Theorem rexlimiva 2663

Description: Inference from Theorem 19.23 of [Margaris] p. 90 (restricted quantifier version). (Contributed by NM, 18-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexlimiva.1	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
rexlimiva	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → 𝜓)

Distinct variable group:   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rexlimiva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexlimiva.1	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝜓)
2	1	ex 115	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))
3	2	rexlimiv 2662	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587  ax-i5r 1588

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-ral 2533  df-rex 2534

This theorem is used by:  unon  4660  reg2exmidlema  4683  ssfilem  7181  ssfilemd  7183  diffitest  7195  fival  7309  elfi2  7311  fi0  7314  djuss  7416  updjud  7428  enumct  7461  finnum  7534  dmaddpqlem  7750  nqpi  7751  nq0nn  7815  recexprlemm  7997  iswrd  11328  wrdf  11332  rexanuz  11776  r19.2uz  11781  maxleast  12002  fsum2dlemstep  12226  fisumcom2  12230  fprod2dlemstep  12414  fprodcom2fi  12418  0dvds  12603  even2n  12666  m1expe  12691  m1exp1  12693  modprm0  13062  gzsumval2  13773  dfgrp2  13891  epttop  15316  neipsm  15380  tgioo  15780  sin0pilem2  16009  pilem3  16010  perfect  16301  clwwlkn1loopb  16866  bj-nn0suc  17195  bj-nn0sucALT  17209  trirec0xor  17301