Theorem 2irrexpqap 15860

Description: There exist real numbers 𝑎 and 𝑏 which are irrational (in the sense of being apart from any rational number) such that (𝑎↑𝑏) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "constructive proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This is a constructive proof because it is based on two explicitly named irrational numbers (√‘2) and (2 log_b 9), see sqrt2irrap 12881, 2logb9irrap 15859 and sqrt2cxp2logb9e3 15857. Therefore, this proof is acceptable/usable in intuitionistic logic. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2irrexpqap	⊢ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑝   𝑞,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2irrexpqap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt2re 12864	. 2 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
2		2logb9irr 15853	. . 3 ⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
3		eldifi 3343	. . 3 ⊢ ((2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ) → (2 logb 9) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 logb 9) ∈ ℝ
5		sqrt2irrap 12881	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → (√‘2) # 𝑝)
6	5	rgen 2597	. . 3 ⊢ ∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝
7		2logb9irrap 15859	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (2 logb 9) # 𝑞)
8	7	rgen 2597	. . 3 ⊢ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞
9		sqrt2cxp2logb9e3 15857	. . . 4 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3
10		3z 9608	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
11		zq 9961	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ ℚ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
13	9, 12	eqeltri 2307	. . 3 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ
14	6, 8, 13	3pm3.2i 1202	. 2 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ)
15		breq1 4114	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (𝑎 # 𝑝 ↔ (√‘2) # 𝑝))
16	15	ralbidv 2544	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ↔ ∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝))
17		biidd 172	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞))
18		oveq1 6059	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (𝑎↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐𝑏))
19	18	eleq1d 2303	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → ((𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
20	16, 17, 19	3anbi123d 1349	. . 3 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → ((∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ) ↔ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)))
21		biidd 172	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ↔ ∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝))
22		breq1 4114	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (𝑏 # 𝑞 ↔ (2 logb 9) # 𝑞))
23	22	ralbidv 2544	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞))
24		oveq2 6060	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → ((√‘2)↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)))
25	24	eleq1d 2303	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ))
26	21, 23, 25	3anbi123d 1349	. . 3 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → ((∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ) ↔ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ)))
27	20, 26	rspc2ev 2938	. 2 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (2 logb 9) ∈ ℝ ∧ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
28	1, 4, 14, 27	mp3an 1374	1 ⊢ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)

Syntax hints:   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ∖ cdif 3210   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℝcr 8128   # cap 8857  2c2 9290  3c3 9291  9c9 9297  ℤcz 9579  ℚcq 9954  √csqrt 11685  ↑_𝑐ccxp 15739   log_b clogb 15825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249  ax-pre-suploc 8250  ax-addf 8251  ax-mulf 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-disj 4088  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-oadd 6653  df-er 6769  df-map 6886  df-pm 6887  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-xneg 10108  df-xadd 10109  df-ioo 10228  df-ico 10230  df-icc 10231  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-fl 10634  df-mod 10689  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-fac 11092  df-bc 11114  df-ihash 11143  df-shft 11504  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-clim 11968  df-sumdc 12043  df-ef 12338  df-e 12339  df-dvds 12478  df-gcd 12654  df-prm 12809  df-rest 13471  df-topgen 13490  df-psmet 14708  df-xmet 14709  df-met 14710  df-bl 14711  df-mopn 14712  df-top 14880  df-topon 14893  df-bases 14925  df-ntr 14978  df-cn 15070  df-cnp 15071  df-tx 15135  df-cncf 15453  df-limced 15538  df-dvap 15539  df-relog 15740  df-rpcxp 15741  df-logb 15826

This theorem is referenced by: (None)