Theorem 2irrexpqap 16136

Description: There exist real numbers 𝑎 and 𝑏 which are irrational (in the sense of being apart from any rational number) such that (𝑎↑𝑏) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "constructive proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This is a constructive proof because it is based on two explicitly named irrational numbers (√‘2) and (2 log_b 9), see sqrt2irrap 12978, 2logb9irrap 16135 and sqrt2cxp2logb9e3 16133. Therefore, this proof is acceptable/usable in intuitionistic logic. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2irrexpqap	⊢ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑝   𝑞,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2irrexpqap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt2re 12960	. 2 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
2		2logb9irr 16129	. . 3 ⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
3		eldifi 3351	. . 3 ⊢ ((2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ) → (2 logb 9) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 logb 9) ∈ ℝ
5		sqrt2irrap 12978	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → (√‘2) # 𝑝)
6	5	rgen 2603	. . 3 ⊢ ∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝
7		2logb9irrap 16135	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (2 logb 9) # 𝑞)
8	7	rgen 2603	. . 3 ⊢ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞
9		sqrt2cxp2logb9e3 16133	. . . 4 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3
10		3z 9678	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
11		zq 10036	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ ℚ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
13	9, 12	eqeltri 2311	. . 3 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ
14	6, 8, 13	3pm3.2i 1206	. 2 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ)
15		breq1 4133	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (𝑎 # 𝑝 ↔ (√‘2) # 𝑝))
16	15	ralbidv 2550	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ↔ ∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝))
17		biidd 172	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞))
18		oveq1 6092	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (𝑎↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐𝑏))
19	18	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → ((𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
20	16, 17, 19	3anbi123d 1353	. . 3 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → ((∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ) ↔ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)))
21		biidd 172	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ↔ ∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝))
22		breq1 4133	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (𝑏 # 𝑞 ↔ (2 logb 9) # 𝑞))
23	22	ralbidv 2550	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞))
24		oveq2 6093	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → ((√‘2)↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)))
25	24	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → (((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ))
26	21, 23, 25	3anbi123d 1353	. . 3 ⊢ (𝑏 = (2 logb 9) → ((∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ) ↔ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ)))
27	20, 26	rspc2ev 2945	. 2 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (2 logb 9) ∈ ℝ ∧ (∀𝑝 ∈ ℚ (√‘2) # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (2 logb 9) # 𝑞 ∧ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℚ)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
28	1, 4, 14, 27	mp3an 1378	1 ⊢ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑝 ∈ ℚ 𝑎 # 𝑝 ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑏 # 𝑞 ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ∖ cdif 3217   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℝcr 8179   # cap 8912  2c2 9358  3c3 9359  9c9 9365  ℤcz 9649  ℚcq 10029  √csqrt 11777  ↑_𝑐ccxp 16011   log_b clogb 16101

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300  ax-pre-suploc 8301  ax-addf 8302  ax-mulf 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-xneg 10185  df-xadd 10186  df-ioo 10305  df-ico 10307  df-icc 10308  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-fl 10716  df-mod 10774  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-fac 11179  df-bc 11201  df-ihash 11230  df-shft 11595  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780  df-clim 12063  df-sumdc 12138  df-ef 12433  df-e 12434  df-dvds 12573  df-gcd 12749  df-prm 12904  df-rest 13646  df-topgen 13665  df-psmet 14931  df-xmet 14932  df-met 14933  df-bl 14934  df-mopn 14935  df-top 15151  df-topon 15164  df-bases 15196  df-ntr 15249  df-cn 15341  df-cnp 15342  df-tx 15406  df-cncf 15724  df-limced 15809  df-dvap 15810  df-relog 16012  df-rpcxp 16013  df-logb 16102

This theorem is used by: (None)