ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4sqlem3 GIF version

Theorem 4sqlem3 12355
Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . Sufficient condition to be in 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
Assertion
Ref Expression
4sqlem3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2175 . . 3 (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
2 oveq1 5872 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐↑2) = (𝐶↑2))
32oveq1d 5880 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝑑↑2)))
43oveq2d 5881 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2))))
54eqeq2d 2187 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2)))))
6 oveq1 5872 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → (𝑑↑2) = (𝐷↑2))
76oveq2d 5881 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → ((𝐶↑2) + (𝑑↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
87oveq2d 5881 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
98eqeq2d 2187 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
105, 9rspc2ev 2854 . . 3 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
111, 10mp3an3 1326 . 2 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
12 oveq1 5872 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎↑2) = (𝐴↑2))
1312oveq1d 5880 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝑏↑2)))
1413oveq1d 5880 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
1514eqeq2d 2187 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
16152rexbidv 2500 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
17 oveq1 5872 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑2) = (𝐵↑2))
1817oveq2d 5881 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
1918oveq1d 5880 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
2019eqeq2d 2187 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
21202rexbidv 2500 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
2216, 21rspc2ev 2854 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
23223expa 1203 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
24 4sq.1 . . . 4 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
25244sqlem2 12354 . . 3 ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
2623, 25sylibr 134 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆)
2711, 26sylan2 286 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2146  {cab 2161  wrex 2454  (class class class)co 5865   + caddc 7789  2c2 8943  cz 9226  cexp 10489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-seqfrec 10416  df-exp 10490
This theorem is referenced by:  4sqlem4a  12356
  Copyright terms: Public domain W3C validator