ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfilem GIF version

Theorem ssfilem 6737
Description: Lemma for ssfiexmid 6738. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
ssfilem.1 {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin
Assertion
Ref Expression
ssfilem (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Distinct variable group:   𝜑,𝑧

Proof of Theorem ssfilem
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfilem.1 . . 3 {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin
2 isfi 6623 . . 3 ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛)
31, 2mpbi 144 . 2 𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛
4 0elnn 4502 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑛))
5 breq2 3903 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ∅ → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ ∅))
6 en0 6657 . . . . . . . . . 10 ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ ∅ ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅)
75, 6syl6bb 195 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ∅ → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅))
87biimpac 296 . . . . . . . 8 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛𝑛 = ∅) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅)
9 rabeq0 3362 . . . . . . . . 9 ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑)
10 0ex 4025 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ V
1110snm 3613 . . . . . . . . . 10 𝑤 𝑤 ∈ {∅}
12 r19.3rmv 3423 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤 𝑤 ∈ {∅} → (¬ 𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑)
149, 13bitr4i 186 . . . . . . . 8 ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ¬ 𝜑)
158, 14sylib 121 . . . . . . 7 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛𝑛 = ∅) → ¬ 𝜑)
1615olcd 708 . . . . . 6 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛𝑛 = ∅) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
17 ensym 6643 . . . . . . . 8 ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛𝑛 ≈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
18 elex2 2676 . . . . . . . 8 (∅ ∈ 𝑛 → ∃𝑥 𝑥𝑛)
19 enm 6682 . . . . . . . 8 ((𝑛 ≈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∧ ∃𝑥 𝑥𝑛) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
2017, 18, 19syl2an 287 . . . . . . 7 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ ∅ ∈ 𝑛) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
21 biidd 171 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝜑𝜑))
2221elrab 2813 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ {∅} ∧ 𝜑))
2322simprbi 273 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → 𝜑)
2423orcd 707 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
2524exlimiv 1562 . . . . . . 7 (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
2620, 25syl 14 . . . . . 6 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ ∅ ∈ 𝑛) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
2716, 26jaodan 771 . . . . 5 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ (𝑛 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑛)) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
284, 27sylan2 284 . . . 4 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛𝑛 ∈ ω) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
2928ancoms 266 . . 3 ((𝑛 ∈ ω ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
3029rexlimiva 2521 . 2 (∃𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
313, 30ax-mp 5 1 (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103  wb 104  wo 682   = wceq 1316  wex 1453  wcel 1465  wral 2393  wrex 2394  {crab 2397  c0 3333  {csn 3497   class class class wbr 3899  ωcom 4474  cen 6600  Fincfn 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-er 6397  df-en 6603  df-fin 6605
This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6738  domfiexmid  6740
  Copyright terms: Public domain W3C validator