Theorem cnplimcim 15532

Description: If a function is continuous at 𝐵, its limit at 𝐵 equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimcim.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimcim.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnplimcim	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))

Proof of Theorem cnplimcim

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnplimcim.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
2		cnplimcim.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3	2	cntoptopon 15397	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
5		resttopon 15036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐾 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
7	1, 6	eqeltrid 2319	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
8		cnpf2 15072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
9	8	3expia 1232	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
10	7, 3, 9	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
11	10	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
12		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
13	11, 12	ffvelcdmd 5813	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
14		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
15		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
16		cnxmet 15396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
17		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
18		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
19	17, 2, 18	metrest 15371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
20	16, 19	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐾 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
21	1, 20	eqtrid 2277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
22	15, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
23	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − )))
24		xmetres2 15244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
25	16, 15, 24	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
26	16	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
27		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵 ∈ 𝐴)
28	22, 23, 25, 26, 27	metcnpd 15385	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒))))
29	11, 28	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒))))
30	14, 29	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒)))
31	30	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒))
32	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
34	32, 33	ovresd 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) = (𝐵(abs ∘ − )𝑧))
35	15, 27	sseldd 3239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	11, 35	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
39	38	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
40	39, 33	sseldd 3239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
41		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
42	41	cnmetdval 15394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵 − 𝑧)))
43	37, 40, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵 − 𝑧)))
44	37, 40	abssubd 11878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝑧)) = (abs‘(𝑧 − 𝐵)))
45	34, 43, 44	3eqtrd 2269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) = (abs‘(𝑧 − 𝐵)))
46	45	breq1d 4119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑))
47	46	biimprd 158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑))
48	47	adantld 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑))
49	13	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
50	11	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
51	50, 33	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
52	41	cnmetdval 15394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) = (abs‘((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝑧))))
53	49, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) = (abs‘((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝑧))))
54	49, 51	abssubd 11878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝑧))) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
55	53, 54	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
56	55	breq1d 4119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒))
57	56	biimpd 144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒))
58	48, 57	imim12d 74	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒)))
59	58	ralimdva 2609	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒)))
60	59	reximdva 2644	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒)))
61	60	ralimdva 2609	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒)))
62	31, 61	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒))
63	11, 38, 36	ellimc3ap 15526	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ((𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒))))
64	13, 62, 63	mpbir2and 953	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
65	11, 64	jca 306	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
66	65	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521   ⊆ wss 3211   class class class wbr 4109   × cxp 4747   ↾ cres 4751   ∘ ccom 4753  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125   < clt 8308   − cmin 8444   # cap 8855  ℝ⁺crp 9986  abscabs 11682   ↾_t crest 13452  ∞Metcxmet 14684  MetOpencmopn 14689  TopOnctopon 14875   CnP ccnp 15051   lim_ℂ climc 15519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-map 6884  df-pm 6885  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-xadd 10106  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-rest 13454  df-topgen 13473  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-met 14693  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-cnp 15054  df-limced 15521

This theorem is referenced by:  cnplimccntop  15535  cnlimcim  15536