ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4sqlem3 GIF version

Theorem 4sqlem3 12371
Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . Sufficient condition to be in 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
Assertion
Ref Expression
4sqlem3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3 (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
2 oveq1 5876 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐↑2) = (𝐶↑2))
32oveq1d 5884 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝑑↑2)))
43oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2))))
54eqeq2d 2189 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2)))))
6 oveq1 5876 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → (𝑑↑2) = (𝐷↑2))
76oveq2d 5885 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → ((𝐶↑2) + (𝑑↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
87oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
98eqeq2d 2189 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
105, 9rspc2ev 2856 . . 3 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
111, 10mp3an3 1326 . 2 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
12 oveq1 5876 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎↑2) = (𝐴↑2))
1312oveq1d 5884 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝑏↑2)))
1413oveq1d 5884 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
1514eqeq2d 2189 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
16152rexbidv 2502 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
17 oveq1 5876 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑2) = (𝐵↑2))
1817oveq2d 5885 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
1918oveq1d 5884 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
2019eqeq2d 2189 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
21202rexbidv 2502 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
2216, 21rspc2ev 2856 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
23223expa 1203 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
24 4sq.1 . . . 4 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
25244sqlem2 12370 . . 3 ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
2623, 25sylibr 134 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆)
2711, 26sylan2 286 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  {cab 2163  wrex 2456  (class class class)co 5869   + caddc 7805  2c2 8959  cz 9242  cexp 10505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-seqfrec 10432  df-exp 10506
This theorem is referenced by:  4sqlem4a  12372
  Copyright terms: Public domain W3C validator