Theorem 2irrexpqap 13690

Description: There exist real numbers 𝑎 and 𝑏 which are irrational (in the sense of being apart from any rational number) such that (𝑎↑𝑏) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "constructive proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This is a constructive proof because it is based on two explicitly named irrational numbers (√‘2) and (2 log_b 9), see sqrt2irrap 12134, 2logb9irrap 13689 and sqrt2cxp2logb9e3 13687. Therefore, this proof is acceptable/usable in intuitionistic logic. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2irrexpqap	⊢ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑝   𝑞,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2irrexpqap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt2re 12117	. 2 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
2		2logb9irr 13683	. . 3 ⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
3		eldifi 3249	. . 3 ⊢ ((2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ) → (2 logb 9) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 logb 9) ∈ ℝ
5		sqrt2irrap 12134	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → (√‘2) # 𝑝)
6	5	rgen 2523	. . 3 ⊢ ∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝
7		2logb9irrap 13689	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (2 logb 9) # 𝑞)
8	7	rgen 2523	. . 3 ⊢ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞
9		sqrt2cxp2logb9e3 13687	. . . 4 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3
10		3z 9241	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
11		zq 9585	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ ℚ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
13	9, 12	eqeltri 2243	. . 3 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ
14	6, 8, 13	3pm3.2i 1170	. 2 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ)
15		breq1 3992	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (𝑎 # 𝑝 ↔ (√‘2) # 𝑝))
16	15	ralbidv 2470	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ↔ ∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝))
17		biidd 171	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞))
18		oveq1 5860	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (𝑎↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐𝑏))
19	18	eleq1d 2239	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → ((𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
20	16, 17, 19	3anbi123d 1307	. . 3 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → ((∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ) ↔ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)))
21		biidd 171	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ↔ ∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝))
22		breq1 3992	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (𝑏 # 𝑞 ↔ (2 logb 9) # 𝑞))
23	22	ralbidv 2470	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞))
24		oveq2 5861	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → ((√‘2)↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)))
25	24	eleq1d 2239	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ))
26	21, 23, 25	3anbi123d 1307	. . 3 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → ((∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ) ↔ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ)))
27	20, 26	rspc2ev 2849	. 2 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (2 logb 9) ∈ ℝ ∧ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
28	1, 4, 14, 27	mp3an 1332	1 ⊢ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)

Syntax hints:   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   ∖ cdif 3118   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℝcr 7773   # cap 8500  2c2 8929  3c3 8930  9c9 8936  ℤcz 9212  ℚcq 9578  √csqrt 10960  ↑_𝑐ccxp 13572   log_b clogb 13655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-pre-suploc 7895  ax-addf 7896  ax-mulf 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-of 6061  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-pm 6629  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ioo 9849  df-ico 9851  df-icc 9852  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-shft 10779  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-e 11612  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-cncf 13352  df-limced 13419  df-dvap 13420  df-relog 13573  df-rpcxp 13574  df-logb 13656

This theorem is referenced by: (None)