ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txopn GIF version
Theorem txopn 13850
Description: The product of two open sets is open in the product topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
txopn (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
Proof of Theorem txopn
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . . . 6 ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
21txbasex 13842 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V)
3 bastg 13646 . . . . 5 (ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
42, 3syl 14 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
54adantr 276 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
6 eqid 2177 . . . . . 6 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)
7 xpeq1 4642 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝐴 β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) = (𝐴 Γ— 𝑣))
87eqeq2d 2189 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝐴 β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) = (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝑣)))
9 xpeq2 4643 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝐡 β†’ (𝐴 Γ— 𝑣) = (𝐴 Γ— 𝐡))
109eqeq2d 2189 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐡 β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝑣) ↔ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)))
118, 10rspc2ev 2858 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝑒 Γ— 𝑣))
126, 11mp3an3 1326 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝑒 Γ— 𝑣))
13 xpexg 4742 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V)
14 eqid 2177 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
1514elrnmpog 5989 . . . . . 6 ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝑒 Γ— 𝑣)))
1613, 15syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝑒 Γ— 𝑣)))
1712, 16mpbird 167 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
1817adantl 277 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
195, 18sseldd 3158 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
201txval 13840 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
2120adantr 276 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
2219, 21eleqtrrd 2257 1 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆƒwrex 2456  Vcvv 2739   βŠ† wss 3131   Γ— cxp 4626  ran crn 4629  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   ∈ cmpo 5879  topGenctg 12708   Γ—t ctx 13837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-topgen 12714  df-tx 13838
This theorem is referenced by:  txbasval  13852  neitx  13853  tx1cn  13854  tx2cn  13855  txlm  13864
  Copyright terms: Public domain W3C validator