Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1exp1 GIF version

Theorem m1exp1 11240
 Description: Exponentiation of negative one is one iff the exponent is even. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1exp1 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem m1exp1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 8839 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
2 divides 11137 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
31, 2mpan 416 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
4 oveq2 5674 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (𝑛 · 2) → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
54eqcoms 2092 . . . . . . . 8 ((𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
6 zcn 8816 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
7 2cnd 8556 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
86, 7mulcomd 7570 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
98oveq2d 5682 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = (-1↑(2 · 𝑛)))
10 m1expeven 10063 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑛)) = 1)
119, 10eqtrd 2121 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = 1)
125, 11sylan9eqr 2143 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = 1)
1312rexlimiva 2485 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1)
143, 13syl6bi 162 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1))
1514impcom 124 . . . 4 ((2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = 1)
16 simpl 108 . . . 4 ((2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ 𝑁)
1715, 162thd 174 . . 3 ((2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
1817expcom 115 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁)))
19 1ne0 8551 . . . . . 6 1 ≠ 0
20 eqcom 2091 . . . . . . 7 (-1 = 1 ↔ 1 = -1)
21 ax-1cn 7499 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
2221eqnegi 8269 . . . . . . 7 (1 = -1 ↔ 1 = 0)
2320, 22bitri 183 . . . . . 6 (-1 = 1 ↔ 1 = 0)
2419, 23nemtbir 2345 . . . . 5 ¬ -1 = 1
25 odd2np1 11212 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
26 oveq2 5674 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
2726eqcoms 2092 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
28 neg1cn 8588 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℂ
2928a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
30 neg1ap0 8592 . . . . . . . . . . . . 13 -1 # 0
3130a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → -1 # 0)
321a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
33 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
3432, 33zmulcld 8935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
3529, 31, 34expp1zapd 10156 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1))
3610oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
3728mulid2i 7552 . . . . . . . . . . . 12 (1 · -1) = -1
3836, 37syl6eq 2137 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
3935, 38eqtrd 2121 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
4027, 39sylan9eqr 2143 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
4140rexlimiva 2485 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1)
4225, 41syl6bi 162 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
4342impcom 124 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = -1)
4443eqeq1d 2097 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ -1 = 1))
4524, 44mtbiri 636 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (-1↑𝑁) = 1)
46 simpl 108 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
4745, 462falsed 654 . . 3 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
4847expcom 115 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁)))
49 zeo3 11207 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑁))
5018, 48, 49mpjaod 674 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∃wrex 2361   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  ℂcc 7409  0cc0 7411  1c1 7412   + caddc 7414   · cmul 7416  -cneg 7715   # cap 8119  2c2 8534  ℤcz 8811  ↑cexp 10015   ∥ cdvds 11135 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-xor 1313  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-dvds 11136 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator