Theorem nnmulcl 9207

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6036	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 1))
2	1	eleq1d 2300	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 1) ∈ ℕ))
3	2	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ)))
4		oveq2 6036	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
5	4	eleq1d 2300	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ))
6	5	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ)))
7		oveq2 6036	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑦 + 1)))
8	7	eleq1d 2300	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
9	8	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
10		oveq2 6036	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝐵))
11	10	eleq1d 2300	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)))
13		nncn 9194	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		mulrid 8219	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
15	14	eleq1d 2300	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 1) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ ℕ))
16	15	biimprd 158	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ))
17	13, 16	mpcom 36	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ)
18		nnaddcl 9206	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ)
19	18	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ)
20		nncn 9194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
21		ax-1cn 8168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		adddi 8207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
23	21, 22	mp3an3 1363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
24	14	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
26	23, 25	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
27	13, 20, 26	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
28	27	eleq1d 2300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ))
29	19, 28	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
30	29	exp4b 367	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))))
31	30	pm2.43b 52	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
32	31	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
33	3, 6, 9, 12, 17, 32	nnind 9202	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ))
34	33	impcom 125	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  1c1 8076   + caddc 8078   · cmul 8080  ℕcn 9186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-1rid 8182  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9187

This theorem is referenced by:  nnmulcli  9208  nndivtr  9228  nnmulcld  9235  nn0mulcl  9481  qaddcl  9912  qmulcl  9914  modqmulnn  10648  nnexpcl  10858  nnsqcl  10915  faccl  11041  facdiv  11044  faclbnd3  11049  bcrpcl  11059  trirecip  12123  fprodnncl  12232  lcmgcdlem  12710  lcmgcdnn  12715  pcmptcl  12976  pcmpt  12977  4sqlem12  13036  mulgnnass  13805  lgseisenlem1  15869  lgseisenlem2  15870  lgseisenlem3  15871  lgseisenlem4  15872  lgsquadlem1  15876  lgsquadlem2  15877