ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0addcl GIF version

Theorem nn0addcl 8806
Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0addcl ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcl
StepHypRef Expression
1 nnsscn 8525 . 2 ℕ ⊆ ℂ
2 id 19 . . 3 (ℕ ⊆ ℂ → ℕ ⊆ ℂ)
3 df-n0 8772 . . 3 0 = (ℕ ∪ {0})
4 nnaddcl 8540 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
54adantl 272 . . 3 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
62, 3, 5un0addcl 8804 . 2 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
71, 6mpan 416 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1445  wss 3013  (class class class)co 5690  cc 7445   + caddc 7450  cn 8520  0cn0 8771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-i2m1 7547  ax-0id 7550
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-iota 5014  df-fv 5057  df-ov 5693  df-inn 8521  df-n0 8772
This theorem is referenced by:  nn0addcli  8808  peano2nn0  8811  nn0addcld  8828  nn0readdcl  8830  difelfznle  9695  elfzodifsumelfzo  9761  expadd  10128  faclbnd6  10283  facavg  10285  fsumnn0cl  10961  bcxmas  11047  eftlub  11144
  Copyright terms: Public domain W3C validator