Theorem nnmulcl 9335

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 1))
2	1	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 1) ∈ ℕ))
3	2	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ)))
4		oveq2 6096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
5	4	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ))
6	5	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ)))
7		oveq2 6096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑦 + 1)))
8	7	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
9	8	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
10		oveq2 6096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝐵))
11	10	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)))
13		nncn 9322	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		mulrid 8330	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
15	14	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 1) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ ℕ))
16	15	biimprd 158	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ))
17	13, 16	mpcom 36	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ)
18		nnaddcl 9334	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ)
19	18	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ)
20		nncn 9322	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
21		ax-1cn 8279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		adddi 8318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
23	21, 22	mp3an3 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
24	14	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
26	23, 25	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
27	13, 20, 26	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
28	27	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ))
29	19, 28	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
30	29	exp4b 367	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))))
31	30	pm2.43b 52	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
32	31	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
33	3, 6, 9, 12, 17, 32	nnind 9330	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ))
34	33	impcom 125	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  1c1 8187   + caddc 8189   · cmul 8191  ℕcn 9314

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-1rid 8293  ax-cnre 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9315

This theorem is used by:  nnmulcli  9336  nndivtr  9356  nnmulcld  9363  nn0mulcl  9611  qaddcl  10052  qmulcl  10054  modqmulnn  10801  nnexpcl  11011  nnsqcl  11068  faccl  11196  facdiv  11199  faclbnd3  11204  bcrpcl  11214  trirecip  12294  fprodnncl  12403  lcmgcdlem  12881  lcmgcdnn  12886  pcmptcl  13151  pcmpt  13152  4sqlem12  13211  mulgnnass  14020  logfac  16138  log2tlbndlog2  16232  log2ublem2  16234  log2ublog2  16236  efnnfsumcl  16251  efchtqdvds  16277  chtublem  16307  pcbcctr  16315  bclbnd  16319  bposlem1  16323  bposlem2  16324  bposlem3  16325  bposlem4  16326  bposlem5  16327  bposlem6  16328  lgseisenlem1  16406  lgseisenlem2  16407  lgseisenlem3  16408  lgseisenlem4  16409  lgsquadlem1  16413  lgsquadlem2  16414