  decmul1  9823  decmulnc  9826  decmul10add  9828  expnass  11065  dec2dvds  13173  dec5dvds  13174  gcdi  13182  decsplit  13191  log2ublem1  16066  log2ublem2  16067  log2ublem3  16068  log2ublog2  16069