![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > even2n | GIF version |
Description: An integer is even iff it is twice another integer. (Contributed by AV, 25-Jun-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
even2n | โข (2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (2 ยท ๐) = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | evenelz 11874 | . 2 โข (2 โฅ ๐ โ ๐ โ โค) | |
2 | 2z 9283 | . . . . . . 7 โข 2 โ โค | |
3 | 2 | a1i 9 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ 2 โ โค) |
4 | id 19 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โค) | |
5 | 3, 4 | zmulcld 9383 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ (2 ยท ๐) โ โค) |
6 | 5 | adantr 276 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง (2 ยท ๐) = ๐) โ (2 ยท ๐) โ โค) |
7 | eleq1 2240 | . . . . 5 โข ((2 ยท ๐) = ๐ โ ((2 ยท ๐) โ โค โ ๐ โ โค)) | |
8 | 7 | adantl 277 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง (2 ยท ๐) = ๐) โ ((2 ยท ๐) โ โค โ ๐ โ โค)) |
9 | 6, 8 | mpbid 147 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง (2 ยท ๐) = ๐) โ ๐ โ โค) |
10 | 9 | rexlimiva 2589 | . 2 โข (โ๐ โ โค (2 ยท ๐) = ๐ โ ๐ โ โค) |
11 | divides 11798 | . . . 4 โข ((2 โ โค โง ๐ โ โค) โ (2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (๐ ยท 2) = ๐)) | |
12 | zcn 9260 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
13 | 2cnd 8994 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โค โ 2 โ โ) | |
14 | 12, 13 | mulcomd 7981 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ (๐ ยท 2) = (2 ยท ๐)) |
15 | 14 | eqeq1d 2186 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ ((๐ ยท 2) = ๐ โ (2 ยท ๐) = ๐)) |
16 | 15 | rexbiia 2492 | . . . 4 โข (โ๐ โ โค (๐ ยท 2) = ๐ โ โ๐ โ โค (2 ยท ๐) = ๐) |
17 | 11, 16 | bitrdi 196 | . . 3 โข ((2 โ โค โง ๐ โ โค) โ (2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (2 ยท ๐) = ๐)) |
18 | 2, 17 | mpan 424 | . 2 โข (๐ โ โค โ (2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (2 ยท ๐) = ๐)) |
19 | 1, 10, 18 | pm5.21nii 704 | 1 โข (2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (2 ยท ๐) = ๐) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โง wa 104 โ wb 105 = wceq 1353 โ wcel 2148 โwrex 2456 class class class wbr 4005 (class class class)co 5877 ยท cmul 7818 2c2 8972 โคcz 9255 โฅ cdvds 11796 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4123 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-ltadd 7929 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-br 4006 df-opab 4067 df-id 4295 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-inn 8922 df-2 8980 df-n0 9179 df-z 9256 df-dvds 11797 |
This theorem is referenced by: evennn02n 11889 evennn2n 11890 m1expe 11906 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |