ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetres2 GIF version
Theorem xmetres2 13849
Description: Restriction of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetres2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (∞Metβ€˜π‘…))
Proof of Theorem xmetres2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetrel 13813 . . . . 5 Rel ∞Met
2 relelfvdm 5547 . . . . 5 ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
31, 2mpan 424 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
43adantr 276 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
5 simpr 110 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
64, 5ssexd 4143 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ V)
7 xmetf 13820 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
87adantr 276 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
9 xpss12 4733 . . . 4 ((𝑅 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
105, 9sylancom 420 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
118, 10fssresd 5392 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)):(𝑅 Γ— 𝑅)βŸΆβ„*)
12 ovres 6013 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
1312adantl 277 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
1413eqeq1d 2186 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ ((π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = 0 ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = 0))
15 simpll 527 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
16 simplr 528 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
17 simprl 529 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
1816, 17sseldd 3156 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
19 simprr 531 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
2016, 19sseldd 3156 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
21 xmeteq0 13829 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
2215, 18, 20, 21syl3anc 1238 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
2314, 22bitrd 188 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ ((π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
24 simpll 527 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
25 simplr 528 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
26 simpr3 1005 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑅)
2725, 26sseldd 3156 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
28183adantr3 1158 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
29203adantr3 1158 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
30 xmettri2 13831 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
3124, 27, 28, 29, 30syl13anc 1240 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
32133adantr3 1158 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
33 simpr1 1003 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
3426, 33ovresd 6014 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘₯) = (𝑧𝐷π‘₯))
35 simpr2 1004 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
3626, 35ovresd 6014 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = (𝑧𝐷𝑦))
3734, 36oveq12d 5892 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ ((𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘₯) +𝑒 (𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦)) = ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
3831, 32, 373brtr4d 4035 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) ≀ ((𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘₯) +𝑒 (𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦)))
396, 11, 23, 38isxmetd 13817 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (∞Metβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   βŠ† wss 3129   class class class wbr 4003   Γ— cxp 4624  dom cdm 4626   β†Ύ cres 4628  Rel wrel 4631  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  0cc0 7810  β„*cxr 7990   ≀ cle 7992   +𝑒 cxad 9769  βˆžMetcxmet 13410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-xmet 13418
This theorem is referenced by:  metres2  13851  xmetres  13852  xmetresbl  13910  metrest  13976  divcnap  14025  cncfmet  14049  limcimolemlt  14103  cnplimcim  14106  cnplimclemr  14108  limccnpcntop  14114  limccnp2cntop  14116
  Copyright terms: Public domain W3C validator