Theorem divalglemnn 12083

Description: Lemma for divalg 12089. Existence for a positive denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divalglemnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalglemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodcl 10436	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9446	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ)
3		znq 9698	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℚ)
4	3	flqcld 10367	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ)
5	1	nn0ge0d 9305	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑁 mod 𝐷))
6		zq 9700	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
8		nnq 9707	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℚ)
9	8	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℚ)
10		nngt0 9015	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 0 < 𝐷)
11	10	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 < 𝐷)
12		modqlt 10425	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
14		nnre 8997	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
16		0red 8027	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
17	16, 15, 11	ltled 8145	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐷)
18	15, 17	absidd 11332	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (abs‘𝐷) = 𝐷)
19	13, 18	breqtrrd 4061	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷))
20	1	nn0cnd 9304	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℂ)
21	4	zcnd 9449	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℂ)
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℕ)
23	22	nncnd 9004	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
24	21, 23	mulcld 8047	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) ∈ ℂ)
25		modqvalr 10417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
26	7, 9, 11, 25	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
27	26	oveq1d 5937	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐷) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) = ((𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
28		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
29	28	zcnd 9449	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
30	29, 24	npcand 8341	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) = 𝑁)
31	27, 30	eqtr2d 2230	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 = ((𝑁 mod 𝐷) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
32	20, 24, 31	comraddd 8183	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))
33		breq2 4037	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → (0 ≤ 𝑟 ↔ 0 ≤ (𝑁 mod 𝐷)))
34		breq1 4036	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑟 < (abs‘𝐷) ↔ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷)))
35		oveq2 5930	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))
36	35	eqeq2d 2208	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷))))
37	33, 34, 36	3anbi123d 1323	. . 3 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))))
38		oveq1 5929	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → (𝑞 · 𝐷) = ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷))
39	38	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)) = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))
40	39	eqeq2d 2208	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)) ↔ 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷))))
41	40	3anbi3d 1329	. . 3 ⊢ (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → ((0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))))
42	37, 41	rspc2ev 2883	. 2 ⊢ (((𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ ∧ (0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
43	2, 4, 5, 19, 32, 42	syl113anc 1261	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  0cc0 7879   + caddc 7882   · cmul 7884   < clt 8061   ≤ cle 8062   − cmin 8197   / cdiv 8699  ℕcn 8990  ℤcz 9326  ℚcq 9693  ⌊cfl 10358   mod cmo 10414  abscabs 11162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164

This theorem is referenced by:  divalglemeunn  12086  divalglemex  12087