Theorem trirec0xor 16757

Description: Version of trirec0 16756 with exclusive-or.

The definition of a discrete field is sometimes stated in terms of exclusive-or but as proved here, this is equivalent to inclusive-or because the two disjuncts cannot be simultaneously true. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
trirec0xor	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem trirec0xor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trirec0 16756	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
2		1ne0 9254	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
3	2	nesymi 2449	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 = 1
4		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
5	4	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥 · 𝑧) = (0 · 𝑧))
6		mul02lem2 8610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (0 · 𝑧) = 0)
7	5, 6	sylan9eqr 2286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)) → (𝑥 · 𝑧) = 0)
8		simprl 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)) → (𝑥 · 𝑧) = 1)
9	7, 8	eqtr3d 2266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)) → 0 = 1)
10	9	rexlimiva 2646	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) → 0 = 1)
11	3, 10	mto 668	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)
12		r19.41v 2690	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0))
13	11, 12	mtbi 677	. . . . 5 ⊢ ¬ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)
14	13	biantru 302	. . . 4 ⊢ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ∧ ¬ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)))
15		df-xor 1421	. . . 4 ⊢ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0) ↔ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ∧ ¬ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)))
16	14, 15	bitr4i 187	. . 3 ⊢ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))
17	16	ralbii 2539	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))
18	1, 17	bitri 184	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ⊻ wxo 1420   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   · cmul 8080   < clt 8257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896

This theorem is referenced by: (None)