Theorem m1exp1 11906

Description: Exponentiation of negative one is one iff the exponent is even. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1exp1	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem m1exp1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9281	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		divides 11796	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
3	1, 2	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
4		oveq2 5883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (𝑛 · 2) → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
5	4	eqcoms 2180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
6		zcn 9258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
7		2cnd 8992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcomd 7979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
9	8	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = (-1↑(2 · 𝑛)))
10		m1expeven 10567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑛)) = 1)
11	9, 10	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = 1)
12	5, 11	sylan9eqr 2232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = 1)
13	12	rexlimiva 2589	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1)
14	3, 13	syl6bi 163	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1))
15	14	impcom 125	. . . 4 ⊢ ((2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = 1)
16		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ 𝑁)
17	15, 16	2thd 175	. . 3 ⊢ ((2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
18	17	expcom 116	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁)))
19		1ne0 8987	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
20		eqcom 2179	. . . . . . 7 ⊢ (-1 = 1 ↔ 1 = -1)
21		ax-1cn 7904	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	21	eqnegi 8698	. . . . . . 7 ⊢ (1 = -1 ↔ 1 = 0)
23	20, 22	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ (-1 = 1 ↔ 1 = 0)
24	19, 23	nemtbir 2436	. . . . 5 ⊢ ¬ -1 = 1
25		odd2np1 11878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
26		oveq2 5883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
27	26	eqcoms 2180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
28		neg1cn 9024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 ∈ ℂ
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
30		neg1ap0 9028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 # 0
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -1 # 0)
32	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
33		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
34	32, 33	zmulcld 9381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
35	29, 31, 34	expp1zapd 10663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1))
36	10	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
37	28	mullidi 7960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · -1) = -1
38	36, 37	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
39	35, 38	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
40	27, 39	sylan9eqr 2232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
41	40	rexlimiva 2589	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1)
42	25, 41	syl6bi 163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
43	42	impcom 125	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = -1)
44	43	eqeq1d 2186	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ -1 = 1))
45	24, 44	mtbiri 675	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (-1↑𝑁) = 1)
46		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
47	45, 46	2falsed 702	. . 3 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
48	47	expcom 116	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁)))
49		zeo3 11873	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑁))
50	18, 48, 49	mpjaod 718	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   · cmul 7816  -cneg 8129   # cap 8538  2c2 8970  ℤcz 9253  ↑cexp 10519   ∥ cdvds 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-dvds 11795

This theorem is referenced by: (None)