ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psmetres2 GIF version

Theorem psmetres2 13836
Description: Restriction of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetres2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (PsMetβ€˜π‘…))

Proof of Theorem psmetres2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psmetf 13828 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
21adantr 276 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
3 simpr 110 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
4 xpss12 4734 . . . 4 ((𝑅 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
53, 3, 4syl2anc 411 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
62, 5fssresd 5393 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)):(𝑅 Γ— 𝑅)βŸΆβ„*)
7 simpr 110 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝑅)
87, 7ovresd 6015 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = (π‘Žπ·π‘Ž))
9 simpll 527 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
103sselda 3156 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝑋)
11 psmet0 13830 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ (π‘Žπ·π‘Ž) = 0)
129, 10, 11syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ (π‘Žπ·π‘Ž) = 0)
138, 12eqtrd 2210 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = 0)
149ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
153ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
1615sselda 3156 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑐 ∈ 𝑋)
1710ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝑋)
183adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
1918sselda 3156 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ 𝑏 ∈ 𝑋)
2019adantr 276 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑏 ∈ 𝑋)
21 psmettri2 13831 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
2214, 16, 17, 20, 21syl13anc 1240 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
237adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝑅)
24 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ 𝑏 ∈ 𝑅)
2523, 24ovresd 6015 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) = (π‘Žπ·π‘))
2625adantr 276 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) = (π‘Žπ·π‘))
27 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑐 ∈ 𝑅)
287ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ π‘Ž ∈ 𝑅)
2927, 28ovresd 6015 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = (π‘π·π‘Ž))
3024adantr 276 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑏 ∈ 𝑅)
3127, 30ovresd 6015 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) = (𝑐𝐷𝑏))
3229, 31oveq12d 5893 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏)) = ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
3322, 26, 323brtr4d 4036 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏)))
3433ralrimiva 2550 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ 𝑅) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏)))
3534ralrimiva 2550 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏)))
3613, 35jca 306 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ 𝑅) β†’ ((π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏))))
3736ralrimiva 2550 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑅 ((π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏))))
38 df-psmet 13450 . . . . . 6 PsMet = (π‘Ž ∈ V ↦ {𝑏 ∈ (ℝ* β†‘π‘š (π‘Ž Γ— π‘Ž)) ∣ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž ((𝑐𝑏𝑐) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ π‘Ž βˆ€π‘’ ∈ π‘Ž (𝑐𝑏𝑑) ≀ ((𝑒𝑏𝑐) +𝑒 (𝑒𝑏𝑑)))})
3938mptrcl 5599 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
4039adantr 276 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ V)
4140, 3ssexd 4144 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ V)
42 ispsmet 13826 . . 3 (𝑅 ∈ V β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (PsMetβ€˜π‘…) ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)):(𝑅 Γ— 𝑅)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑅 ((π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏))))))
4341, 42syl 14 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (PsMetβ€˜π‘…) ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)):(𝑅 Γ— 𝑅)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑅 ((π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑅 βˆ€π‘ ∈ 𝑅 (π‘Ž(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏) ≀ ((𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑏))))))
446, 37, 43mpbir2and 944 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (PsMetβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2738   βŠ† wss 3130   class class class wbr 4004   Γ— cxp 4625   β†Ύ cres 4629  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   β†‘π‘š cmap 6648  0cc0 7811  β„*cxr 7991   ≀ cle 7993   +𝑒 cxad 9770  PsMetcpsmet 13442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-map 6650  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-psmet 13450
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator