Theorem opeq2d 3911

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq2d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Proof of Theorem opeq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq2 3905	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ⟨cop 3712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718

This theorem is used by:  tfr1onlemaccex  6624  tfrcllemaccex  6637  fundmen  7100  exmidapne  7632  recexnq  7763  suplocexprlemex  8095  elreal2  8203  frecuzrdgrrn  10865  frec2uzrdg  10866  frecuzrdgrcl  10867  frecuzrdgsuc  10871  frecuzrdgrclt  10872  frecuzrdgg  10873  frecuzrdgsuctlem  10880  seqeq2  10908  seqeq3  10909  iseqvalcbv  10916  seq3val  10917  seqvalcd  10918  s1val  11406  s1eq  11408  s1prc  11412  swrdlsw  11462  pfxpfx  11501  swrdccat  11528  swrdccat3blem  11532  swrdccat3b  11533  pfxccatin12d  11538  eucalgval  12856  ennnfonelemp1  13354  ennnfonelemnn0  13370  strsetsid  13442  ressvalsets  13475  strressid  13483  ressinbasd  13486  ressressg  13487  imasex  13684  imasival  13685  imasaddvallemg  13694  xpsfval  13727  prdsex  14278  prdsval  14279  xpsval  14307  mgpvalg  14326  mgpress  14336  ring1  14470  opprvalg  14482  sraval  14882  zlmval  15070  znval  15079  znval2  15081  psrval  15160  psrmulrg  15195  upgr1een  16587  uspgr1ewopdc  16707  usgr2v1e2w  16709  1loopgruspgr  16766  eupth2lem3lem3fi  16933  eupth2fi  16942