ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0addcl GIF version

Theorem nn0addcl 9019
Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0addcl ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcl
StepHypRef Expression
1 nnsscn 8732 . 2 ℕ ⊆ ℂ
2 id 19 . . 3 (ℕ ⊆ ℂ → ℕ ⊆ ℂ)
3 df-n0 8985 . . 3 0 = (ℕ ∪ {0})
4 nnaddcl 8747 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
54adantl 275 . . 3 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
62, 3, 5un0addcl 9017 . 2 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
71, 6mpan 420 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1480  wss 3071  (class class class)co 5774  cc 7625   + caddc 7630  cn 8727  0cn0 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-inn 8728  df-n0 8985
This theorem is referenced by:  nn0addcli  9021  peano2nn0  9024  nn0addcld  9041  nn0readdcl  9043  difelfznle  9919  elfzodifsumelfzo  9985  expadd  10342  faclbnd6  10497  facavg  10499  fsumnn0cl  11179  bcxmas  11265  eftlub  11403
  Copyright terms: Public domain W3C validator