Theorem opeq2d 3911

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq2d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Proof of Theorem opeq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq2 3905	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ⟨cop 3712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718

This theorem is used by:  tfr1onlemaccex  6619  tfrcllemaccex  6632  fundmen  7094  exmidapne  7626  recexnq  7757  suplocexprlemex  8089  elreal2  8197  frecuzrdgrrn  10858  frec2uzrdg  10859  frecuzrdgrcl  10860  frecuzrdgsuc  10864  frecuzrdgrclt  10865  frecuzrdgg  10866  frecuzrdgsuctlem  10873  seqeq2  10901  seqeq3  10902  iseqvalcbv  10909  seq3val  10910  seqvalcd  10911  s1val  11399  s1eq  11401  s1prc  11405  swrdlsw  11455  pfxpfx  11494  swrdccat  11521  swrdccat3blem  11525  swrdccat3b  11526  pfxccatin12d  11531  eucalgval  12848  ennnfonelemp1  13346  ennnfonelemnn0  13362  strsetsid  13434  ressvalsets  13467  strressid  13474  ressinbasd  13477  ressressg  13478  imasex  13675  imasival  13676  imasaddvallemg  13685  xpsfval  13718  prdsex  14221  prdsval  14222  xpsval  14250  mgpvalg  14269  mgpress  14279  ring1  14413  opprvalg  14423  sraval  14823  zlmval  15011  znval  15020  znval2  15022  psrval  15099  upgr1een  16463  uspgr1ewopdc  16583  usgr2v1e2w  16585  1loopgruspgr  16642  eupth2lem3lem3fi  16809  eupth2fi  16818