ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetres2 GIF version
Theorem xmetres2 14232
Description: Restriction of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetres2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (∞Metβ€˜π‘…))
Proof of Theorem xmetres2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetrel 14196 . . . . 5 Rel ∞Met
2 relelfvdm 5559 . . . . 5 ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
31, 2mpan 424 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
43adantr 276 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
5 simpr 110 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
64, 5ssexd 4155 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ V)
7 xmetf 14203 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
87adantr 276 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
9 xpss12 4745 . . . 4 ((𝑅 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
105, 9sylancom 420 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
118, 10fssresd 5404 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)):(𝑅 Γ— 𝑅)βŸΆβ„*)
12 ovres 6028 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
1312adantl 277 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
1413eqeq1d 2196 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ ((π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = 0 ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = 0))
15 simpll 527 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
16 simplr 528 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
17 simprl 529 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
1816, 17sseldd 3168 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
19 simprr 531 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
2016, 19sseldd 3168 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
21 xmeteq0 14212 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
2215, 18, 20, 21syl3anc 1248 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
2314, 22bitrd 188 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ ((π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
24 simpll 527 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
25 simplr 528 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
26 simpr3 1006 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑅)
2725, 26sseldd 3168 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
28183adantr3 1159 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
29203adantr3 1159 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
30 xmettri2 14214 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
3124, 27, 28, 29, 30syl13anc 1250 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
32133adantr3 1159 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
33 simpr1 1004 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
3426, 33ovresd 6029 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘₯) = (𝑧𝐷π‘₯))
35 simpr2 1005 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
3626, 35ovresd 6029 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = (𝑧𝐷𝑦))
3734, 36oveq12d 5906 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ ((𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘₯) +𝑒 (𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦)) = ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
3831, 32, 373brtr4d 4047 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) ≀ ((𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘₯) +𝑒 (𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦)))
396, 11, 23, 38isxmetd 14200 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (∞Metβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   βŠ† wss 3141   class class class wbr 4015   Γ— cxp 4636  dom cdm 4638   β†Ύ cres 4640  Rel wrel 4643  βŸΆwf 5224  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  0cc0 7825  β„*cxr 8005   ≀ cle 8007   +𝑒 cxad 9784  βˆžMetcxmet 13779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-map 6664  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-xmet 13787
This theorem is referenced by:  metres2  14234  xmetres  14235  xmetresbl  14293  metrest  14359  divcnap  14408  cncfmet  14432  limcimolemlt  14486  cnplimcim  14489  cnplimclemr  14491  limccnpcntop  14497  limccnp2cntop  14499
  Copyright terms: Public domain W3C validator