Theorem 0dvds 12166

Description: Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem 0dvds

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9390	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		divides 12144	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁))
3	1, 2	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁))
4		zcn 9384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
5	4	mul01d 8472	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 0) = 0)
6		eqtr2 2225	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 · 0) = 𝑁 ∧ (𝑛 · 0) = 0) → 𝑁 = 0)
7	5, 6	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 · 0) = 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
8	7	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 0) = 𝑁) → 𝑁 = 0)
9	8	rexlimiva 2619	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁 → 𝑁 = 0)
10	3, 9	biimtrdi 163	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 → 𝑁 = 0))
11		dvds0 12161	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
12	1, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ∥ 0
13		breq2 4051	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 0))
14	12, 13	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ∥ 𝑁)
15	10, 14	impbid1 142	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951  0cc0 7932   · cmul 7937  ℤcz 9379   ∥ cdvds 12142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-setind 4589  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-sub 8252  df-neg 8253  df-z 9380  df-dvds 12143

This theorem is referenced by:  zdvdsdc  12167  fsumdvds  12197  dvdsabseq  12202  bezoutlemle  12373  dfgcd3  12375  dfgcd2  12379  dvdssq  12396  rpdvds  12465  pcdvdstr  12694  pc2dvds  12697  znf1o  14457