Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnplimcim GIF version

Theorem cnplimcim 12842
 Description: If a function is continuous at 𝐵, its limit at 𝐵 equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimcim.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimcim.j 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnplimcim ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))

Proof of Theorem cnplimcim
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimcim.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
2 cnplimcim.k . . . . . . . 8 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
32cntoptopon 12738 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
5 resttopon 12377 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
63, 4, 5sylancr 411 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
71, 6eqeltrid 2227 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
8 cnpf2 12413 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
983expia 1184 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
107, 3, 9sylancl 410 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
1110imp 123 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
12 simplr 520 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵𝐴)
1311, 12ffvelrnd 5563 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
14 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
15 simpll 519 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
16 cnxmet 12737 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
17 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
18 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
1917, 2, 18metrest 12712 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
2016, 19mpan 421 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
211, 20syl5eq 2185 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
2215, 21syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
232a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − )))
24 xmetres2 12585 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
2516, 15, 24sylancr 411 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
2616a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
27 simplr 520 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵𝐴)
2822, 23, 25, 26, 27metcnpd 12726 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒))))
2911, 28syldan 280 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒))))
3014, 29mpbid 146 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒)))
3130simprd 113 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒))
3212ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐵𝐴)
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
3432, 33ovresd 5918 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) = (𝐵(abs ∘ − )𝑧))
3515, 27sseldd 3102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3611, 35syldan 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3736ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38 simpll 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
3938ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
4039, 33sseldd 3102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
41 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
4241cnmetdval 12735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
4337, 40, 42syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
4437, 40abssubd 10996 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘(𝐵𝑧)) = (abs‘(𝑧𝐵)))
4534, 43, 443eqtrd 2177 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) = (abs‘(𝑧𝐵)))
4645breq1d 3946 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑))
4746biimprd 157 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑 → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑))
4847adantld 276 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑))
4913ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
5011ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5150, 33ffvelrnd 5563 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
5241cnmetdval 12735 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℂ) → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑧))))
5349, 51, 52syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑧))))
5449, 51abssubd 10996 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑧))) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
5553, 54eqtrd 2173 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
5655breq1d 3946 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))
5756biimpd 143 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))
5848, 57imim12d 74 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
5958ralimdva 2502 . . . . . . 7 (((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
6059reximdva 2537 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
6160ralimdva 2502 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝐵((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑧) < 𝑑 → ((𝐹𝐵)(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒)))
6231, 61mpd 13 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))
6311, 38, 36ellimc3ap 12836 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) < 𝑒))))
6413, 62, 63mpbir2and 929 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
6511, 64jca 304 . 2 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
6665ex 114 1 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418   ⊆ wss 3075   class class class wbr 3936   × cxp 4544   ↾ cres 4548   ∘ ccom 4550  ⟶wf 5126  ‘cfv 5130  (class class class)co 5781  ℂcc 7641   < clt 7823   − cmin 7956   # cap 8366  ℝ+crp 9469  abscabs 10800   ↾t crest 12157  ∞Metcxmet 12186  MetOpencmopn 12191  TopOnctopon 12214   CnP ccnp 12392   limℂ climc 12829 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-map 6551  df-pm 6552  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-xneg 9588  df-xadd 9589  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-rest 12159  df-topgen 12178  df-psmet 12193  df-xmet 12194  df-met 12195  df-bl 12196  df-mopn 12197  df-top 12202  df-topon 12215  df-bases 12247  df-cnp 12395  df-limced 12831 This theorem is referenced by:  cnplimccntop  12845  cnlimcim  12846
 Copyright terms: Public domain W3C validator