ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1exp1 GIF version

Theorem m1exp1 11941
Description: Exponentiation of negative one is one iff the exponent is even. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1exp1 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem m1exp1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 9312 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
2 divides 11831 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
31, 2mpan 424 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
4 oveq2 5905 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (𝑛 · 2) → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
54eqcoms 2192 . . . . . . . 8 ((𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
6 zcn 9289 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
7 2cnd 9023 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
86, 7mulcomd 8010 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
98oveq2d 5913 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = (-1↑(2 · 𝑛)))
10 m1expeven 10601 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑛)) = 1)
119, 10eqtrd 2222 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = 1)
125, 11sylan9eqr 2244 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = 1)
1312rexlimiva 2602 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1)
143, 13biimtrdi 163 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1))
1514impcom 125 . . . 4 ((2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = 1)
16 simpl 109 . . . 4 ((2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ 𝑁)
1715, 162thd 175 . . 3 ((2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
1817expcom 116 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁)))
19 1ne0 9018 . . . . . 6 1 ≠ 0
20 eqcom 2191 . . . . . . 7 (-1 = 1 ↔ 1 = -1)
21 ax-1cn 7935 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
2221eqnegi 8729 . . . . . . 7 (1 = -1 ↔ 1 = 0)
2320, 22bitri 184 . . . . . 6 (-1 = 1 ↔ 1 = 0)
2419, 23nemtbir 2449 . . . . 5 ¬ -1 = 1
25 odd2np1 11913 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
26 oveq2 5905 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
2726eqcoms 2192 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
28 neg1cn 9055 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℂ
2928a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
30 neg1ap0 9059 . . . . . . . . . . . . 13 -1 # 0
3130a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → -1 # 0)
321a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
33 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
3432, 33zmulcld 9412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
3529, 31, 34expp1zapd 10697 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1))
3610oveq1d 5912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
3728mullidi 7991 . . . . . . . . . . . 12 (1 · -1) = -1
3836, 37eqtrdi 2238 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
3935, 38eqtrd 2222 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
4027, 39sylan9eqr 2244 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
4140rexlimiva 2602 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1)
4225, 41biimtrdi 163 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
4342impcom 125 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = -1)
4443eqeq1d 2198 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ -1 = 1))
4524, 44mtbiri 676 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (-1↑𝑁) = 1)
46 simpl 109 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
4745, 462falsed 703 . . 3 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
4847expcom 116 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁)))
49 zeo3 11908 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑁))
5018, 48, 49mpjaod 719 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  wrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  cc 7840  0cc0 7842  1c1 7843   + caddc 7845   · cmul 7847  -cneg 8160   # cap 8569  2c2 9001  cz 9284  cexp 10553  cdvds 11829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-dvds 11830
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator