Theorem cnplimcim 15658

Description: If a function is continuous at 𝐵, its limit at 𝐵 equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimcim.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimcim.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnplimcim	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))

Proof of Theorem cnplimcim

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnplimcim.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
2		cnplimcim.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3	2	cntoptopon 15523	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
5		resttopon 15162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐾 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
7	1, 6	eqeltrid 2321	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
8		cnpf2 15198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
9	8	3expia 1232	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
10	7, 3, 9	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
11	10	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
12		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
13	11, 12	ffvelcdmd 5818	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
14		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
15		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
16		cnxmet 15522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
17		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
18		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
19	17, 2, 18	metrest 15497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
20	16, 19	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐾 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
21	1, 20	eqtrid 2279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
22	15, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
23	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − )))
24		xmetres2 15370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
25	16, 15, 24	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
26	16	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
27		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵 ∈ 𝐴)
28	22, 23, 25, 26, 27	metcnpd 15511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒))))
29	11, 28	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒))))
30	14, 29	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒)))
31	30	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒))
32	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
34	32, 33	ovresd 6203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) = (𝐵(abs ∘ − )𝑧))
35	15, 27	sseldd 3243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	11, 35	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
39	38	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
40	39, 33	sseldd 3243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
41		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
42	41	cnmetdval 15520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵 − 𝑧)))
43	37, 40, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵 − 𝑧)))
44	37, 40	abssubd 11903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝑧)) = (abs‘(𝑧 − 𝐵)))
45	34, 43, 44	3eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) = (abs‘(𝑧 − 𝐵)))
46	45	breq1d 4124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑))
47	46	biimprd 158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑 → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑))
48	47	adantld 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑))
49	13	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
50	11	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
51	50, 33	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
52	41	cnmetdval 15520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) = (abs‘((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝑧))))
53	49, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) = (abs‘((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝑧))))
54	49, 51	abssubd 11903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝑧))) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
55	53, 54	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
56	55	breq1d 4124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒))
57	56	biimpd 144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒))
58	48, 57	imim12d 74	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒)))
59	58	ralimdva 2611	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒)))
60	59	reximdva 2646	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒)))
61	60	ralimdva 2611	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹‘𝐵)(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒)))
62	31, 61	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒))
63	11, 38, 36	ellimc3ap 15652	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ((𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) < 𝑒))))
64	13, 62, 63	mpbir2and 953	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
65	11, 64	jca 306	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
66	65	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114   × cxp 4752   ↾ cres 4756   ∘ ccom 4758  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141   < clt 8324   − cmin 8460   # cap 8872  ℝ⁺crp 10004  abscabs 11707   ↾_t crest 13536  ∞Metcxmet 14810  MetOpencmopn 14815  TopOnctopon 15001   CnP ccnp 15177   lim_ℂ climc 15645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-pm 6898  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-met 14819  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-cnp 15180  df-limced 15647

This theorem is referenced by:  cnplimccntop  15661  cnlimcim  15662