Theorem pockthi 12527

Description: Pocklington's theorem, which gives a sufficient criterion for a number 𝑁 to be prime. This is the preferred method for verifying large primes, being much more efficient to compute than trial division. This form has been optimized for application to specific large primes; see pockthg 12526 for a more general closed-form version. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pockthi.p	⊢ 𝑃 ∈ ℙ
pockthi.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ
pockthi.m	⊢ 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
pockthi.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
pockthi.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ
pockthi.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ
pockthi.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
pockthi.fac	⊢ 𝑀 = (𝐷 · (𝑃↑𝐸))
pockthi.gt	⊢ 𝐷 < (𝑃↑𝐸)
pockthi.mod	⊢ ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
pockthi.gcd	⊢ (((𝐴↑𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1

Assertion

Ref	Expression
pockthi	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem pockthi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthi.d	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ
2		pockthi.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ ℙ
3		prmnn 12278	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ
5		pockthi.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ
6	5	nnnn0i 9257	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
7		nnexpcl 10644	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐸) ∈ ℕ)
8	4, 6, 7	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (𝑃↑𝐸) ∈ ℕ
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝑃↑𝐸) ∈ ℕ)
10		id 19	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℕ)
11		pockthi.gt	. . . 4 ⊢ 𝐷 < (𝑃↑𝐸)
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 < (𝑃↑𝐸))
13		pockthi.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
14		pockthi.fac	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝐷 · (𝑃↑𝐸))
15	1	nncni 9000	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
16	8	nncni 9000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃↑𝐸) ∈ ℂ
17	15, 16	mulcomi 8032	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 · (𝑃↑𝐸)) = ((𝑃↑𝐸) · 𝐷)
18	14, 17	eqtri 2217	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑃↑𝐸) · 𝐷)
19	18	oveq1i 5932	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 1) = (((𝑃↑𝐸) · 𝐷) + 1)
20	13, 19	eqtri 2217	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (((𝑃↑𝐸) · 𝐷) + 1)
21	20	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 = (((𝑃↑𝐸) · 𝐷) + 1))
22		prmdvdsexpb 12317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
23	2, 5, 22	mp3an23 1340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
24		pockthi.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
25		pockthi.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ
26	25, 4	nnmulcli 9012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 · 𝑃) ∈ ℕ
27	24, 26	eqeltri 2269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
28	27	nncni 9000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
29		ax-1cn 7972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
30	28, 29, 13	mvrraddi 8243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝑀
31	30	oveq2i 5933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴↑(𝑁 − 1)) = (𝐴↑𝑀)
32	31	oveq1i 5932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁)
33		pockthi.mod	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
34		peano2nn 9002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
35	27, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℕ
36	13, 35	eqeltri 2269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
37		nnq 9707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℚ
39	27	nngt0i 9020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 𝑀
40	27	nnrei 8999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
41		1re 8025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
42		ltaddpos2 8480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
43	40, 41, 42	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1))
44	39, 43	mpbi 145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < (𝑀 + 1)
45	44, 13	breqtrri 4060	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 𝑁
46		q1mod 10448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
47	38, 45, 46	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 mod 𝑁) = 1
48	33, 47	eqtri 2217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁) = 1
49	32, 48	eqtri 2217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1
50		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = ((𝑁 − 1) / 𝑃))
51	25	nncni 9000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
52	4	nncni 9000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
53	51, 52	mulcomi 8032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐺)
54	30, 24, 53	3eqtrri 2222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1)
55	36	nncni 9000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
56	55, 29	subcli 8302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 − 1) ∈ ℂ
57	4	nnap0i 9021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 # 0
58	56, 52, 51, 57	divmulapi 8793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺 ↔ (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1))
59	54, 58	mpbir 146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺
60	50, 59	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = 𝐺)
61	60	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴↑𝐺))
62	61	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴↑𝐺) − 1))
63	62	oveq1d 5937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴↑𝐺) − 1) gcd 𝑁))
64		pockthi.gcd	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1
65	63, 64	eqtrdi 2245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
66		pockthi.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
67	66	nnzi 9347	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
68		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = (𝐴↑(𝑁 − 1)))
69	68	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁))
70	69	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ↔ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1))
71		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)))
72	71	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1))
73	72	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁))
74	73	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
75	70, 74	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
76	75	rspcev 2868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
77	67, 76	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
78	49, 65, 77	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
79	23, 78	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
80	79	rgen 2550	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
81	80	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
82	9, 10, 12, 21, 81	pockthg 12526	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℙ)
83	1, 82	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884   < clt 8061   − cmin 8197   / cdiv 8699  ℕcn 8990  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  ℚcq 9693   mod cmo 10414  ↑cexp 10630   ∥ cdvds 11952   gcd cgcd 12120  ℙcprime 12275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-xnn0 9313  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-proddc 11716  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-prm 12276  df-odz 12378  df-phi 12379  df-pc 12454

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