Theorem xmetres2 15605

Description: Restriction of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetres2	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))

Proof of Theorem xmetres2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetrel 15569	. . . . 5 ⊢ Rel ∞Met
2		relelfvdm 5730	. . . . 5 ⊢ ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3	1, 2	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
5		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → 𝑅 ⊆ 𝑋)
6	4, 5	ssexd 4275	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → 𝑅 ∈ V)
7		xmetf 15576	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
9		xpss12 4884	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
10	5, 9	sylancom 424	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
11	8, 10	fssresd 5569	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ*)
12		ovres 6232	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
13	12	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
14	13	eqeq1d 2247	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
15		simpll 531	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16		simplr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → 𝑅 ⊆ 𝑋)
17		simprl 535	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑅)
18	16, 17	sseldd 3249	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
19		simprr 537	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝑅)
20	16, 19	sseldd 3249	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
21		xmeteq0 15585	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
22	15, 18, 20, 21	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
23	14, 22	bitrd 188	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) → ((𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
24		simpll 531	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
25		simplr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑅 ⊆ 𝑋)
26		simpr3 1036	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑅)
27	25, 26	sseldd 3249	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
28	18	3adantr3 1189	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
29	20	3adantr3 1189	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
30		xmettri2 15587	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +e (𝑧𝐷𝑦)))
31	24, 27, 28, 29, 30	syl13anc 1280	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +e (𝑧𝐷𝑦)))
32	13	3adantr3 1189	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
33		simpr1 1034	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑅)
34	26, 33	ovresd 6233	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) = (𝑧𝐷𝑥))
35		simpr2 1035	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝑅)
36	26, 35	ovresd 6233	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑧𝐷𝑦))
37	34, 36	oveq12d 6106	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ((𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) +e (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) +e (𝑧𝐷𝑦)))
38	31, 32, 37	3brtr4d 4163	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) ≤ ((𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) +e (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)))
39	6, 11, 23, 38	isxmetd 15573	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131   × cxp 4774  dom cdm 4776   ↾ cres 4778  Rel wrel 4781  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  0cc0 8185  ℝ^*cxr 8365   ≤ cle 8367   +_e cxad 10189  ∞Metcxmet 14982

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-xmet 14990

This theorem is used by:  metres2  15607  xmetres  15608  xmetresbl  15666  metrest  15732  divcnap  15791  cncfmet  15818  limcimolemlt  15890  cnplimcim  15893  cnplimclemr  15895  limccnpcntop  15901  limccnp2cntop  15903