Theorem opeq2d 3911

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq2d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Proof of Theorem opeq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq2 3905	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ⟨cop 3712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718

This theorem is used by:  tfr1onlemaccex  6623  tfrcllemaccex  6636  fundmen  7098  exmidapne  7632  recexnq  7763  suplocexprlemex  8095  elreal2  8203  frecuzrdgrrn  10866  frec2uzrdg  10867  frecuzrdgrcl  10868  frecuzrdgsuc  10872  frecuzrdgrclt  10873  frecuzrdgg  10874  frecuzrdgsuctlem  10881  seqeq2  10909  seqeq3  10910  iseqvalcbv  10917  seq3val  10918  seqvalcd  10919  s1val  11407  s1eq  11409  s1prc  11413  swrdlsw  11463  pfxpfx  11502  swrdccat  11529  swrdccat3blem  11533  swrdccat3b  11534  pfxccatin12d  11539  eucalgval  12857  ennnfonelemp1  13355  ennnfonelemnn0  13371  strsetsid  13443  ressvalsets  13476  strressid  13484  ressinbasd  13487  ressressg  13488  imasex  13685  imasival  13686  imasaddvallemg  13695  xpsfval  13728  prdsex  14279  prdsval  14280  xpsval  14308  mgpvalg  14327  mgpress  14337  ring1  14471  opprvalg  14483  sraval  14883  zlmval  15071  znval  15080  znval2  15082  psrval  15159  psrmulrg  15186  upgr1een  16570  uspgr1ewopdc  16690  usgr2v1e2w  16692  1loopgruspgr  16749  eupth2lem3lem3fi  16916  eupth2fi  16925