ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divalglemnn GIF version

Theorem divalglemnn 11626
Description: Lemma for divalg 11632. Existence for a positive denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalglemnn ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalglemnn
StepHypRef Expression
1 zmodcl 10129 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0)
21nn0zd 9183 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ)
3 znq 9428 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℚ)
43flqcld 10062 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ)
51nn0ge0d 9045 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑁 mod 𝐷))
6 zq 9430 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
76adantr 274 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
8 nnq 9437 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℚ)
98adantl 275 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℚ)
10 nngt0 8757 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℕ → 0 < 𝐷)
1110adantl 275 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 < 𝐷)
12 modqlt 10118 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
137, 9, 11, 12syl3anc 1216 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
14 nnre 8739 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
1514adantl 275 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
16 0red 7779 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
1716, 15, 11ltled 7893 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐷)
1815, 17absidd 10951 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (abs‘𝐷) = 𝐷)
1913, 18breqtrrd 3956 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷))
201nn0cnd 9044 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℂ)
214zcnd 9186 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℂ)
22 simpr 109 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℕ)
2322nncnd 8746 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
2421, 23mulcld 7798 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) ∈ ℂ)
25 modqvalr 10110 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
267, 9, 11, 25syl3anc 1216 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
2726oveq1d 5789 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐷) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) = ((𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
28 simpl 108 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2928zcnd 9186 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3029, 24npcand 8089 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) = 𝑁)
3127, 30eqtr2d 2173 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 = ((𝑁 mod 𝐷) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
3220, 24, 31comraddd 7931 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))
33 breq2 3933 . . . 4 (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → (0 ≤ 𝑟 ↔ 0 ≤ (𝑁 mod 𝐷)))
34 breq1 3932 . . . 4 (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑟 < (abs‘𝐷) ↔ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷)))
35 oveq2 5782 . . . . 5 (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))
3635eqeq2d 2151 . . . 4 (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷))))
3733, 34, 363anbi123d 1290 . . 3 (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))))
38 oveq1 5781 . . . . . 6 (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → (𝑞 · 𝐷) = ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷))
3938oveq1d 5789 . . . . 5 (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)) = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))
4039eqeq2d 2151 . . . 4 (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)) ↔ 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷))))
41403anbi3d 1296 . . 3 (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → ((0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))))
4237, 41rspc2ev 2804 . 2 (((𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ ∧ (0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
432, 4, 5, 19, 32, 42syl113anc 1228 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  wrex 2417   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cr 7631  0cc0 7632   + caddc 7635   · cmul 7637   < clt 7812  cle 7813  cmin 7945   / cdiv 8444  cn 8732  cz 9066  cq 9423  cfl 10053   mod cmo 10107  abscabs 10781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fl 10055  df-mod 10108  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783
This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11629  divalglemex  11630
  Copyright terms: Public domain W3C validator