Theorem maxleast 10825

Description: The maximum of two reals is a least upper bound. Lemma 3.11 of [Geuvers], p. 10. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
maxleast	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)

Proof of Theorem maxleast

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioran 710	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐶 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵))
2		simp3 951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		lttri3 7715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4	3	adantl 273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5		maxabslemval 10820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
6		3anass 934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)) ↔ ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))))
7	5, 6	sylib 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))))
8		breq1 3878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦))
9	8	notbid 633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦))
10	9	ralbidv 2396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦))
11		breq2 3879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)))
12	11	imbi1d 230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
13	12	ralbidv 2396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
14	10, 13	anbi12d 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ((∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))))
15	14	rspcev 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
16	7, 15	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
17	16	3adant3 969	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
18	4, 17	suplubti 6802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 < 𝑧))
19	2, 18	mpand 423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 < 𝑧))
20		elpri 3497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑧 = 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵))
21	20	adantr 272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝑧 = 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵))
22		breq2 3879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐶 < 𝑧 ↔ 𝐶 < 𝐴))
23	22	biimpcd 158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 < 𝑧 → (𝑧 = 𝐴 → 𝐶 < 𝐴))
24	23	adantl 273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝑧 = 𝐴 → 𝐶 < 𝐴))
25		breq2 3879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐶 < 𝑧 ↔ 𝐶 < 𝐵))
26	25	biimpcd 158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 < 𝑧 → (𝑧 = 𝐵 → 𝐶 < 𝐵))
27	26	adantl 273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝑧 = 𝐵 → 𝐶 < 𝐵))
28	24, 27	orim12d 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → ((𝑧 = 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
29	21, 28	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵))
30	29	rexlimiva 2503	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 < 𝑧 → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵))
31	19, 30	syl6 33	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
32	31	con3d 601	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))
33	1, 32	syl5bir 152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐶 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))
34		simp1 949	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
35	34, 2	lenltd 7751	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
36		simp2 950	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36, 2	lenltd 7751	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
38	35, 37	anbi12d 460	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ (¬ 𝐶 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)))
39	4, 17	supclti 6800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40	39, 2	lenltd 7751	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))
41	33, 38, 40	3imtr4d 202	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶))
42	41	imp 123	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 670   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  ∀wral 2375  ∃wrex 2376  {cpr 3475   class class class wbr 3875  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  supcsup 6784  ℝcr 7499   + caddc 7503   < clt 7672   ≤ cle 7673   − cmin 7804   / cdiv 8293  2c2 8629  abscabs 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-sup 6786  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611

This theorem is referenced by:  maxleastb  10826  dfabsmax  10829