Theorem nn0addcl 8769

Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 8488	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		id 19	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℂ → ℕ ⊆ ℂ)
3		df-n0 8735	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
4		nnaddcl 8503	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
5	4	adantl 272	. . 3 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
6	2, 3, 5	un0addcl 8767	. 2 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
7	1, 6	mpan 416	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1439   ⊆ wss 3000  (class class class)co 5666  ℂcc 7409   + caddc 7414  ℕcn 8483  ℕ₀cn0 8734

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-i2m1 7511  ax-0id 7514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-iota 4993  df-fv 5036  df-ov 5669  df-inn 8484  df-n0 8735

This theorem is referenced by:  nn0addcli  8771  peano2nn0  8774  nn0addcld  8791  nn0readdcl  8793  difelfznle  9607  elfzodifsumelfzo  9673  expadd  10058  faclbnd6  10213  facavg  10215  fsumnn0cl  10858  bcxmas  10944  eftlub  11041