Theorem even2n 11871

Description: An integer is even iff it is twice another integer. (Contributed by AV, 25-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
even2n	⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem even2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenelz 11864	. 2 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		2z 9277	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 9377	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
7		eleq1 2240	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	7	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
9	6, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	rexlimiva 2589	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		divides 11789	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
12		zcn 9254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
13		2cnd 8988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcomd 7975	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
15	14	eqeq1d 2186	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝑁 ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
16	15	rexbiia 2492	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
17	11, 16	bitrdi 196	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
18	2, 17	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
19	1, 10, 18	pm5.21nii 704	1 ⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872   · cmul 7813  2c2 8966  ℤcz 9249   ∥ cdvds 11787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-2 8974  df-n0 9173  df-z 9250  df-dvds 11788

This theorem is referenced by:  evennn02n  11879  evennn2n  11880  m1expe  11896