ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnplimcim GIF version

Theorem cnplimcim 12586
Description: If a function is continuous at 𝐵, its limit at 𝐵 equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimcim.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimcim.j 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnplimcim ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))

Proof of Theorem cnplimcim
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimcim.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
2 cnplimcim.k . . . . . . . 8 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
32cntoptopon 12515 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
5 resttopon 12177 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
63, 4, 5sylancr 408 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
71, 6syl5eqel 2199 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
8 cnpf2 12212 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
983expia 1164 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
107, 3, 9sylancl 407 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
1110imp 123 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
12 simplr 502 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵𝐴)
1311, 12ffvelrnd 5508 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
14 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
15 simpll 501 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
16 cnxmet 12514 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
17 eqid 2113 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
18 eqid 2113 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
1917, 2, 18metrest 12489 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
2016, 19mpan 418 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
211, 20syl5eq 2157 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
2215, 21syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
232a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − )))
24 xmetres2 12362 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
2516, 15, 24sylancr 408 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
2616a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
27 simplr 502 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵𝐴)
2822, 23, 25, 26, 27metcnpd 12503 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒))))
2911, 28syldan 278 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒))))
3014, 29mpbid 146 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒)))
3130simprd 113 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒))
3212ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐵𝐴)
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
3432, 33ovresd 5863 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) = (𝐵(abs ∘ − )𝑧))
3515, 27sseldd 3062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3611, 35syldan 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3736ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38 simpll 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
3938ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
4039, 33sseldd 3062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
41 eqid 2113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
4241cnmetdval 12512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
4337, 40, 42syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
4437, 40abssubd 10851 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘(𝐵𝑧)) = (abs‘(𝑧𝐵)))
4534, 43, 443eqtrd 2149 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) = (abs‘(𝑧𝐵)))
4645breq1d 3903 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑))
4746biimprd 157 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑 → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑))
4847adantld 274 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑))
4913ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
5011ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5150, 33ffvelrnd 5508 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
5241cnmetdval 12512 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℂ) → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑧))))
5349, 51, 52syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑧))))
5449, 51abssubd 10851 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑧))) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
5553, 54eqtrd 2145 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
5655breq1d 3903 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))
5756biimpd 143 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))
5848, 57imim12d 74 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
5958ralimdva 2471 . . . . . . 7 (((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
6059reximdva 2506 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
6160ralimdva 2471 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
6231, 61mpd 13 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))
6311, 38, 36ellimc3ap 12580 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))))
6413, 62, 63mpbir2and 909 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
6511, 64jca 302 . 2 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
6665ex 114 1 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1312  wcel 1461  wral 2388  wrex 2389  wss 3035   class class class wbr 3893   × cxp 4495  cres 4499  ccom 4501  wf 5075  cfv 5079  (class class class)co 5726  cc 7539   < clt 7718  cmin 7850   # cap 8255  +crp 9337  abscabs 10655  t crest 11957  ∞Metcxmet 11986  MetOpencmopn 11991  TopOnctopon 12014   CnP ccnp 12192   lim climc 12573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658  ax-caucvg 7659
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-isom 5088  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-map 6496  df-pm 6497  df-sup 6821  df-inf 6822  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-q 9308  df-rp 9338  df-xneg 9446  df-xadd 9447  df-seqfrec 10106  df-exp 10180  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503  df-rsqrt 10656  df-abs 10657  df-rest 11959  df-topgen 11978  df-psmet 11993  df-xmet 11994  df-met 11995  df-bl 11996  df-mopn 11997  df-top 12002  df-topon 12015  df-bases 12047  df-cnp 12195  df-limced 12575
This theorem is referenced by:  cnplimccntop  12589  cnlimcim  12590
  Copyright terms: Public domain W3C validator