ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnplimcim GIF version

Theorem cnplimcim 13803
Description: If a function is continuous at 𝐵, its limit at 𝐵 equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimcim.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimcim.j 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnplimcim ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))

Proof of Theorem cnplimcim
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimcim.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
2 cnplimcim.k . . . . . . . 8 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
32cntoptopon 13699 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
5 resttopon 13338 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
63, 4, 5sylancr 414 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
71, 6eqeltrid 2264 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
8 cnpf2 13374 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
983expia 1205 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
107, 3, 9sylancl 413 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
1110imp 124 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
12 simplr 528 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵𝐴)
1311, 12ffvelcdmd 5648 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
14 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
15 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
16 cnxmet 13698 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
17 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
18 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
1917, 2, 18metrest 13673 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
2016, 19mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
211, 20eqtrid 2222 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
2215, 21syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
232a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − )))
24 xmetres2 13546 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
2516, 15, 24sylancr 414 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
2616a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
27 simplr 528 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵𝐴)
2822, 23, 25, 26, 27metcnpd 13687 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒))))
2911, 28syldan 282 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒))))
3014, 29mpbid 147 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒)))
3130simprd 114 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒))
3212ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐵𝐴)
33 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
3432, 33ovresd 6009 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) = (𝐵(abs ∘ − )𝑧))
3515, 27sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3611, 35syldan 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3736ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
3938ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
4039, 33sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
41 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
4241cnmetdval 13696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
4337, 40, 42syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
4437, 40abssubd 11186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘(𝐵𝑧)) = (abs‘(𝑧𝐵)))
4534, 43, 443eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) = (abs‘(𝑧𝐵)))
4645breq1d 4010 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑))
4746biimprd 158 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑 → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑))
4847adantld 278 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑))
4913ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
5011ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5150, 33ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
5241cnmetdval 13696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℂ) → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑧))))
5349, 51, 52syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑧))))
5449, 51abssubd 11186 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑧))) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
5553, 54eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
5655breq1d 4010 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))
5756biimpd 144 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))
5848, 57imim12d 74 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
5958ralimdva 2544 . . . . . . 7 (((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
6059reximdva 2579 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
6160ralimdva 2544 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
6231, 61mpd 13 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))
6311, 38, 36ellimc3ap 13797 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))))
6413, 62, 63mpbir2and 944 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
6511, 64jca 306 . 2 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
6665ex 115 1 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  wss 3129   class class class wbr 4000   × cxp 4621  cres 4625  ccom 4627  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800   < clt 7982  cmin 8118   # cap 8528  +crp 9640  abscabs 10990  t crest 12636  ∞Metcxmet 13147  MetOpencmopn 13152  TopOnctopon 13175   CnP ccnp 13353   lim climc 13790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-pm 6645  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-cnp 13356  df-limced 13792
This theorem is referenced by:  cnplimccntop  13806  cnlimcim  13807
  Copyright terms: Public domain W3C validator