Theorem 4sqlem3 13169

Description: Lemma for 4sq 13189. Sufficient condition to be in 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}

Assertion

Ref	Expression
4sqlem3	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
2		oveq1 6092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐↑2) = (𝐶↑2))
3	2	oveq1d 6100	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝑑↑2)))
4	3	oveq2d 6101	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2))))
5	4	eqeq2d 2250	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2)))))
6		oveq1 6092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑↑2) = (𝐷↑2))
7	6	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝐶↑2) + (𝑑↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
8	7	oveq2d 6101	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
9	8	eqeq2d 2250	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
10	5, 9	rspc2ev 2945	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
11	1, 10	mp3an3 1367	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
12		oveq1 6092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎↑2) = (𝐴↑2))
13	12	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝑏↑2)))
14	13	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
15	14	eqeq2d 2250	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
16	15	2rexbidv 2575	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
17		oveq1 6092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑2) = (𝐵↑2))
18	17	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
19	18	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
20	19	eqeq2d 2250	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
21	20	2rexbidv 2575	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
22	16, 21	rspc2ev 2945	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
23	22	3expa 1234	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
24		4sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
25	24	4sqlem2 13168	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
26	23, 25	sylibr 134	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆)
27	11, 26	sylan2 286	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∃wrex 2529  (class class class)co 6085   + caddc 8182  2c2 9355  ℤcz 9644  ↑cexp 10975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885  df-exp 10976

This theorem is used by:  4sqlem4a  13170