ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnplimcim GIF version

Theorem cnplimcim 14106
Description: If a function is continuous at 𝐡, its limit at 𝐡 equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimcim.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
cnplimcim.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnplimcim ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) β†’ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))

Proof of Theorem cnplimcim
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimcim.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝐴)
2 cnplimcim.k . . . . . . . 8 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
32cntoptopon 14002 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
4 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
5 resttopon 13641 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
63, 4, 5sylancr 414 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
71, 6eqeltrid 2264 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΄))
8 cnpf2 13677 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
983expia 1205 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚))
107, 3, 9sylancl 413 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚))
1110imp 124 . . 3 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
12 simplr 528 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
1311, 12ffvelcdmd 5652 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„‚)
14 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅))
15 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
16 cnxmet 14001 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
17 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
18 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
1917, 2, 18metrest 13976 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
2016, 19mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
211, 20eqtrid 2222 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
2215, 21syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
232a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))
24 xmetres2 13849 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄))
2516, 15, 24sylancr 414 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄))
2616a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
27 simplr 528 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
2822, 23, 25, 26, 27metcnpd 13990 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑧) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π΅)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)) < 𝑒))))
2911, 28syldan 282 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑧) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π΅)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)) < 𝑒))))
3014, 29mpbid 147 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑧) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π΅)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)) < 𝑒)))
3130simprd 114 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑧) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π΅)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)) < 𝑒))
3212ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
33 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
3432, 33ovresd 6014 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑧) = (𝐡(abs ∘ βˆ’ )𝑧))
3515, 27sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3611, 35syldan 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3736ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
38 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
3938ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4039, 33sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
41 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
4241cnmetdval 13999 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝑧)))
4337, 40, 42syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝑧)))
4437, 40abssubd 11201 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝑧)) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)))
4534, 43, 443eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑧) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)))
4645breq1d 4013 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑧) < 𝑑 ↔ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑))
4746biimprd 158 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑 β†’ (𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑧) < 𝑑))
4847adantld 278 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑧) < 𝑑))
4913ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„‚)
5011ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5150, 33ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
5241cnmetdval 13999 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π΅) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π΅)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))))
5349, 51, 52syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))))
5449, 51abssubd 11201 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))))
5553, 54eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))))
5655breq1d 4013 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π΅)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)) < 𝑒 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝑒))
5756biimpd 144 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π΅)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝑒))
5848, 57imim12d 74 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (((𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑧) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π΅)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)) < 𝑒) β†’ ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝑒)))
5958ralimdva 2544 . . . . . . 7 (((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑧) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π΅)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)) < 𝑒) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝑒)))
6059reximdva 2579 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑧) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π΅)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)) < 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝑒)))
6160ralimdva 2544 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝐡((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑧) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π΅)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)) < 𝑒) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝑒)))
6231, 61mpd 13 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝑒))
6311, 38, 36ellimc3ap 14100 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝑒))))
6413, 62, 63mpbir2and 944 . . 3 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
6511, 64jca 306 . 2 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
6665ex 115 1 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) β†’ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456   βŠ† wss 3129   class class class wbr 4003   Γ— cxp 4624   β†Ύ cres 4628   ∘ ccom 4630  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  β„‚cc 7808   < clt 7991   βˆ’ cmin 8127   # cap 8537  β„+crp 9652  abscabs 11005   β†Ύt crest 12687  βˆžMetcxmet 13410  MetOpencmopn 13415  TopOnctopon 13480   CnP ccnp 13656   limβ„‚ climc 14093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-pm 6650  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13417  df-xmet 13418  df-met 13419  df-bl 13420  df-mopn 13421  df-top 13468  df-topon 13481  df-bases 13513  df-cnp 13659  df-limced 14095
This theorem is referenced by:  cnplimccntop  14109  cnlimcim  14110
  Copyright terms: Public domain W3C validator