Theorem opeq2d 3911

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq2d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Proof of Theorem opeq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq2 3905	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ⟨cop 3712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718

This theorem is used by:  tfr1onlemaccex  6619  tfrcllemaccex  6632  fundmen  7094  exmidapne  7626  recexnq  7757  suplocexprlemex  8089  elreal2  8197  frecuzrdgrrn  10845  frec2uzrdg  10846  frecuzrdgrcl  10847  frecuzrdgsuc  10851  frecuzrdgrclt  10852  frecuzrdgg  10853  frecuzrdgsuctlem  10860  seqeq2  10888  seqeq3  10889  iseqvalcbv  10896  seq3val  10897  seqvalcd  10898  s1val  11385  s1eq  11387  s1prc  11391  swrdlsw  11441  pfxpfx  11480  swrdccat  11507  swrdccat3blem  11511  swrdccat3b  11512  pfxccatin12d  11517  eucalgval  12832  ennnfonelemp1  13297  ennnfonelemnn0  13313  strsetsid  13385  ressvalsets  13418  strressid  13425  ressinbasd  13428  ressressg  13429  imasex  13626  imasival  13627  imasaddvallemg  13636  xpsfval  13669  prdsex  14172  prdsval  14173  xpsval  14201  mgpvalg  14220  mgpress  14230  ring1  14364  opprvalg  14374  sraval  14774  zlmval  14962  znval  14971  znval2  14973  psrval  15050  upgr1een  16365  uspgr1ewopdc  16485  usgr2v1e2w  16487  1loopgruspgr  16544  eupth2lem3lem3fi  16711  eupth2fi  16720