Theorem m1exp1 12042

Description: Exponentiation of negative one is one iff the exponent is even. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1exp1	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem m1exp1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9345	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		divides 11932	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
3	1, 2	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
4		oveq2 5926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (𝑛 · 2) → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
5	4	eqcoms 2196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
6		zcn 9322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
7		2cnd 9055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcomd 8041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
9	8	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = (-1↑(2 · 𝑛)))
10		m1expeven 10657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑛)) = 1)
11	9, 10	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = 1)
12	5, 11	sylan9eqr 2248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = 1)
13	12	rexlimiva 2606	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1)
14	3, 13	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1))
15	14	impcom 125	. . . 4 ⊢ ((2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = 1)
16		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ 𝑁)
17	15, 16	2thd 175	. . 3 ⊢ ((2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
18	17	expcom 116	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁)))
19		1ne0 9050	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
20		eqcom 2195	. . . . . . 7 ⊢ (-1 = 1 ↔ 1 = -1)
21		ax-1cn 7965	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	21	eqnegi 8760	. . . . . . 7 ⊢ (1 = -1 ↔ 1 = 0)
23	20, 22	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ (-1 = 1 ↔ 1 = 0)
24	19, 23	nemtbir 2453	. . . . 5 ⊢ ¬ -1 = 1
25		odd2np1 12014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
26		oveq2 5926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
27	26	eqcoms 2196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
28		neg1cn 9087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 ∈ ℂ
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
30		neg1ap0 9091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 # 0
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -1 # 0)
32	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
33		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
34	32, 33	zmulcld 9445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
35	29, 31, 34	expp1zapd 10753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1))
36	10	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
37	28	mullidi 8022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · -1) = -1
38	36, 37	eqtrdi 2242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
39	35, 38	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
40	27, 39	sylan9eqr 2248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
41	40	rexlimiva 2606	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1)
42	25, 41	biimtrdi 163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
43	42	impcom 125	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = -1)
44	43	eqeq1d 2202	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ -1 = 1))
45	24, 44	mtbiri 676	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (-1↑𝑁) = 1)
46		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
47	45, 46	2falsed 703	. . 3 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
48	47	expcom 116	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁)))
49		zeo3 12009	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑁))
50	18, 48, 49	mpjaod 719	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877  -cneg 8191   # cap 8600  2c2 9033  ℤcz 9317  ↑cexp 10609   ∥ cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-dvds 11931

This theorem is referenced by: (None)