Theorem maxleast 11206

Description: The maximum of two reals is a least upper bound. Lemma 3.11 of [Geuvers], p. 10. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
maxleast	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)

Proof of Theorem maxleast

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioran 752	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐶 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵))
2		simp3 999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		lttri3 8027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5		maxabslemval 11201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
6		3anass 982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)) ↔ ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))))
7	5, 6	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))))
8		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦))
9	8	notbid 667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦))
10	9	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦))
11		breq2 4004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)))
12	11	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
13	12	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
14	10, 13	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ((∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))))
15	14	rspcev 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
16	7, 15	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
17	16	3adant3 1017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
18	4, 17	suplubti 6993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 < 𝑧))
19	2, 18	mpand 429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 < 𝑧))
20		elpri 3614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑧 = 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵))
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝑧 = 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵))
22		breq2 4004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐶 < 𝑧 ↔ 𝐶 < 𝐴))
23	22	biimpcd 159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 < 𝑧 → (𝑧 = 𝐴 → 𝐶 < 𝐴))
24	23	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝑧 = 𝐴 → 𝐶 < 𝐴))
25		breq2 4004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐶 < 𝑧 ↔ 𝐶 < 𝐵))
26	25	biimpcd 159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 < 𝑧 → (𝑧 = 𝐵 → 𝐶 < 𝐵))
27	26	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝑧 = 𝐵 → 𝐶 < 𝐵))
28	24, 27	orim12d 786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → ((𝑧 = 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
29	21, 28	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵))
30	29	rexlimiva 2589	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 < 𝑧 → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵))
31	19, 30	syl6 33	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
32	31	con3d 631	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))
33	1, 32	biimtrrid 153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐶 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))
34		simp1 997	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
35	34, 2	lenltd 8065	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
36		simp2 998	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36, 2	lenltd 8065	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
38	35, 37	anbi12d 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ (¬ 𝐶 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)))
39	4, 17	supclti 6991	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40	39, 2	lenltd 8065	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))
41	33, 38, 40	3imtr4d 203	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶))
42	41	imp 124	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  {cpr 3592   class class class wbr 4000  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  supcsup 6975  ℝcr 7801   + caddc 7805   < clt 7982   ≤ cle 7983   − cmin 8118   / cdiv 8618  2c2 8959  abscabs 10990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992

This theorem is referenced by:  maxleastb  11207  dfabsmax  11210