ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divalglemnn GIF version

Theorem divalglemnn 11923
Description: Lemma for divalg 11929. Existence for a positive denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalglemnn ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘ž,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ

Proof of Theorem divalglemnn
StepHypRef Expression
1 zmodcl 10344 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ โ„•0)
21nn0zd 9373 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ โ„ค)
3 znq 9624 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / ๐ท) โˆˆ โ„š)
43flqcld 10277 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
51nn0ge0d 9232 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ mod ๐ท))
6 zq 9626 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
76adantr 276 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
8 nnq 9633 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„š)
98adantl 277 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„š)
10 nngt0 8944 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐ท)
1110adantl 277 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐ท)
12 modqlt 10333 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐ท โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ท) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) < ๐ท)
137, 9, 11, 12syl3anc 1238 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) < ๐ท)
14 nnre 8926 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
1514adantl 277 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
16 0red 7958 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
1716, 15, 11ltled 8076 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
1815, 17absidd 11176 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜๐ท) = ๐ท)
1913, 18breqtrrd 4032 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) < (absโ€˜๐ท))
201nn0cnd 9231 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) โˆˆ โ„‚)
214zcnd 9376 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
22 simpr 110 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
2322nncnd 8933 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2421, 23mulcld 7978 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
25 modqvalr 10325 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐ท โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ท) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท)))
267, 9, 11, 25syl3anc 1238 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท)))
2726oveq1d 5890 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod ๐ท) + ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท)) = ((๐‘ โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท)) + ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท)))
28 simpl 109 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2928zcnd 9376 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3029, 24npcand 8272 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท)) + ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท)) = ๐‘)
3127, 30eqtr2d 2211 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ = ((๐‘ mod ๐ท) + ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท)))
3220, 24, 31comraddd 8114 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ = (((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท) + (๐‘ mod ๐ท)))
33 breq2 4008 . . . 4 (๐‘Ÿ = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โ†” 0 โ‰ค (๐‘ mod ๐ท)))
34 breq1 4007 . . . 4 (๐‘Ÿ = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โ†” (๐‘ mod ๐ท) < (absโ€˜๐ท)))
35 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘Ÿ = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + (๐‘ mod ๐ท)))
3635eqeq2d 2189 . . . 4 (๐‘Ÿ = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ (๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + (๐‘ mod ๐ท))))
3733, 34, 363anbi123d 1312 . . 3 (๐‘Ÿ = (๐‘ mod ๐ท) โ†’ ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” (0 โ‰ค (๐‘ mod ๐ท) โˆง (๐‘ mod ๐ท) < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + (๐‘ mod ๐ท)))))
38 oveq1 5882 . . . . . 6 (๐‘ž = (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท))
3938oveq1d 5890 . . . . 5 (๐‘ž = (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) + (๐‘ mod ๐ท)) = (((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท) + (๐‘ mod ๐ท)))
4039eqeq2d 2189 . . . 4 (๐‘ž = (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) โ†’ (๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + (๐‘ mod ๐ท)) โ†” ๐‘ = (((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท) + (๐‘ mod ๐ท))))
41403anbi3d 1318 . . 3 (๐‘ž = (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) โ†’ ((0 โ‰ค (๐‘ mod ๐ท) โˆง (๐‘ mod ๐ท) < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + (๐‘ mod ๐ท))) โ†” (0 โ‰ค (๐‘ mod ๐ท) โˆง (๐‘ mod ๐ท) < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = (((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท) + (๐‘ mod ๐ท)))))
4237, 41rspc2ev 2857 . 2 (((๐‘ mod ๐ท) โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค (๐‘ mod ๐ท) โˆง (๐‘ mod ๐ท) < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = (((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐ท)) ยท ๐ท) + (๐‘ mod ๐ท)))) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
432, 4, 5, 19, 32, 42syl113anc 1250 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„cr 7810  0cc0 7811   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993   โˆ’ cmin 8128   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  โ„คcz 9253  โ„šcq 9619  โŒŠcfl 10268   mod cmo 10322  abscabs 11006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008
This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11926  divalglemex  11927
  Copyright terms: Public domain W3C validator