ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txuni2 GIF version

Theorem txuni2 13726
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txval.1 𝐡 = ran (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
txuni2.1 𝑋 = βˆͺ 𝑅
txuni2.2 π‘Œ = βˆͺ 𝑆
Assertion
Ref Expression
txuni2 (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝐡
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑅   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem txuni2
Dummy variables π‘Ÿ 𝑠 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 4735 . . 3 Rel (𝑋 Γ— π‘Œ)
2 txuni2.1 . . . . . . . 8 𝑋 = βˆͺ 𝑅
32eleq2i 2244 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝑋 ↔ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑅)
4 eluni2 3813 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑅 ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝑧 ∈ π‘Ÿ)
53, 4bitri 184 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝑋 ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝑧 ∈ π‘Ÿ)
6 txuni2.2 . . . . . . . 8 π‘Œ = βˆͺ 𝑆
76eleq2i 2244 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ π‘Œ ↔ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝑆)
8 eluni2 3813 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ βˆͺ 𝑆 ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 𝑀 ∈ 𝑠)
97, 8bitri 184 . . . . . 6 (𝑀 ∈ π‘Œ ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 𝑀 ∈ 𝑠)
105, 9anbi12i 460 . . . . 5 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) ↔ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝑧 ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 𝑀 ∈ 𝑠))
11 opelxp 4656 . . . . 5 (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ))
12 reeanv 2646 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑧 ∈ π‘Ÿ ∧ 𝑀 ∈ 𝑠) ↔ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝑧 ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 𝑀 ∈ 𝑠))
1310, 11, 123bitr4i 212 . . . 4 (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑧 ∈ π‘Ÿ ∧ 𝑀 ∈ 𝑠))
14 opelxp 4656 . . . . . 6 (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ↔ (𝑧 ∈ π‘Ÿ ∧ 𝑀 ∈ 𝑠))
15 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘Ÿ Γ— 𝑠)
16 xpeq1 4640 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘Ÿ β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) = (π‘Ÿ Γ— 𝑦))
1716eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘Ÿ β†’ ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘Ÿ Γ— 𝑦)))
18 xpeq2 4641 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑠 β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑦) = (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
1918eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑠 β†’ ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘Ÿ Γ— 𝑦) ↔ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))
2017, 19rspc2ev 2856 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
2115, 20mp3an3 1326 . . . . . . . . 9 ((π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
22 vex 2740 . . . . . . . . . . 11 π‘Ÿ ∈ V
23 vex 2740 . . . . . . . . . . 11 𝑠 ∈ V
2422, 23xpex 4741 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ V
25 eqeq1 2184 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ (𝑧 = (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑦)))
26252rexbidv 2502 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 = (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑦)))
27 txval.1 . . . . . . . . . . 11 𝐡 = ran (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
28 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
2928rnmpo 5984 . . . . . . . . . . 11 ran (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 = (π‘₯ Γ— 𝑦)}
3027, 29eqtri 2198 . . . . . . . . . 10 𝐡 = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 = (π‘₯ Γ— 𝑦)}
3124, 26, 30elab2 2885 . . . . . . . . 9 ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
3221, 31sylibr 134 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ 𝐡)
33 elssuni 3837 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ 𝐡 β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† βˆͺ 𝐡)
3432, 33syl 14 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† βˆͺ 𝐡)
3534sseld 3154 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ 𝐡))
3614, 35biimtrrid 153 . . . . 5 ((π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 ∈ π‘Ÿ ∧ 𝑀 ∈ 𝑠) β†’ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ 𝐡))
3736rexlimivv 2600 . . . 4 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑧 ∈ π‘Ÿ ∧ 𝑀 ∈ 𝑠) β†’ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ 𝐡)
3813, 37sylbi 121 . . 3 (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ 𝐡)
391, 38relssi 4717 . 2 (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† βˆͺ 𝐡
40 elssuni 3837 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑅 β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑅)
4140, 2sseqtrrdi 3204 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑅 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
42 elssuni 3837 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑆)
4342, 6sseqtrrdi 3204 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
44 xpss12 4733 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
4541, 43, 44syl2an 289 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
46 vex 2740 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
47 vex 2740 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
4846, 47xpex 4741 . . . . . . . . 9 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ V
4948elpw 3581 . . . . . . . 8 ((π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ (π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
5045, 49sylibr 134 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ))
5150rgen2 2563 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ)
5228fmpo 6201 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝑅 Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑋 Γ— π‘Œ))
5351, 52mpbi 145 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝑅 Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑋 Γ— π‘Œ)
54 frn 5374 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝑅 Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ))
5553, 54ax-mp 5 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ)
5627, 55eqsstri 3187 . . 3 𝐡 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ)
57 sspwuni 3971 . . 3 (𝐡 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ βˆͺ 𝐡 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
5856, 57mpbi 145 . 2 βˆͺ 𝐡 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ)
5939, 58eqssi 3171 1 (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝐡
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cab 2163  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456   βŠ† wss 3129  π’« cpw 3575  βŸ¨cop 3595  βˆͺ cuni 3809   Γ— cxp 4624  ran crn 4627  βŸΆwf 5212   ∈ cmpo 5876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141
This theorem is referenced by:  txbasex  13727  txtopon  13732
  Copyright terms: Public domain W3C validator