Theorem ssfilem 6874

Description: Lemma for ssfiexmid 6875. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssfilem.1	⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin

Assertion

Ref	Expression
ssfilem	⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Distinct variable group:   𝜑,𝑧

Proof of Theorem ssfilem

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfilem.1	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin
2		isfi 6760	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛)
3	1, 2	mpbi 145	. 2 ⊢ ∃𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛
4		0elnn 4618	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑛))
5		breq2 4007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ∅ → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ ∅))
6		en0 6794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ ∅ ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅)
7	5, 6	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ∅ → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅))
8	7	biimpac 298	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 = ∅) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅)
9		rabeq0 3452	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑)
10		0ex 4130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	snm 3712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑤 𝑤 ∈ {∅}
12		r19.3rmv 3513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ {∅} → (¬ 𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑)
14	9, 13	bitr4i 187	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ¬ 𝜑)
15	8, 14	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 = ∅) → ¬ 𝜑)
16	15	olcd 734	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 = ∅) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
17		ensym 6780	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 → 𝑛 ≈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
18		elex2 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ 𝑛 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑛)
19		enm 6819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑛) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
20	17, 18, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ ∅ ∈ 𝑛) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
21		biidd 172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜑))
22	21	elrab 2893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ {∅} ∧ 𝜑))
23	22	simprbi 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → 𝜑)
24	23	orcd 733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
25	24	exlimiv 1598	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
26	20, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ ∅ ∈ 𝑛) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
27	16, 26	jaodan 797	. . . . 5 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ (𝑛 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑛)) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
28	4, 27	sylan2 286	. . . 4 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
29	28	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
30	29	rexlimiva 2589	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
31	3, 30	ax-mp 5	1 ⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  {crab 2459  ∅c0 3422  {csn 3592   class class class wbr 4003  ωcom 4589   ≈ cen 6737  Fincfn 6739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-er 6534  df-en 6740  df-fin 6742

This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6875  domfiexmid  6877