Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  neipsm GIF version

Theorem neipsm 12339
 Description: A neighborhood of a set is a neighborhood of every point in the set. Proposition 1 of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Mar-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neipsm ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
Distinct variable groups:   𝐽,𝑝   𝑁,𝑝   𝑆,𝑝   𝑋,𝑝   𝑥,𝑝,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem neipsm
Dummy variables 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 3664 . . . . . 6 (𝑝𝑆 → {𝑝} ⊆ 𝑆)
2 neiss 12335 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ {𝑝} ⊆ 𝑆) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}))
31, 2syl3an3 1251 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑝𝑆) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}))
433exp 1180 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → (𝑝𝑆𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}))))
54ralrimdv 2511 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
653ad2ant1 1002 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
7 eleq1w 2200 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑆𝑥𝑆))
87cbvexv 1890 . . . . . 6 (∃𝑝 𝑝𝑆 ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
9 r19.28mv 3455 . . . . . 6 (∃𝑝 𝑝𝑆 → (∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
108, 9sylbir 134 . . . . 5 (∃𝑥 𝑥𝑆 → (∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
11103ad2ant3 1004 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆) → (∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
12 ssrab2 3182 . . . . . . . . . 10 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝐽
13 uniopn 12184 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝐽) → {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽)
1412, 13mpan2 421 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top → {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽)
1514ad2antrr 479 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽)
16 sseq1 3120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑔 → (𝑣𝑁𝑔𝑁))
1716elrab 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ↔ (𝑔𝐽𝑔𝑁))
18 elunii 3741 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝𝑔𝑔 ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁}) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
1917, 18sylan2br 286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝𝑔 ∧ (𝑔𝐽𝑔𝑁)) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
2019an12s 554 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔𝐽 ∧ (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
2120rexlimiva 2544 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
2221ralimi 2495 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → ∀𝑝𝑆 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
23 dfss3 3087 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ↔ ∀𝑝𝑆 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
2422, 23sylibr 133 . . . . . . . . . 10 (∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → 𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
2524adantl 275 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → 𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
26 unissb 3766 . . . . . . . . . 10 ( {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁 ↔ ∀ ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁}𝑁)
27 sseq1 3120 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = → (𝑣𝑁𝑁))
2827elrab 2840 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ↔ (𝐽𝑁))
2928simprbi 273 . . . . . . . . . 10 ( ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁} → 𝑁)
3026, 29mprgbir 2490 . . . . . . . . 9 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁
3125, 30jctir 311 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁))
32 sseq2 3121 . . . . . . . . . 10 ( = {𝑣𝐽𝑣𝑁} → (𝑆𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁}))
33 sseq1 3120 . . . . . . . . . 10 ( = {𝑣𝐽𝑣𝑁} → (𝑁 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁))
3432, 33anbi12d 464 . . . . . . . . 9 ( = {𝑣𝐽𝑣𝑁} → ((𝑆𝑁) ↔ (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁)))
3534rspcev 2789 . . . . . . . 8 (( {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁)) → ∃𝐽 (𝑆𝑁))
3615, 31, 35syl2anc 408 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → ∃𝐽 (𝑆𝑁))
3736ex 114 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → ∃𝐽 (𝑆𝑁)))
3837anim2d 335 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
39383adant3 1001 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆) → ((𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
4011, 39sylbid 149 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆) → (∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
41 ssel2 3092 . . . . . . 7 ((𝑆𝑋𝑝𝑆) → 𝑝𝑋)
42 neips.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
4342isneip 12331 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑝𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4441, 43sylan2 284 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑝𝑆)) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4544anassrs 397 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑝𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4645ralbidva 2433 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ ∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
47463adant3 1001 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆) → (∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ ∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4842isnei 12329 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
49483adant3 1001 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
5040, 47, 493imtr4d 202 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆) → (∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
516, 50impbid 128 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  {crab 2420   ⊆ wss 3071  {csn 3527  ∪ cuni 3736  ‘cfv 5123  Topctop 12180  neicnei 12323 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-top 12181  df-nei 12324 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator