Theorem even2n 11607

Description: An integer is even iff it is twice another integer. (Contributed by AV, 25-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
even2n	⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem even2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenelz 11600	. 2 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		2z 9106	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 9203	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
6	5	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
7		eleq1 2203	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	7	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
9	6, 8	mpbid 146	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	rexlimiva 2547	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		divides 11531	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
12		zcn 9083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
13		2cnd 8817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcomd 7811	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
15	14	eqeq1d 2149	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝑁 ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
16	15	rexbiia 2453	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
17	11, 16	syl6bb 195	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
18	2, 17	mpan 421	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
19	1, 10, 18	pm5.21nii 694	1 ⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   · cmul 7649  2c2 8795  ℤcz 9078   ∥ cdvds 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-dvds 11530

This theorem is referenced by:  evennn02n  11615  evennn2n  11616  m1expe  11632