ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnplimcim GIF version

Theorem cnplimcim 13707
Description: If a function is continuous at 𝐵, its limit at 𝐵 equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimcim.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimcim.j 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnplimcim ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))

Proof of Theorem cnplimcim
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimcim.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
2 cnplimcim.k . . . . . . . 8 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
32cntoptopon 13603 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
5 resttopon 13242 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
63, 4, 5sylancr 414 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
71, 6eqeltrid 2262 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
8 cnpf2 13278 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
983expia 1205 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
107, 3, 9sylancl 413 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
1110imp 124 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
12 simplr 528 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵𝐴)
1311, 12ffvelcdmd 5644 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
14 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
15 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
16 cnxmet 13602 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
17 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
18 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
1917, 2, 18metrest 13577 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
2016, 19mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
211, 20eqtrid 2220 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
2215, 21syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
232a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − )))
24 xmetres2 13450 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
2516, 15, 24sylancr 414 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
2616a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
27 simplr 528 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵𝐴)
2822, 23, 25, 26, 27metcnpd 13591 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒))))
2911, 28syldan 282 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒))))
3014, 29mpbid 147 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒)))
3130simprd 114 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒))
3212ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐵𝐴)
33 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
3432, 33ovresd 6005 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) = (𝐵(abs ∘ − )𝑧))
3515, 27sseldd 3154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3611, 35syldan 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3736ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
3938ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
4039, 33sseldd 3154 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
41 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
4241cnmetdval 13600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
4337, 40, 42syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
4437, 40abssubd 11170 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘(𝐵𝑧)) = (abs‘(𝑧𝐵)))
4534, 43, 443eqtrd 2212 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) = (abs‘(𝑧𝐵)))
4645breq1d 4008 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑))
4746biimprd 158 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑 → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑))
4847adantld 278 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑))
4913ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
5011ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5150, 33ffvelcdmd 5644 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
5241cnmetdval 13600 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℂ) → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑧))))
5349, 51, 52syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑧))))
5449, 51abssubd 11170 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑧))) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
5553, 54eqtrd 2208 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
5655breq1d 4008 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))
5756biimpd 144 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))
5848, 57imim12d 74 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
5958ralimdva 2542 . . . . . . 7 (((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
6059reximdva 2577 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
6160ralimdva 2542 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
6231, 61mpd 13 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))
6311, 38, 36ellimc3ap 13701 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))))
6413, 62, 63mpbir2and 944 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
6511, 64jca 306 . 2 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
6665ex 115 1 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2146  wral 2453  wrex 2454  wss 3127   class class class wbr 3998   × cxp 4618  cres 4622  ccom 4624  wf 5204  cfv 5208  (class class class)co 5865  cc 7784   < clt 7966  cmin 8102   # cap 8512  +crp 9624  abscabs 10974  t crest 12610  ∞Metcxmet 13051  MetOpencmopn 13056  TopOnctopon 13079   CnP ccnp 13257   lim climc 13694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-map 6640  df-pm 6641  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-xneg 9743  df-xadd 9744  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-rest 12612  df-topgen 12631  df-psmet 13058  df-xmet 13059  df-met 13060  df-bl 13061  df-mopn 13062  df-top 13067  df-topon 13080  df-bases 13112  df-cnp 13260  df-limced 13696
This theorem is referenced by:  cnplimccntop  13710  cnlimcim  13711
  Copyright terms: Public domain W3C validator