ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0dvds GIF version

Theorem 0dvds 11440
Description: Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
0dvds (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))

Proof of Theorem 0dvds
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 9033 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 divides 11422 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁))
31, 2mpan 420 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁))
4 zcn 9027 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
54mul01d 8123 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 0) = 0)
6 eqtr2 2136 . . . . . 6 (((𝑛 · 0) = 𝑁 ∧ (𝑛 · 0) = 0) → 𝑁 = 0)
75, 6sylan2 284 . . . . 5 (((𝑛 · 0) = 𝑁𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
87ancoms 266 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 0) = 𝑁) → 𝑁 = 0)
98rexlimiva 2521 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁𝑁 = 0)
103, 9syl6bi 162 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
11 dvds0 11435 . . . 4 (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
121, 11ax-mp 5 . . 3 0 ∥ 0
13 breq2 3903 . . 3 (𝑁 = 0 → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 0))
1412, 13mpbiri 167 . 2 (𝑁 = 0 → 0 ∥ 𝑁)
1510, 14impbid1 141 1 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  wrex 2394   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  0cc0 7588   · cmul 7593  cz 9022  cdvds 11420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-setind 4422  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sub 7903  df-neg 7904  df-z 9023  df-dvds 11421
This theorem is referenced by:  zdvdsdc  11441  dvdsabseq  11472  bezoutlemle  11623  dfgcd3  11625  dfgcd2  11629  dvdssq  11646  rpdvds  11707
  Copyright terms: Public domain W3C validator