ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmettxlem GIF version
Theorem xmettxlem 14048
Description: Lemma for xmettx 14049. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetxp.p 𝑃 = (𝑒 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ), 𝑣 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ sup({((1st β€˜π‘’)𝑀(1st β€˜π‘£)), ((2nd β€˜π‘’)𝑁(2nd β€˜π‘£))}, ℝ*, < ))
xmetxp.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
xmetxp.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
xmettx.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘€)
xmettx.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜π‘)
xmettx.l 𝐿 = (MetOpenβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
xmettxlem (πœ‘ β†’ 𝐿 βŠ† (𝐽 Γ—t 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑀,𝑣   𝑒,𝑁,𝑣   𝑒,𝑋,𝑣   𝑒,π‘Œ,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒)   𝑃(𝑣,𝑒)   𝐽(𝑣,𝑒)   𝐾(𝑣,𝑒)   𝐿(𝑣,𝑒)
Proof of Theorem xmettxlem
Dummy variables 𝑝 π‘Ÿ 𝑠 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetxp.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑒 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ), 𝑣 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ sup({((1st β€˜π‘’)𝑀(1st β€˜π‘£)), ((2nd β€˜π‘’)𝑁(2nd β€˜π‘£))}, ℝ*, < ))
2 xmetxp.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 xmetxp.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
41, 2, 3xmetxp 14046 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
5 blrn 13951 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)))
64, 5syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)))
76biimpa 296 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝))
8 xmettx.j . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘€)
98mopntop 13983 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
102, 9syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
11 xmettx.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = (MetOpenβ€˜π‘)
1211mopntop 13983 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
133, 12syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
14 mpoexga 6215 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V)
1510, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V)
16 rnexg 4894 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V β†’ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V)
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V)
1817ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V)
19 bastg 13600 . . . . . . . . . 10 (ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V β†’ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) βŠ† (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
2018, 19syl 14 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) βŠ† (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
212ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
22 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
23 xp1st 6168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ 𝑋)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ 𝑋)
25 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ*)
268blopn 14029 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ ℝ*) β†’ ((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘€)𝑝) ∈ 𝐽)
2721, 24, 25, 26syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ ((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘€)𝑝) ∈ 𝐽)
283ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
29 xp2nd 6169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ π‘Œ)
3022, 29syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ π‘Œ)
3111blopn 14029 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ ℝ*) β†’ ((2nd β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘)𝑝) ∈ 𝐾)
3228, 30, 25, 31syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ ((2nd β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘)𝑝) ∈ 𝐾)
33 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝))
341, 21, 28, 25, 22xmetxpbl 14047 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝) = (((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘€)𝑝) Γ— ((2nd β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘)𝑝)))
3533, 34eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ 𝑀 = (((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘€)𝑝) Γ— ((2nd β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘)𝑝)))
36 xpeq1 4642 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = ((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘€)𝑝) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘€)𝑝) Γ— 𝑠))
3736eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = ((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘€)𝑝) β†’ (𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ↔ 𝑀 = (((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘€)𝑝) Γ— 𝑠)))
38 xpeq2 4643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = ((2nd β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘)𝑝) β†’ (((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘€)𝑝) Γ— 𝑠) = (((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘€)𝑝) Γ— ((2nd β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘)𝑝)))
3938eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = ((2nd β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘)𝑝) β†’ (𝑀 = (((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘€)𝑝) Γ— 𝑠) ↔ 𝑀 = (((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘€)𝑝) Γ— ((2nd β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘)𝑝))))
4037, 39rspc2ev 2858 . . . . . . . . . . 11 ((((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘€)𝑝) ∈ 𝐽 ∧ ((2nd β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘)𝑝) ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 = (((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘€)𝑝) Γ— ((2nd β€˜π‘§)(ballβ€˜π‘)𝑝))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
4127, 32, 35, 40syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
42 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
4342elrnmpog 5989 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ V β†’ (𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))
4443elv 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
4541, 44sylibr 134 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))
4620, 45sseldd 3158 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝)) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
4746ex 115 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ ℝ*)) β†’ (𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))))
4847rexlimdvva 2602 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑀 = (𝑧(ballβ€˜π‘ƒ)𝑝) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))))
497, 48mpd 13 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
5049ex 115 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ ran (ballβ€˜π‘ƒ) β†’ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))))
5150ssrdv 3163 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (ballβ€˜π‘ƒ) βŠ† (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
52 blex 13926 . . . . 5 (𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
53 rnexg 4894 . . . . 5 ((ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V β†’ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
544, 52, 533syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
55 tgss3 13617 . . . 4 ((ran (ballβ€˜π‘ƒ) ∈ V ∧ ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V) β†’ ((topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ↔ ran (ballβ€˜π‘ƒ) βŠ† (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))))
5654, 17, 55syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) ↔ ran (ballβ€˜π‘ƒ) βŠ† (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))))
5751, 56mpbird 167 . 2 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
58 xmettx.l . . . 4 𝐿 = (MetOpenβ€˜π‘ƒ)
5958mopnval 13981 . . 3 (𝑃 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ 𝐿 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
604, 59syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐿 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘ƒ)))
61 eqid 2177 . . . 4 ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
6261txval 13794 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
6310, 13, 62syl2anc 411 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝐽, 𝑠 ∈ 𝐾 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
6457, 60, 633sstr4d 3202 1 (πœ‘ β†’ 𝐿 βŠ† (𝐽 Γ—t 𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆƒwrex 2456  Vcvv 2739   βŠ† wss 3131  {cpr 3595   Γ— cxp 4626  ran crn 4629  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   ∈ cmpo 5879  1st c1st 6141  2nd c2nd 6142  supcsup 6983  β„*cxr 7993   < clt 7994  topGenctg 12708  βˆžMetcxmet 13479  ballcbl 13481  MetOpencmopn 13484  Topctop 13536   Γ—t ctx 13791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-topgen 12714  df-psmet 13486  df-xmet 13487  df-bl 13489  df-mopn 13490  df-top 13537  df-topon 13550  df-bases 13582  df-tx 13792
This theorem is referenced by:  xmettx  14049
  Copyright terms: Public domain W3C validator