ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1exp1 GIF version

Theorem m1exp1 11853
Description: Exponentiation of negative one is one iff the exponent is even. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1exp1 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem m1exp1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 9233 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
2 divides 11744 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
31, 2mpan 422 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
4 oveq2 5859 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (𝑛 · 2) → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
54eqcoms 2173 . . . . . . . 8 ((𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
6 zcn 9210 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
7 2cnd 8944 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
86, 7mulcomd 7934 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
98oveq2d 5867 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = (-1↑(2 · 𝑛)))
10 m1expeven 10516 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑛)) = 1)
119, 10eqtrd 2203 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = 1)
125, 11sylan9eqr 2225 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = 1)
1312rexlimiva 2582 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1)
143, 13syl6bi 162 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1))
1514impcom 124 . . . 4 ((2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = 1)
16 simpl 108 . . . 4 ((2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ 𝑁)
1715, 162thd 174 . . 3 ((2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
1817expcom 115 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁)))
19 1ne0 8939 . . . . . 6 1 ≠ 0
20 eqcom 2172 . . . . . . 7 (-1 = 1 ↔ 1 = -1)
21 ax-1cn 7860 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
2221eqnegi 8651 . . . . . . 7 (1 = -1 ↔ 1 = 0)
2320, 22bitri 183 . . . . . 6 (-1 = 1 ↔ 1 = 0)
2419, 23nemtbir 2429 . . . . 5 ¬ -1 = 1
25 odd2np1 11825 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
26 oveq2 5859 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
2726eqcoms 2173 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
28 neg1cn 8976 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℂ
2928a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
30 neg1ap0 8980 . . . . . . . . . . . . 13 -1 # 0
3130a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → -1 # 0)
321a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
33 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
3432, 33zmulcld 9333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
3529, 31, 34expp1zapd 10611 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1))
3610oveq1d 5866 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
3728mulid2i 7916 . . . . . . . . . . . 12 (1 · -1) = -1
3836, 37eqtrdi 2219 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
3935, 38eqtrd 2203 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
4027, 39sylan9eqr 2225 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
4140rexlimiva 2582 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1)
4225, 41syl6bi 162 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
4342impcom 124 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = -1)
4443eqeq1d 2179 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ -1 = 1))
4524, 44mtbiri 670 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (-1↑𝑁) = 1)
46 simpl 108 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
4745, 462falsed 697 . . 3 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
4847expcom 115 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁)))
49 zeo3 11820 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑁))
5018, 48, 49mpjaod 713 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  wrex 2449   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851  cc 7765  0cc0 7767  1c1 7768   + caddc 7770   · cmul 7772  -cneg 8084   # cap 8493  2c2 8922  cz 9205  cexp 10468  cdvds 11742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-dvds 11743
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator