Theorem 0dvds 12395

Description: Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem 0dvds

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9495	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		divides 12373	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁))
3	1, 2	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁))
4		zcn 9489	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
5	4	mul01d 8577	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 0) = 0)
6		eqtr2 2249	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 · 0) = 𝑁 ∧ (𝑛 · 0) = 0) → 𝑁 = 0)
7	5, 6	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 · 0) = 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
8	7	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 0) = 𝑁) → 𝑁 = 0)
9	8	rexlimiva 2644	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁 → 𝑁 = 0)
10	3, 9	biimtrdi 163	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 → 𝑁 = 0))
11		dvds0 12390	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
12	1, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ∥ 0
13		breq2 4093	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 0))
14	12, 13	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ∥ 𝑁)
15	10, 14	impbid1 142	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∃wrex 2510   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  0cc0 8037   · cmul 8042  ℤcz 9484   ∥ cdvds 12371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-setind 4637  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-sub 8357  df-neg 8358  df-z 9485  df-dvds 12372

This theorem is referenced by:  zdvdsdc  12396  fsumdvds  12426  dvdsabseq  12431  bezoutlemle  12602  dfgcd3  12604  dfgcd2  12608  dvdssq  12625  rpdvds  12694  pcdvdstr  12923  pc2dvds  12926  znf1o  14689