Theorem nn0addcl 9609

Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 9318	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		id 19	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℂ → ℕ ⊆ ℂ)
3		df-n0 9575	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
4		nnaddcl 9333	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
6	2, 3, 5	un0addcl 9607	. 2 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
7	1, 6	mpan 428	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  (class class class)co 6088  ℂcc 8183   + caddc 8188  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-n0 9575

This theorem is used by:  nn0addcli  9611  peano2nn0  9614  nn0addcld  9635  nn0readdcl  9637  difelfznle  10559  elfzodifsumelfzo  10636  expadd  11039  faclbnd6  11204  facavg  11206  ccatlen  11385  ccatrn  11399  ccatalpha  11403  swrdccat2  11465  swrdswrdlem  11498  swrdswrd  11499  swrdccatin1  11519  pfxccatin12lem3  11526  fsumnn0cl  12195  bcxmas  12281  eftlub  12482  4sqlem1  13196  nn0subm  15029  psrbagaddclfi  15170  mplsubgfilemcl  15215  2sqlem7  16445  clwwlkccatlem  16846