Theorem divalglemnn 12663

Description: Lemma for divalg 12669. Existence for a positive denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divalglemnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalglemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodcl 10759	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9745	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ)
3		znq 10003	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℚ)
4	3	flqcld 10690	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ)
5	1	nn0ge0d 9602	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑁 mod 𝐷))
6		zq 10005	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
8		nnq 10012	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℚ)
9	8	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℚ)
10		nngt0 9308	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 0 < 𝐷)
11	10	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 < 𝐷)
12		modqlt 10748	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
14		nnre 9290	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
16		0red 8317	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
17	16, 15, 11	ltled 8435	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐷)
18	15, 17	absidd 11911	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (abs‘𝐷) = 𝐷)
19	13, 18	breqtrrd 4153	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷))
20	1	nn0cnd 9601	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℂ)
21	4	zcnd 9748	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℂ)
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℕ)
23	22	nncnd 9297	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
24	21, 23	mulcld 8336	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) ∈ ℂ)
25		modqvalr 10740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
26	7, 9, 11, 25	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
27	26	oveq1d 6090	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐷) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) = ((𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
28		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
29	28	zcnd 9748	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
30	29, 24	npcand 8631	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) = 𝑁)
31	27, 30	eqtr2d 2272	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 = ((𝑁 mod 𝐷) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
32	20, 24, 31	comraddd 8473	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))
33		breq2 4129	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → (0 ≤ 𝑟 ↔ 0 ≤ (𝑁 mod 𝐷)))
34		breq1 4128	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑟 < (abs‘𝐷) ↔ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷)))
35		oveq2 6083	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))
36	35	eqeq2d 2250	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷))))
37	33, 34, 36	3anbi123d 1353	. . 3 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))))
38		oveq1 6082	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → (𝑞 · 𝐷) = ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷))
39	38	oveq1d 6090	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)) = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))
40	39	eqeq2d 2250	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)) ↔ 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷))))
41	40	3anbi3d 1359	. . 3 ⊢ (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → ((0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))))
42	37, 41	rspc2ev 2945	. 2 ⊢ (((𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ ∧ (0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
43	2, 4, 5, 19, 32, 42	syl113anc 1290	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℝcr 8168  0cc0 8169   + caddc 8172   · cmul 8174   < clt 8350   ≤ cle 8351   − cmin 8487   / cdiv 8992  ℕcn 9283  ℤcz 9623  ℚcq 9998  ⌊cfl 10681   mod cmo 10737  abscabs 11741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743

This theorem is referenced by:  divalglemeunn  12666  divalglemex  12667