![]() |
Intuitionistic Logic Explorer Theorem List (p. 90 of 149) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > ILE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | mulle0r 8901 | Multiplying a nonnegative number by a nonpositive number yields a nonpositive number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Oct-2021.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ด โค 0 โง 0 โค ๐ต)) โ (๐ด ยท ๐ต) โค 0) | ||
Theorem | lbreu 8902* | If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) |
โข ((๐ โ โ โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ) โ โ!๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ) | ||
Theorem | lbcl 8903* | If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound that belongs to the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) |
โข ((๐ โ โ โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ) โ (โฉ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ) โ ๐) | ||
Theorem | lble 8904* | If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) |
โข ((๐ โ โ โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ โง ๐ด โ ๐) โ (โฉ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ) โค ๐ด) | ||
Theorem | lbinf 8905* | If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ โ โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ) โ inf(๐, โ, < ) = (โฉ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ)) | ||
Theorem | lbinfcl 8906* | If a set of reals contains a lower bound, it contains its infimum. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ โ โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ) โ inf(๐, โ, < ) โ ๐) | ||
Theorem | lbinfle 8907* | If a set of reals contains a lower bound, its infimum is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ โ โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ โง ๐ด โ ๐) โ inf(๐, โ, < ) โค ๐ด) | ||
Theorem | suprubex 8908* | A member of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2022.) |
โข (๐ โ โ๐ฅ โ โ (โ๐ฆ โ ๐ด ยฌ ๐ฅ < ๐ฆ โง โ๐ฆ โ โ (๐ฆ < ๐ฅ โ โ๐ง โ ๐ด ๐ฆ < ๐ง))) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ ๐ด) โ โข (๐ โ ๐ต โค sup(๐ด, โ, < )) | ||
Theorem | suprlubex 8909* | The supremum of a nonempty bounded set of reals is the least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.) |
โข (๐ โ โ๐ฅ โ โ (โ๐ฆ โ ๐ด ยฌ ๐ฅ < ๐ฆ โง โ๐ฆ โ โ (๐ฆ < ๐ฅ โ โ๐ง โ ๐ด ๐ฆ < ๐ง))) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ (๐ต < sup(๐ด, โ, < ) โ โ๐ง โ ๐ด ๐ต < ๐ง)) | ||
Theorem | suprnubex 8910* | An upper bound is not less than the supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.) |
โข (๐ โ โ๐ฅ โ โ (โ๐ฆ โ ๐ด ยฌ ๐ฅ < ๐ฆ โง โ๐ฆ โ โ (๐ฆ < ๐ฅ โ โ๐ง โ ๐ด ๐ฆ < ๐ง))) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ (ยฌ ๐ต < sup(๐ด, โ, < ) โ โ๐ง โ ๐ด ยฌ ๐ต < ๐ง)) | ||
Theorem | suprleubex 8911* | The supremum of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.) |
โข (๐ โ โ๐ฅ โ โ (โ๐ฆ โ ๐ด ยฌ ๐ฅ < ๐ฆ โง โ๐ฆ โ โ (๐ฆ < ๐ฅ โ โ๐ง โ ๐ด ๐ฆ < ๐ง))) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ (sup(๐ด, โ, < ) โค ๐ต โ โ๐ง โ ๐ด ๐ง โค ๐ต)) | ||
Theorem | negiso 8912 | Negation is an order anti-isomorphism of the real numbers, which is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) |
โข ๐น = (๐ฅ โ โ โฆ -๐ฅ) โ โข (๐น Isom < , โก < (โ, โ) โง โก๐น = ๐น) | ||
Theorem | dfinfre 8913* | The infimum of a set of reals ๐ด. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.) |
โข (๐ด โ โ โ inf(๐ด, โ, < ) = โช {๐ฅ โ โ โฃ (โ๐ฆ โ ๐ด ๐ฅ โค ๐ฆ โง โ๐ฆ โ โ (๐ฅ < ๐ฆ โ โ๐ง โ ๐ด ๐ง < ๐ฆ))}) | ||
Theorem | sup3exmid 8914* | If any inhabited set of real numbers bounded from above has a supremum, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Apr-2023.) |
โข ((๐ข โ โ โง โ๐ค ๐ค โ ๐ข โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ข ๐ฆ โค ๐ฅ) โ โ๐ฅ โ โ (โ๐ฆ โ ๐ข ยฌ ๐ฅ < ๐ฆ โง โ๐ฆ โ โ (๐ฆ < ๐ฅ โ โ๐ง โ ๐ข ๐ฆ < ๐ง))) โ โข DECID ๐ | ||
Theorem | crap0 8915 | The real representation of complex numbers is apart from zero iff one of its terms is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Mar-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด # 0 โจ ๐ต # 0) โ (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0)) | ||
Theorem | creur 8916* | The real part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ด โ โ โ โ!๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) | ||
Theorem | creui 8917* | The imaginary part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ด โ โ โ โ!๐ฆ โ โ โ๐ฅ โ โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) | ||
Theorem | cju 8918* | The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.) |
โข (๐ด โ โ โ โ!๐ฅ โ โ ((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ)) | ||
Syntax | cn 8919 | Extend class notation to include the class of positive integers. |
class โ | ||
Definition | df-inn 8920* | Definition of the set of positive integers. For naming consistency with the Metamath Proof Explorer usages should refer to dfnn2 8921 instead. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.) (New usage is discouraged.) |
โข โ = โฉ {๐ฅ โฃ (1 โ ๐ฅ โง โ๐ฆ โ ๐ฅ (๐ฆ + 1) โ ๐ฅ)} | ||
Theorem | dfnn2 8921* | Definition of the set of positive integers. Another name for df-inn 8920. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.) |
โข โ = โฉ {๐ฅ โฃ (1 โ ๐ฅ โง โ๐ฆ โ ๐ฅ (๐ฆ + 1) โ ๐ฅ)} | ||
Theorem | peano5nni 8922* | Peano's inductive postulate. Theorem I.36 (principle of mathematical induction) of [Apostol] p. 34. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) |
โข ((1 โ ๐ด โง โ๐ฅ โ ๐ด (๐ฅ + 1) โ ๐ด) โ โ โ ๐ด) | ||
Theorem | nnssre 8923 | The positive integers are a subset of the reals. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) |
โข โ โ โ | ||
Theorem | nnsscn 8924 | The positive integers are a subset of the complex numbers. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) |
โข โ โ โ | ||
Theorem | nnex 8925 | The set of positive integers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) |
โข โ โ V | ||
Theorem | nnre 8926 | A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) |
โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | nncn 8927 | A positive integer is a complex number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) |
โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | nnrei 8928 | A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) |
โข ๐ด โ โ โ โข ๐ด โ โ | ||
Theorem | nncni 8929 | A positive integer is a complex number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) |
โข ๐ด โ โ โ โข ๐ด โ โ | ||
Theorem | 1nn 8930 | Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) |
โข 1 โ โ | ||
Theorem | peano2nn 8931 | Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ (๐ด + 1) โ โ) | ||
Theorem | nnred 8932 | A positive integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | nncnd 8933 | A positive integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | peano2nnd 8934 | Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ (๐ด + 1) โ โ) | ||
Theorem | nnind 8935* | Principle of Mathematical Induction (inference schema). The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. See nnaddcl 8939 for an example of its use. This is an alternative for Metamath 100 proof #74. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) |
โข (๐ฅ = 1 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข (๐ฆ โ โ โ (๐ โ ๐)) โ โข (๐ด โ โ โ ๐) | ||
Theorem | nnindALT 8936* |
Principle of Mathematical Induction (inference schema). The last four
hypotheses give us the substitution instances we need; the first two are
the induction step and the basis.
This ALT version of nnind 8935 has a different hypothesis order. It may be easier to use with the metamath program's Proof Assistant, because "MM-PA> assign last" will be applied to the substitution instances first. We may eventually use this one as the official version. You may use either version. After the proof is complete, the ALT version can be changed to the non-ALT version with "MM-PA> minimize nnind /allow". (Contributed by NM, 7-Dec-2005.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) |
โข (๐ฆ โ โ โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข (๐ฅ = 1 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) โ โข (๐ด โ โ โ ๐) | ||
Theorem | nn1m1nn 8937 | Every positive integer is one or a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ (๐ด = 1 โจ (๐ด โ 1) โ โ)) | ||
Theorem | nn1suc 8938* | If a statement holds for 1 and also holds for a successor, it holds for all positive integers. The first three hypotheses give us the substitution instances we need; the last two show that it holds for 1 and for a successor. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข (๐ฅ = 1 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข (๐ฆ โ โ โ ๐) โ โข (๐ด โ โ โ ๐) | ||
Theorem | nnaddcl 8939 | Closure of addition of positive integers, proved by induction on the second addend. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด + ๐ต) โ โ) | ||
Theorem | nnmulcl 8940 | Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) | ||
Theorem | nnmulcli 8941 | Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ โ โข (๐ด ยท ๐ต) โ โ | ||
Theorem | nnge1 8942 | A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) |
โข (๐ด โ โ โ 1 โค ๐ด) | ||
Theorem | nnle1eq1 8943 | A positive integer is less than or equal to one iff it is equal to one. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.) |
โข (๐ด โ โ โ (๐ด โค 1 โ ๐ด = 1)) | ||
Theorem | nngt0 8944 | A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.) |
โข (๐ด โ โ โ 0 < ๐ด) | ||
Theorem | nnnlt1 8945 | A positive integer is not less than one. (Contributed by NM, 18-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ด โ โ โ ยฌ ๐ด < 1) | ||
Theorem | 0nnn 8946 | Zero is not a positive integer. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) |
โข ยฌ 0 โ โ | ||
Theorem | nnne0 8947 | A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.) |
โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ 0) | ||
Theorem | nnap0 8948 | A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.) |
โข (๐ด โ โ โ ๐ด # 0) | ||
Theorem | nngt0i 8949 | A positive integer is positive (inference version). (Contributed by NM, 17-Sep-1999.) |
โข ๐ด โ โ โ โข 0 < ๐ด | ||
Theorem | nnap0i 8950 | A positive integer is apart from zero (inference version). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2023.) |
โข ๐ด โ โ โ โข ๐ด # 0 | ||
Theorem | nnne0i 8951 | A positive integer is nonzero (inference version). (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) |
โข ๐ด โ โ โ โข ๐ด โ 0 | ||
Theorem | nn2ge 8952* | There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ โ๐ฅ โ โ (๐ด โค ๐ฅ โง ๐ต โค ๐ฅ)) | ||
Theorem | nn1gt1 8953 | A positive integer is either one or greater than one. This is for โ; 0elnn 4619 is a similar theorem for ฯ (the natural numbers as ordinals). (Contributed by Jim Kingdon, 7-Mar-2020.) |
โข (๐ด โ โ โ (๐ด = 1 โจ 1 < ๐ด)) | ||
Theorem | nngt1ne1 8954 | A positive integer is greater than one iff it is not equal to one. (Contributed by NM, 7-Oct-2004.) |
โข (๐ด โ โ โ (1 < ๐ด โ ๐ด โ 1)) | ||
Theorem | nndivre 8955 | The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ด / ๐) โ โ) | ||
Theorem | nnrecre 8956 | The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.) |
โข (๐ โ โ โ (1 / ๐) โ โ) | ||
Theorem | nnrecgt0 8957 | The reciprocal of a positive integer is positive. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) |
โข (๐ด โ โ โ 0 < (1 / ๐ด)) | ||
Theorem | nnsub 8958 | Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ต โ ๐ด) โ โ)) | ||
Theorem | nnsubi 8959 | Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 19-Aug-2001.) |
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ โ โข (๐ด < ๐ต โ (๐ต โ ๐ด) โ โ) | ||
Theorem | nndiv 8960* | Two ways to express "๐ด divides ๐ต " for positive integers. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โ๐ฅ โ โ (๐ด ยท ๐ฅ) = ๐ต โ (๐ต / ๐ด) โ โ)) | ||
Theorem | nndivtr 8961 | Transitive property of divisibility: if ๐ด divides ๐ต and ๐ต divides ๐ถ, then ๐ด divides ๐ถ. Typically, ๐ถ would be an integer, although the theorem holds for complex ๐ถ. (Contributed by NM, 3-May-2005.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โง ((๐ต / ๐ด) โ โ โง (๐ถ / ๐ต) โ โ)) โ (๐ถ / ๐ด) โ โ) | ||
Theorem | nnge1d 8962 | A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ 1 โค ๐ด) | ||
Theorem | nngt0d 8963 | A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ 0 < ๐ด) | ||
Theorem | nnne0d 8964 | A positive integer is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ ๐ด โ 0) | ||
Theorem | nnap0d 8965 | A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ ๐ด # 0) | ||
Theorem | nnrecred 8966 | The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ (1 / ๐ด) โ โ) | ||
Theorem | nnaddcld 8967 | Closure of addition of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โ) | ||
Theorem | nnmulcld 8968 | Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) | ||
Theorem | nndivred 8969 | A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) โ โ) | ||
The decimal representation of numbers/integers is based on the decimal digits 0 through 9 (df-0 7818 through df-9 8985), which are explicitly defined in the following. Note that the numbers 0 and 1 are constants defined as primitives of the complex number axiom system (see df-0 7818 and df-1 7819). Integers can also be exhibited as sums of powers of 10 (e.g., the number 103 can be expressed as ((;10โ2) + 3)) or as some other expression built from operations on the numbers 0 through 9. For example, the prime number 823541 can be expressed as (7โ7) โ 2. Most abstract math rarely requires numbers larger than 4. Even in Wiles' proof of Fermat's Last Theorem, the largest number used appears to be 12. | ||
Syntax | c2 8970 | Extend class notation to include the number 2. |
class 2 | ||
Syntax | c3 8971 | Extend class notation to include the number 3. |
class 3 | ||
Syntax | c4 8972 | Extend class notation to include the number 4. |
class 4 | ||
Syntax | c5 8973 | Extend class notation to include the number 5. |
class 5 | ||
Syntax | c6 8974 | Extend class notation to include the number 6. |
class 6 | ||
Syntax | c7 8975 | Extend class notation to include the number 7. |
class 7 | ||
Syntax | c8 8976 | Extend class notation to include the number 8. |
class 8 | ||
Syntax | c9 8977 | Extend class notation to include the number 9. |
class 9 | ||
Definition | df-2 8978 | Define the number 2. (Contributed by NM, 27-May-1999.) |
โข 2 = (1 + 1) | ||
Definition | df-3 8979 | Define the number 3. (Contributed by NM, 27-May-1999.) |
โข 3 = (2 + 1) | ||
Definition | df-4 8980 | Define the number 4. (Contributed by NM, 27-May-1999.) |
โข 4 = (3 + 1) | ||
Definition | df-5 8981 | Define the number 5. (Contributed by NM, 27-May-1999.) |
โข 5 = (4 + 1) | ||
Definition | df-6 8982 | Define the number 6. (Contributed by NM, 27-May-1999.) |
โข 6 = (5 + 1) | ||
Definition | df-7 8983 | Define the number 7. (Contributed by NM, 27-May-1999.) |
โข 7 = (6 + 1) | ||
Definition | df-8 8984 | Define the number 8. (Contributed by NM, 27-May-1999.) |
โข 8 = (7 + 1) | ||
Definition | df-9 8985 | Define the number 9. (Contributed by NM, 27-May-1999.) |
โข 9 = (8 + 1) | ||
Theorem | 0ne1 8986 | 0 โ 1 (common case). See aso 1ap0 8547. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.) |
โข 0 โ 1 | ||
Theorem | 1ne0 8987 | 1 โ 0. See aso 1ap0 8547. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.) |
โข 1 โ 0 | ||
Theorem | 1m1e0 8988 | (1 โ 1) = 0 (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 7-Jul-2016.) |
โข (1 โ 1) = 0 | ||
Theorem | 2re 8989 | The number 2 is real. (Contributed by NM, 27-May-1999.) |
โข 2 โ โ | ||
Theorem | 2cn 8990 | The number 2 is a complex number. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) |
โข 2 โ โ | ||
Theorem | 2ex 8991 | 2 is a set (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.) |
โข 2 โ V | ||
Theorem | 2cnd 8992 | 2 is a complex number, deductive form (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.) |
โข (๐ โ 2 โ โ) | ||
Theorem | 3re 8993 | The number 3 is real. (Contributed by NM, 27-May-1999.) |
โข 3 โ โ | ||
Theorem | 3cn 8994 | The number 3 is a complex number. (Contributed by FL, 17-Oct-2010.) |
โข 3 โ โ | ||
Theorem | 3ex 8995 | 3 is a set (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.) |
โข 3 โ V | ||
Theorem | 4re 8996 | The number 4 is real. (Contributed by NM, 27-May-1999.) |
โข 4 โ โ | ||
Theorem | 4cn 8997 | The number 4 is a complex number. (Contributed by David A. Wheeler, 7-Jul-2016.) |
โข 4 โ โ | ||
Theorem | 5re 8998 | The number 5 is real. (Contributed by NM, 27-May-1999.) |
โข 5 โ โ | ||
Theorem | 5cn 8999 | The number 5 is complex. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.) |
โข 5 โ โ | ||
Theorem | 6re 9000 | The number 6 is real. (Contributed by NM, 27-May-1999.) |
โข 6 โ โ |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |