Theorem numsucc 9818

Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numsucc.1	⊢ 𝑌 ∈ ℕ0
numsucc.2	⊢ 𝑇 = (𝑌 + 1)
numsucc.3	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numsucc.4	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
numsucc.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
numsucc	⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐵) + 0)

Proof of Theorem numsucc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numsucc.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑌 + 1)
2		numsucc.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ ℕ0
3		1nn0 9581	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 9602	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 + 1) ∈ ℕ0
5	1, 4	eqeltri 2311	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 9577	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
7	6	mulridi 8328	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 1) = 𝑇
8	7	oveq2i 6096	. . 3 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
9		numsucc.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 9577	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
11		ax-1cn 8272	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12	6, 10, 11	adddii 8336	. . 3 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1))
13	1	eqcomi 2242	. . . 4 ⊢ (𝑌 + 1) = 𝑇
14		numsucc.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑌)
15	5, 9, 2, 13, 14	numsuc 9792	. . 3 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
16	8, 12, 15	3eqtr4ri 2270	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = (𝑇 · (𝐴 + 1))
17		numsucc.4	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
18	17	oveq2i 6096	. 2 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = (𝑇 · 𝐵)
19	9, 3	nn0addcli 9602	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
20	17, 19	eqeltrri 2312	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
21	5, 20	num0u 9789	. 2 ⊢ (𝑇 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐵) + 0)
22	16, 18, 21	3eqtri 2263	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐵) + 0)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184  ℕ₀cn0 9565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-inn 9306  df-n0 9566

This theorem is used by:  decsucc  9819