Theorem trirec0xor 15065

Description: Version of trirec0 15064 with exclusive-or.

The definition of a discrete field is sometimes stated in terms of exclusive-or but as proved here, this is equivalent to inclusive-or because the two disjuncts cannot be simultaneously true. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
trirec0xor	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem trirec0xor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trirec0 15064	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
2		1ne0 9000	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
3	2	nesymi 2403	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 = 1
4		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
5	4	oveq1d 5903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥 · 𝑧) = (0 · 𝑧))
6		mul02lem2 8358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (0 · 𝑧) = 0)
7	5, 6	sylan9eqr 2242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)) → (𝑥 · 𝑧) = 0)
8		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)) → (𝑥 · 𝑧) = 1)
9	7, 8	eqtr3d 2222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)) → 0 = 1)
10	9	rexlimiva 2599	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) → 0 = 1)
11	3, 10	mto 663	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)
12		r19.41v 2643	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0))
13	11, 12	mtbi 671	. . . . 5 ⊢ ¬ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)
14	13	biantru 302	. . . 4 ⊢ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ∧ ¬ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)))
15		df-xor 1386	. . . 4 ⊢ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0) ↔ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ∧ ¬ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)))
16	14, 15	bitr4i 187	. . 3 ⊢ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))
17	16	ralbii 2493	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))
18	1, 17	bitri 184	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 978   = wceq 1363   ⊻ wxo 1385   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465  ∃wrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  ℝcr 7823  0cc0 7824  1c1 7825   · cmul 7829   < clt 8005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-xor 1386  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643

This theorem is referenced by: (None)