ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmulcl GIF version

Theorem nnmulcl 8940
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnmulcl ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)

Proof of Theorem nnmulcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท 1))
21eleq1d 2246 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” (๐ด ยท 1) โˆˆ โ„•))
32imbi2d 230 . . 3 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โ†” (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท 1) โˆˆ โ„•)))
4 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ๐‘ฆ))
54eleq1d 2246 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” (๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))
65imbi2d 230 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โ†” (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)))
7 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1)))
87eleq1d 2246 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1)) โˆˆ โ„•))
98imbi2d 230 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โ†” (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1)) โˆˆ โ„•)))
10 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ๐ต))
1110eleq1d 2246 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•))
1211imbi2d 230 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โ†” (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)))
13 nncn 8927 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
14 mulrid 7954 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
1514eleq1d 2246 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด ยท 1) โˆˆ โ„• โ†” ๐ด โˆˆ โ„•))
1615biimprd 158 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท 1) โˆˆ โ„•))
1713, 16mpcom 36 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท 1) โˆˆ โ„•)
18 nnaddcl 8939 . . . . . . . 8 (((๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + ๐ด) โˆˆ โ„•)
1918ancoms 268 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + ๐ด) โˆˆ โ„•)
20 nncn 8927 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
21 ax-1cn 7904 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
22 adddi 7943 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + (๐ด ยท 1)))
2321, 22mp3an3 1326 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + (๐ด ยท 1)))
2414oveq2d 5891 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + (๐ด ยท 1)) = ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + ๐ด))
2524adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + (๐ด ยท 1)) = ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + ๐ด))
2623, 25eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + ๐ด))
2713, 20, 26syl2an 289 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + ๐ด))
2827eleq1d 2246 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘ฆ + 1)) โˆˆ โ„• โ†” ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + ๐ด) โˆˆ โ„•))
2919, 28imbitrrid 156 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1)) โˆˆ โ„•))
3029exp4b 367 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1)) โˆˆ โ„•))))
3130pm2.43b 52 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1)) โˆˆ โ„•)))
3231a2d 26 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1)) โˆˆ โ„•)))
333, 6, 9, 12, 17, 32nnind 8935 . 2 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•))
3433impcom 125 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816  โ„•cn 8919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-1rid 7918  ax-cnre 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878  df-inn 8920
This theorem is referenced by:  nnmulcli  8941  nndivtr  8961  nnmulcld  8968  nn0mulcl  9212  qaddcl  9635  qmulcl  9637  modqmulnn  10342  nnexpcl  10533  nnsqcl  10590  faccl  10715  facdiv  10718  faclbnd3  10723  bcrpcl  10733  trirecip  11509  fprodnncl  11618  lcmgcdlem  12077  lcmgcdnn  12082  pcmptcl  12340  pcmpt  12341  mulgnnass  13018  lgseisenlem1  14453  lgseisenlem2  14454
  Copyright terms: Public domain W3C validator