Theorem maxleast 11222

Description: The maximum of two reals is a least upper bound. Lemma 3.11 of [Geuvers], p. 10. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
maxleast	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)

Proof of Theorem maxleast

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioran 752	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐶 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵))
2		simp3 999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		lttri3 8037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5		maxabslemval 11217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
6		3anass 982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)) ↔ ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))))
7	5, 6	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))))
8		breq1 4007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦))
9	8	notbid 667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦))
10	9	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦))
11		breq2 4008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)))
12	11	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
13	12	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
14	10, 13	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ((∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))))
15	14	rspcev 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
16	7, 15	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
17	16	3adant3 1017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
18	4, 17	suplubti 6999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 < 𝑧))
19	2, 18	mpand 429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 < 𝑧))
20		elpri 3616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑧 = 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵))
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝑧 = 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵))
22		breq2 4008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐶 < 𝑧 ↔ 𝐶 < 𝐴))
23	22	biimpcd 159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 < 𝑧 → (𝑧 = 𝐴 → 𝐶 < 𝐴))
24	23	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝑧 = 𝐴 → 𝐶 < 𝐴))
25		breq2 4008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐶 < 𝑧 ↔ 𝐶 < 𝐵))
26	25	biimpcd 159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 < 𝑧 → (𝑧 = 𝐵 → 𝐶 < 𝐵))
27	26	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝑧 = 𝐵 → 𝐶 < 𝐵))
28	24, 27	orim12d 786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → ((𝑧 = 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
29	21, 28	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵))
30	29	rexlimiva 2589	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 < 𝑧 → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵))
31	19, 30	syl6 33	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
32	31	con3d 631	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))
33	1, 32	biimtrrid 153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐶 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))
34		simp1 997	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
35	34, 2	lenltd 8075	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
36		simp2 998	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36, 2	lenltd 8075	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
38	35, 37	anbi12d 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ (¬ 𝐶 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)))
39	4, 17	supclti 6997	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40	39, 2	lenltd 8075	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))
41	33, 38, 40	3imtr4d 203	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶))
42	41	imp 124	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  {cpr 3594   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  supcsup 6981  ℝcr 7810   + caddc 7814   < clt 7992   ≤ cle 7993   − cmin 8128   / cdiv 8629  2c2 8970  abscabs 11006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008

This theorem is referenced by:  maxleastb  11223  dfabsmax  11226