Theorem even2n 11811

Description: An integer is even iff it is twice another integer. (Contributed by AV, 25-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
even2n	⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem even2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenelz 11804	. 2 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		2z 9219	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 9319	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
6	5	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
7		eleq1 2229	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	7	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
9	6, 8	mpbid 146	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	rexlimiva 2578	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		divides 11729	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
12		zcn 9196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
13		2cnd 8930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcomd 7920	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
15	14	eqeq1d 2174	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝑁 ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
16	15	rexbiia 2481	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
17	11, 16	bitrdi 195	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
18	2, 17	mpan 421	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
19	1, 10, 18	pm5.21nii 694	1 ⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   · cmul 7758  2c2 8908  ℤcz 9191   ∥ cdvds 11727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-dvds 11728

This theorem is referenced by:  evennn02n  11819  evennn2n  11820  m1expe  11836