Theorem mstri2 13265

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mscl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
mscl.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mstri2	⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem mstri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mscl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
2		mscl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑀)
3	1, 2	msmet2 13258	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
4		mettri2 13156	. . 3 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) ≤ ((𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐴) + (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵)))
5	3, 4	sylan 281	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) ≤ ((𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐴) + (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵)))
6		simpr2 999	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		simpr3 1000	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
8	6, 7	ovresd 5993	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
9		simpr1 998	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
10	9, 6	ovresd 5993	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐴) = (𝐶𝐷𝐴))
11	9, 7	ovresd 5993	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐶𝐷𝐵))
12	10, 11	oveq12d 5871	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐴) + (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵)) = ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))
13	5, 8, 12	3brtr3d 4020	1 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989   × cxp 4609   ↾ cres 4613  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853   + caddc 7777   ≤ cle 7955  Basecbs 12416  distcds 12489  Metcmet 12775  MetSpcms 13131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-tset 12499  df-rest 12581  df-topn 12582  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-topsp 12823  df-bases 12835  df-xms 13133  df-ms 13134

This theorem is referenced by: (None)