Theorem trirec0xor 15535

Description: Version of trirec0 15534 with exclusive-or.

The definition of a discrete field is sometimes stated in terms of exclusive-or but as proved here, this is equivalent to inclusive-or because the two disjuncts cannot be simultaneously true. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
trirec0xor	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem trirec0xor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trirec0 15534	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
2		1ne0 9050	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
3	2	nesymi 2410	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 = 1
4		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
5	4	oveq1d 5933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥 · 𝑧) = (0 · 𝑧))
6		mul02lem2 8407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (0 · 𝑧) = 0)
7	5, 6	sylan9eqr 2248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)) → (𝑥 · 𝑧) = 0)
8		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)) → (𝑥 · 𝑧) = 1)
9	7, 8	eqtr3d 2228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)) → 0 = 1)
10	9	rexlimiva 2606	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) → 0 = 1)
11	3, 10	mto 663	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)
12		r19.41v 2650	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0))
13	11, 12	mtbi 671	. . . . 5 ⊢ ¬ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)
14	13	biantru 302	. . . 4 ⊢ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ∧ ¬ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)))
15		df-xor 1387	. . . 4 ⊢ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0) ↔ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ∧ ¬ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)))
16	14, 15	bitr4i 187	. . 3 ⊢ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))
17	16	ralbii 2500	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))
18	1, 17	bitri 184	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ⊻ wxo 1386   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   · cmul 7877   < clt 8054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692

This theorem is referenced by: (None)