ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmstri2 GIF version

Theorem xmstri2 13901
Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mscl.x 𝑋 = (Base‘𝑀)
mscl.d 𝐷 = (dist‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
xmstri2 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem xmstri2
StepHypRef Expression
1 mscl.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑀)
2 mscl.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑀)
31, 2xmsxmet2 13894 . . 3 (𝑀 ∈ ∞MetSp → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
4 xmettri2 13792 . . 3 (((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) ≤ ((𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐴) +𝑒 (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵)))
53, 4sylan 283 . 2 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) ≤ ((𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐴) +𝑒 (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵)))
6 simpr2 1004 . . 3 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
7 simpr3 1005 . . 3 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
86, 7ovresd 6014 . 2 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
9 simpr1 1003 . . . 4 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐶𝑋)
109, 6ovresd 6014 . . 3 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐴) = (𝐶𝐷𝐴))
119, 7ovresd 6014 . . 3 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐶𝐷𝐵))
1210, 11oveq12d 5892 . 2 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐴) +𝑒 (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵)) = ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
135, 8, 123brtr3d 4034 1 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4003   × cxp 4624  cres 4628  cfv 5216  (class class class)co 5874  cle 7991   +𝑒 cxad 9768  Basecbs 12456  distcds 12539  ∞Metcxmet 13371  ∞MetSpcxms 13767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-5 8979  df-6 8980  df-7 8981  df-8 8982  df-9 8983  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-xneg 9770  df-xadd 9771  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-tset 12549  df-rest 12684  df-topn 12685  df-topgen 12703  df-psmet 13378  df-xmet 13379  df-bl 13381  df-mopn 13382  df-top 13429  df-topon 13442  df-topsp 13462  df-bases 13474  df-xms 13770
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator