Theorem even2n 12428

Description: An integer is even iff it is twice another integer. (Contributed by AV, 25-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
even2n	⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem even2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenelz 12421	. 2 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		2z 9500	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 9601	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
7		eleq1 2292	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	7	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
9	6, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	rexlimiva 2643	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		divides 12343	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
12		zcn 9477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
13		2cnd 9209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcomd 8194	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
15	14	eqeq1d 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝑁 ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
16	15	rexbiia 2545	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
17	11, 16	bitrdi 196	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
18	2, 17	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
19	1, 10, 18	pm5.21nii 709	1 ⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   · cmul 8030  2c2 9187  ℤcz 9472   ∥ cdvds 12341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-2 9195  df-n0 9396  df-z 9473  df-dvds 12342

This theorem is referenced by:  evennn02n  12436  evennn2n  12437  m1expe  12453