ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfilem GIF version

Theorem ssfilem 6545
Description: Lemma for ssfiexmid 6546. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
ssfilem.1 {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin
Assertion
Ref Expression
ssfilem (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Distinct variable group:   𝜑,𝑧

Proof of Theorem ssfilem
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfilem.1 . . 3 {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin
2 isfi 6432 . . 3 ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛)
31, 2mpbi 143 . 2 𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛
4 0elnn 4407 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑛))
5 breq2 3826 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ∅ → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ ∅))
6 en0 6466 . . . . . . . . . 10 ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ ∅ ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅)
75, 6syl6bb 194 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ∅ → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅))
87biimpac 292 . . . . . . . 8 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛𝑛 = ∅) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅)
9 rabeq0 3301 . . . . . . . . 9 ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑)
10 0ex 3943 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ V
1110snm 3545 . . . . . . . . . 10 𝑤 𝑤 ∈ {∅}
12 r19.3rmv 3359 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤 𝑤 ∈ {∅} → (¬ 𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑))
1311, 12ax-mp 7 . . . . . . . . 9 𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑)
149, 13bitr4i 185 . . . . . . . 8 ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ¬ 𝜑)
158, 14sylib 120 . . . . . . 7 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛𝑛 = ∅) → ¬ 𝜑)
1615olcd 686 . . . . . 6 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛𝑛 = ∅) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
17 ensym 6452 . . . . . . . 8 ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛𝑛 ≈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
18 elex2 2629 . . . . . . . 8 (∅ ∈ 𝑛 → ∃𝑥 𝑥𝑛)
19 enm 6490 . . . . . . . 8 ((𝑛 ≈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∧ ∃𝑥 𝑥𝑛) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
2017, 18, 19syl2an 283 . . . . . . 7 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ ∅ ∈ 𝑛) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
21 biidd 170 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝜑𝜑))
2221elrab 2762 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ {∅} ∧ 𝜑))
2322simprbi 269 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → 𝜑)
2423orcd 685 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
2524exlimiv 1532 . . . . . . 7 (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
2620, 25syl 14 . . . . . 6 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ ∅ ∈ 𝑛) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
2716, 26jaodan 744 . . . . 5 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ (𝑛 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑛)) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
284, 27sylan2 280 . . . 4 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛𝑛 ∈ ω) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
2928ancoms 264 . . 3 ((𝑛 ∈ ω ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
3029rexlimiva 2480 . 2 (∃𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
313, 30ax-mp 7 1 (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1287  wex 1424  wcel 1436  wral 2355  wrex 2356  {crab 2359  c0 3275  {csn 3431   class class class wbr 3822  ωcom 4380  cen 6409  Fincfn 6411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-iinf 4378
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-br 3823  df-opab 3877  df-id 4096  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-er 6246  df-en 6412  df-fin 6414
This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6546  domfiexmid  6548
  Copyright terms: Public domain W3C validator