ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetres2 GIF version

Theorem xmetres2 13512
Description: Restriction of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetres2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))

Proof of Theorem xmetres2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetrel 13476 . . . . 5 Rel ∞Met
2 relelfvdm 5542 . . . . 5 ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
31, 2mpan 424 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
43adantr 276 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
5 simpr 110 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑅𝑋)
64, 5ssexd 4140 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑅 ∈ V)
7 xmetf 13483 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
87adantr 276 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
9 xpss12 4729 . . . 4 ((𝑅𝑋𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
105, 9sylancom 420 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
118, 10fssresd 5387 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ*)
12 ovres 6007 . . . . 5 ((𝑥𝑅𝑦𝑅) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
1312adantl 277 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
1413eqeq1d 2186 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → ((𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
15 simpll 527 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16 simplr 528 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑅𝑋)
17 simprl 529 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑥𝑅)
1816, 17sseldd 3156 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑥𝑋)
19 simprr 531 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑦𝑅)
2016, 19sseldd 3156 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑦𝑋)
21 xmeteq0 13492 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
2215, 18, 20, 21syl3anc 1238 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
2314, 22bitrd 188 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → ((𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
24 simpll 527 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
25 simplr 528 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑅𝑋)
26 simpr3 1005 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑅)
2725, 26sseldd 3156 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑋)
28183adantr3 1158 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑋)
29203adantr3 1158 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑋)
30 xmettri2 13494 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
3124, 27, 28, 29, 30syl13anc 1240 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
32133adantr3 1158 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
33 simpr1 1003 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑅)
3426, 33ovresd 6008 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) = (𝑧𝐷𝑥))
35 simpr2 1004 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑅)
3626, 35ovresd 6008 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑧𝐷𝑦))
3734, 36oveq12d 5886 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ((𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) +𝑒 (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
3831, 32, 373brtr4d 4032 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) ≤ ((𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) +𝑒 (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)))
396, 11, 23, 38isxmetd 13480 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3129   class class class wbr 4000   × cxp 4620  dom cdm 4622  cres 4624  Rel wrel 4627  wf 5207  cfv 5211  (class class class)co 5868  0cc0 7789  *cxr 7968  cle 7970   +𝑒 cxad 9744  ∞Metcxmet 13113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-map 6643  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-xmet 13121
This theorem is referenced by:  metres2  13514  xmetres  13515  xmetresbl  13573  metrest  13639  divcnap  13688  cncfmet  13712  limcimolemlt  13766  cnplimcim  13769  cnplimclemr  13771  limccnpcntop  13777  limccnp2cntop  13779
  Copyright terms: Public domain W3C validator