Theorem 2irrexpqap 14557

Description: There exist real numbers 𝑎 and 𝑏 which are irrational (in the sense of being apart from any rational number) such that (𝑎↑𝑏) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "constructive proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This is a constructive proof because it is based on two explicitly named irrational numbers (√‘2) and (2 log_b 9), see sqrt2irrap 12183, 2logb9irrap 14556 and sqrt2cxp2logb9e3 14554. Therefore, this proof is acceptable/usable in intuitionistic logic. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2irrexpqap	⊢ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑝   𝑞,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2irrexpqap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt2re 12166	. 2 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
2		2logb9irr 14550	. . 3 ⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
3		eldifi 3259	. . 3 ⊢ ((2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ) → (2 logb 9) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 logb 9) ∈ ℝ
5		sqrt2irrap 12183	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → (√‘2) # 𝑝)
6	5	rgen 2530	. . 3 ⊢ ∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝
7		2logb9irrap 14556	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (2 logb 9) # 𝑞)
8	7	rgen 2530	. . 3 ⊢ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞
9		sqrt2cxp2logb9e3 14554	. . . 4 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3
10		3z 9285	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
11		zq 9629	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ ℚ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
13	9, 12	eqeltri 2250	. . 3 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ
14	6, 8, 13	3pm3.2i 1175	. 2 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ)
15		breq1 4008	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (𝑎 # 𝑝 ↔ (√‘2) # 𝑝))
16	15	ralbidv 2477	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ↔ ∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝))
17		biidd 172	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞))
18		oveq1 5885	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (𝑎↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐𝑏))
19	18	eleq1d 2246	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → ((𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
20	16, 17, 19	3anbi123d 1312	. . 3 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → ((∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ) ↔ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)))
21		biidd 172	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ↔ ∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝))
22		breq1 4008	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (𝑏 # 𝑞 ↔ (2 logb 9) # 𝑞))
23	22	ralbidv 2477	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞))
24		oveq2 5886	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → ((√‘2)↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)))
25	24	eleq1d 2246	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ))
26	21, 23, 25	3anbi123d 1312	. . 3 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → ((∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ) ↔ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ)))
27	20, 26	rspc2ev 2858	. 2 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (2 logb 9) ∈ ℝ ∧ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
28	1, 4, 14, 27	mp3an 1337	1 ⊢ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)

Syntax hints:   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ∖ cdif 3128   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  ℝcr 7813   # cap 8541  2c2 8973  3c3 8974  9c9 8980  ℤcz 9256  ℚcq 9622  √csqrt 11008  ↑_𝑐ccxp 14439   log_b clogb 14522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934  ax-pre-suploc 7935  ax-addf 7936  ax-mulf 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-of 6086  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-2o 6421  df-oadd 6424  df-er 6538  df-map 6653  df-pm 6654  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-9 8988  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-xneg 9775  df-xadd 9776  df-ioo 9895  df-ico 9897  df-icc 9898  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-fl 10273  df-mod 10326  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-bc 10731  df-ihash 10759  df-shft 10827  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365  df-ef 11659  df-e 11660  df-dvds 11798  df-gcd 11947  df-prm 12111  df-rest 12696  df-topgen 12715  df-psmet 13594  df-xmet 13595  df-met 13596  df-bl 13597  df-mopn 13598  df-top 13659  df-topon 13672  df-bases 13704  df-ntr 13757  df-cn 13849  df-cnp 13850  df-tx 13914  df-cncf 14219  df-limced 14286  df-dvap 14287  df-relog 14440  df-rpcxp 14441  df-logb 14523

This theorem is referenced by: (None)