Theorem nnge1 9336

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnge1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4135	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 1))
2		breq2 4135	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝑦))
3		breq2 4135	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑦 + 1)))
4		breq2 4135	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝐴))
5		1le1 8908	. 2 ⊢ 1 ≤ 1
6		nnre 9320	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
7		recn 8318	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	7	addridd 8482	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
9	8	breq2d 4143	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ 1 ≤ 𝑦))
10		0lt1 8460	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
11		0re 8332	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1re 8331	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		axltadd 8401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
14	11, 12, 13	mp3an12 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
15	10, 14	mpi 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1))
16		readdcl 8311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
17	11, 16	mpan2 429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
18		peano2re 8469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19		lttr 8405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
20	12, 19	mp3an3 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
21	17, 18, 20	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
22	15, 21	mpand 433	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 + 1) < 1 → (𝑦 + 0) < 1))
23	22	con3d 640	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (¬ (𝑦 + 0) < 1 → ¬ (𝑦 + 1) < 1))
24		lenlt 8407	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 0) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
25	12, 17, 24	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
26		lenlt 8407	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
27	12, 18, 26	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
28	23, 25, 27	3imtr4d 203	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
29	9, 28	sylbird 170	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
30	6, 29	syl 14	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 30	nnind 9329	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366   ≤ cle 8367  ℕcn 9313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-inn 9314

This theorem is used by:  nnle1eq1  9337  nngt0  9338  nnnlt1  9339  nnrecgt0  9351  nnge1d  9356  elnnnn0c  9619  elnnz1  9678  zltp1le  9710  nn0ledivnn  10185  elfz1b  10514  fzo1fzo0n0  10612  elfzom1elp1fzo  10637  fzo0sn0fzo1  10656  nnlesq  11101  faclbnd  11201  faclbnd3  11203  len0nnbi  11361  fstwrdne0  11366  cvgratz  12324  coprmgcdb  12891  isprm3  12921  pockthg  13165  ballotfilem2  13286  oddennn  13341  chtublem  16295  bposlem1  16311  gausslemma2dlem1a  16382