ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0dvds GIF version

Theorem 0dvds 12374
Description: Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
0dvds (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))

Proof of Theorem 0dvds
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 9490 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 divides 12352 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁))
31, 2mpan 424 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁))
4 zcn 9484 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
54mul01d 8572 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 0) = 0)
6 eqtr2 2250 . . . . . 6 (((𝑛 · 0) = 𝑁 ∧ (𝑛 · 0) = 0) → 𝑁 = 0)
75, 6sylan2 286 . . . . 5 (((𝑛 · 0) = 𝑁𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
87ancoms 268 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 0) = 𝑁) → 𝑁 = 0)
98rexlimiva 2645 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁𝑁 = 0)
103, 9biimtrdi 163 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
11 dvds0 12369 . . . 4 (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
121, 11ax-mp 5 . . 3 0 ∥ 0
13 breq2 4092 . . 3 (𝑁 = 0 → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 0))
1412, 13mpbiri 168 . 2 (𝑁 = 0 → 0 ∥ 𝑁)
1510, 14impbid1 142 1 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1397  wcel 2202  wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  0cc0 8032   · cmul 8037  cz 9479  cdvds 12350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-sub 8352  df-neg 8353  df-z 9480  df-dvds 12351
This theorem is referenced by:  zdvdsdc  12375  fsumdvds  12405  dvdsabseq  12410  bezoutlemle  12581  dfgcd3  12583  dfgcd2  12587  dvdssq  12604  rpdvds  12673  pcdvdstr  12902  pc2dvds  12905  znf1o  14668
  Copyright terms: Public domain W3C validator