Theorem trirec0xor 14878

Description: Version of trirec0 14877 with exclusive-or.

The definition of a discrete field is sometimes stated in terms of exclusive-or but as proved here, this is equivalent to inclusive-or because the two disjuncts cannot be simultaneously true. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
trirec0xor	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem trirec0xor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trirec0 14877	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
2		1ne0 8989	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
3	2	nesymi 2393	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 = 1
4		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
5	4	oveq1d 5892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥 · 𝑧) = (0 · 𝑧))
6		mul02lem2 8347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (0 · 𝑧) = 0)
7	5, 6	sylan9eqr 2232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)) → (𝑥 · 𝑧) = 0)
8		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)) → (𝑥 · 𝑧) = 1)
9	7, 8	eqtr3d 2212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)) → 0 = 1)
10	9	rexlimiva 2589	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) → 0 = 1)
11	3, 10	mto 662	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)
12		r19.41v 2633	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0))
13	11, 12	mtbi 670	. . . . 5 ⊢ ¬ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)
14	13	biantru 302	. . . 4 ⊢ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ∧ ¬ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)))
15		df-xor 1376	. . . 4 ⊢ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0) ↔ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ∧ ¬ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∧ 𝑥 = 0)))
16	14, 15	bitr4i 187	. . 3 ⊢ ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))
17	16	ralbii 2483	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))
18	1, 17	bitri 184	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ⊻ 𝑥 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∨ w3o 977   = wceq 1353   ⊻ wxo 1375   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  ℝcr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   · cmul 7818   < clt 7994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632

This theorem is referenced by: (None)