ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnplimcim GIF version

Theorem cnplimcim 14613
Description: If a function is continuous at 𝐵, its limit at 𝐵 equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimcim.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimcim.j 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnplimcim ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))

Proof of Theorem cnplimcim
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimcim.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
2 cnplimcim.k . . . . . . . 8 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
32cntoptopon 14509 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
5 resttopon 14148 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
63, 4, 5sylancr 414 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
71, 6eqeltrid 2276 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
8 cnpf2 14184 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
983expia 1207 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
107, 3, 9sylancl 413 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
1110imp 124 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
12 simplr 528 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵𝐴)
1311, 12ffvelcdmd 5673 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
14 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
15 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
16 cnxmet 14508 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
17 eqid 2189 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
18 eqid 2189 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
1917, 2, 18metrest 14483 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
2016, 19mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
211, 20eqtrid 2234 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
2215, 21syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
232a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − )))
24 xmetres2 14356 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
2516, 15, 24sylancr 414 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
2616a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
27 simplr 528 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵𝐴)
2822, 23, 25, 26, 27metcnpd 14497 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒))))
2911, 28syldan 282 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒))))
3014, 29mpbid 147 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒)))
3130simprd 114 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒))
3212ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐵𝐴)
33 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
3432, 33ovresd 6038 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) = (𝐵(abs ∘ − )𝑧))
3515, 27sseldd 3171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3611, 35syldan 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3736ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
3938ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
4039, 33sseldd 3171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
41 eqid 2189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
4241cnmetdval 14506 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
4337, 40, 42syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
4437, 40abssubd 11237 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘(𝐵𝑧)) = (abs‘(𝑧𝐵)))
4534, 43, 443eqtrd 2226 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) = (abs‘(𝑧𝐵)))
4645breq1d 4028 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑))
4746biimprd 158 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑 → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑))
4847adantld 278 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑))
4913ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
5011ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5150, 33ffvelcdmd 5673 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
5241cnmetdval 14506 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℂ) → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑧))))
5349, 51, 52syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑧))))
5449, 51abssubd 11237 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑧))) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
5553, 54eqtrd 2222 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
5655breq1d 4028 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))
5756biimpd 144 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))
5848, 57imim12d 74 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
5958ralimdva 2557 . . . . . . 7 (((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
6059reximdva 2592 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
6160ralimdva 2557 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
6231, 61mpd 13 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))
6311, 38, 36ellimc3ap 14607 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))))
6413, 62, 63mpbir2and 946 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
6511, 64jca 306 . 2 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
6665ex 115 1 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469  wss 3144   class class class wbr 4018   × cxp 4642  cres 4646  ccom 4648  wf 5231  cfv 5235  (class class class)co 5897  cc 7840   < clt 8023  cmin 8159   # cap 8569  +crp 9685  abscabs 11041  t crest 12747  ∞Metcxmet 13866  MetOpencmopn 13871  TopOnctopon 13987   CnP ccnp 14163   lim climc 14600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-map 6677  df-pm 6678  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-xneg 9804  df-xadd 9805  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-rest 12749  df-topgen 12768  df-psmet 13873  df-xmet 13874  df-met 13875  df-bl 13876  df-mopn 13877  df-top 13975  df-topon 13988  df-bases 14020  df-cnp 14166  df-limced 14602
This theorem is referenced by:  cnplimccntop  14616  cnlimcim  14617
  Copyright terms: Public domain W3C validator