Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetres2 GIF version

Theorem xmetres2 12607
 Description: Restriction of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetres2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))

Proof of Theorem xmetres2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetrel 12571 . . . . 5 Rel ∞Met
2 relelfvdm 5462 . . . . 5 ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
31, 2mpan 421 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
43adantr 274 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
5 simpr 109 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑅𝑋)
64, 5ssexd 4077 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑅 ∈ V)
7 xmetf 12578 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
87adantr 274 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
9 xpss12 4655 . . . 4 ((𝑅𝑋𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
105, 9sylancom 417 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
118, 10fssresd 5308 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ*)
12 ovres 5919 . . . . 5 ((𝑥𝑅𝑦𝑅) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
1312adantl 275 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
1413eqeq1d 2149 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → ((𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
15 simpll 519 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16 simplr 520 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑅𝑋)
17 simprl 521 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑥𝑅)
1816, 17sseldd 3104 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑥𝑋)
19 simprr 522 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑦𝑅)
2016, 19sseldd 3104 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑦𝑋)
21 xmeteq0 12587 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
2215, 18, 20, 21syl3anc 1217 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
2314, 22bitrd 187 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → ((𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
24 simpll 519 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
25 simplr 520 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑅𝑋)
26 simpr3 990 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑅)
2725, 26sseldd 3104 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑋)
28183adantr3 1143 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑋)
29203adantr3 1143 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑋)
30 xmettri2 12589 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
3124, 27, 28, 29, 30syl13anc 1219 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
32133adantr3 1143 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
33 simpr1 988 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑅)
3426, 33ovresd 5920 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) = (𝑧𝐷𝑥))
35 simpr2 989 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑅)
3626, 35ovresd 5920 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑧𝐷𝑦))
3734, 36oveq12d 5801 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ((𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) +𝑒 (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
3831, 32, 373brtr4d 3969 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) ≤ ((𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) +𝑒 (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)))
396, 11, 23, 38isxmetd 12575 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ⊆ wss 3077   class class class wbr 3938   × cxp 4546  dom cdm 4548   ↾ cres 4550  Rel wrel 4553  ⟶wf 5128  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783  0cc0 7664  ℝ*cxr 7843   ≤ cle 7845   +𝑒 cxad 9607  ∞Metcxmet 12208 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-fv 5140  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-map 6553  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-xmet 12216 This theorem is referenced by:  metres2  12609  xmetres  12610  xmetresbl  12668  metrest  12734  divcnap  12783  cncfmet  12807  limcimolemlt  12861  cnplimcim  12864  cnplimclemr  12866  limccnpcntop  12872  limccnp2cntop  12874
 Copyright terms: Public domain W3C validator