Theorem ssfilem 6945

Description: Lemma for ssfiexmid 6946. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssfilem.1	⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin

Assertion

Ref	Expression
ssfilem	⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Distinct variable group:   𝜑,𝑧

Proof of Theorem ssfilem

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfilem.1	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin
2		isfi 6829	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛)
3	1, 2	mpbi 145	. 2 ⊢ ∃𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛
4		0elnn 4656	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑛))
5		breq2 4038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ∅ → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ ∅))
6		en0 6863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ ∅ ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅)
7	5, 6	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ∅ → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅))
8	7	biimpac 298	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 = ∅) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅)
9		rabeq0 3481	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑)
10		0ex 4161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	snm 3743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑤 𝑤 ∈ {∅}
12		r19.3rmv 3542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ {∅} → (¬ 𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑)
14	9, 13	bitr4i 187	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ¬ 𝜑)
15	8, 14	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 = ∅) → ¬ 𝜑)
16	15	olcd 735	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 = ∅) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
17		ensym 6849	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 → 𝑛 ≈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
18		elex2 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ 𝑛 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑛)
19		enm 6888	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑛) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
20	17, 18, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ ∅ ∈ 𝑛) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
21		biidd 172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜑))
22	21	elrab 2920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ {∅} ∧ 𝜑))
23	22	simprbi 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → 𝜑)
24	23	orcd 734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
25	24	exlimiv 1612	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
26	20, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ ∅ ∈ 𝑛) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
27	16, 26	jaodan 798	. . . . 5 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ (𝑛 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑛)) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
28	4, 27	sylan2 286	. . . 4 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
29	28	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
30	29	rexlimiva 2609	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
31	3, 30	ax-mp 5	1 ⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {crab 2479  ∅c0 3451  {csn 3623   class class class wbr 4034  ωcom 4627   ≈ cen 6806  Fincfn 6808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811

This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6946  domfiexmid  6948