Theorem rspcev 2830

Description: Restricted existential specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspcev	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rspcev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1516	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		rspcv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	rspce 2825	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728

This theorem is referenced by:  rspceaimv  2838  rspc2ev  2845  rspc3ev  2847  rspceeqv  2848  reu6i  2917  rspesbca  3035  brralrspcev  4040  nn0suc  4581  elrnmpt1s  4854  elrnrexdm  5624  eldmrexrn  5626  foco2  5722  elabrex  5726  f1elima  5741  fcofo  5752  fliftfun  5764  fliftval  5768  f1oiso2  5795  fo1st  6125  fo2nd  6126  tfr0dm  6290  tfrlemisucaccv  6293  tfrlemi14d  6301  tfrexlem  6302  tfr1onlemsucaccv  6309  tfr1onlemres  6317  tfrcllemsucaccv  6322  tfrcllemres  6330  rdgss  6351  frecabcl  6367  nnaordex  6495  nnawordex  6496  ecelqsg  6554  snfig  6780  nnfi  6838  findcard  6854  fimax2gtrilemstep  6866  unsnfi  6884  eqsupti  6961  supmaxti  6969  supisoex  6974  infminti  6992  finomni  7104  isnumi  7138  oncardval  7142  archnqq  7358  prarloclemarch2  7360  prcdnql  7425  prcunqu  7426  prarloclemlo  7435  prarloclem5  7441  nqprm  7483  1idprl  7531  1idpru  7532  ltexpri  7554  prplnqu  7561  recexprlemm  7565  recexprlem1ssl  7574  recexprlem1ssu  7575  recexpr  7579  aptiprleml  7580  archpr  7584  cauappcvgprlemm  7586  cauappcvgprlemloc  7593  cauappcvgprlem1  7600  cauappcvgprlem2  7601  cauappcvgpr  7603  caucvgprlemm  7609  caucvgprlemloc  7616  caucvgprlem1  7620  caucvgprlem2  7621  caucvgpr  7623  caucvgprprlemmu  7636  caucvgprprlemopl  7638  caucvgprprlemopu  7640  caucvgprprlemloc  7644  caucvgprprlem1  7650  caucvgprprlem2  7651  caucvgprpr  7653  suplocexprlemmu  7659  suplocexprlemloc  7662  suplocexpr  7666  negexsr  7713  recexgt0sr  7714  caucvgsrlemgt1  7736  caucvgsrlemoffres  7741  suplocsrlem  7749  axrnegex  7820  axprecex  7821  nntopi  7835  axcaucvglemres  7840  axpre-suploclemres  7842  cnegex  8076  recexre  8476  recexap  8550  receuap  8566  sup3exmid  8852  cju  8856  nn2ge  8890  nominpos  9094  zdiv  9279  btwnz  9310  supinfneg  9533  infsupneg  9534  ublbneg  9551  lbzbi  9554  zq  9564  z2ge  9762  iccsupr  9902  exbtwnzlemstep  10183  exbtwnzlemex  10185  rebtwn2zlemstep  10188  rebtwn2z  10190  qbtwnre  10192  qbtwnxr  10193  expnbnd  10578  hashunlem  10717  shftlem  10758  shftfvalg  10760  shftfval  10763  caucvgre  10923  cvg1nlemres  10927  rexanuz  10930  rexuz3  10932  resqrexlemex  10967  caubnd2  11059  maxabslemval  11150  maxleast  11155  rexanre  11162  rexico  11163  fimaxre2  11168  minmax  11171  xrmaxiflemval  11191  xrmaxaddlem  11201  xrminmax  11206  climconst  11231  climshftlemg  11243  cn1lem  11255  serf0  11293  zsumdc  11325  fsum3  11328  fsum3cvg3  11337  mertenslemi1  11476  ntrivcvgap0  11490  zproddc  11520  fprodseq  11524  fprodntrivap  11525  dvdsval2  11730  dvds0lem  11741  dvds1lem  11742  dvds2lem  11743  odd2np1lem  11809  odd2np1  11810  opeo  11834  omeo  11835  divalglemex  11859  zsupcllemstep  11878  infssuzex  11882  suprzubdc  11885  zsupssdc  11887  bezoutlemnewy  11929  bezoutlemaz  11936  bezoutlembz  11937  bezoutlemsup  11942  nnwodc  11969  uzwodc  11970  ncoprmgcdne1b  12021  exprmfct  12070  reumodprminv  12185  modprm0  12186  nnnn0modprm0  12187  pythagtriplem19  12214  pcprmpw2  12264  pockthi  12288  infpnlem2  12290  ennnfonelemex  12347  ennnfonelemhom  12348  ennnfonelemrn  12352  ennnfonelemnn0  12355  ennnfonelemim  12357  exmidunben  12359  ctinfomlemom  12360  ctinfom  12361  ctinf  12363  ctiunctlemf  12371  ismgmid2  12611  mgmidsssn0  12615  fiinbas  12687  topbas  12707  clsval  12751  neiint  12785  neipsm  12794  opnneissb  12795  opnssneib  12796  innei  12803  restbasg  12808  lmconst  12856  iscnp4  12858  cncnpi  12868  cnconst2  12873  cnptoprest  12879  cnpdis  12882  neitx  12908  txcnp  12911  blssps  13067  blss  13068  blssexps  13069  blssex  13070  ssblex  13071  blin2  13072  neibl  13131  metss2  13138  bdmopn  13144  metrest  13146  metcnp3  13151  tgioo  13186  tgqioo  13187  addcncntoplem  13191  cnopnap  13234  dedekindeulemuub  13235  suplociccreex  13242  dedekindicclemuub  13244  ivthinclemlm  13252  ivthinclemum  13253  ivthinclemlopn  13254  ivthinclemuopn  13256  reeff1oleme  13333  sin0pilem2  13343  bj-nn0suc0  13832  bj-inf2vnlem1  13852  nninfsellemeq  13894  nninfomnilem  13898  qdencn  13906  trirec0  13923