Theorem opeq2d 3787

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq2d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Proof of Theorem opeq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq2 3781	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353  ⟨cop 3597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603

This theorem is referenced by:  tfr1onlemaccex  6351  tfrcllemaccex  6364  fundmen  6808  exmidapne  7261  recexnq  7391  suplocexprlemex  7723  elreal2  7831  frecuzrdgrrn  10410  frec2uzrdg  10411  frecuzrdgrcl  10412  frecuzrdgsuc  10416  frecuzrdgrclt  10417  frecuzrdgg  10418  frecuzrdgsuctlem  10425  seqeq2  10451  seqeq3  10452  iseqvalcbv  10459  seq3val  10460  seqvalcd  10461  eucalgval  12056  ennnfonelemp1  12409  ennnfonelemnn0  12425  strsetsid  12497  ressvalsets  12526  strressid  12532  ressinbasd  12535  ressressg  12536  prdsex  12723  imasex  12731  imasival  12732  imasaddvallemg  12741  xpsfval  12772  xpsval  12776  mgpvalg  13138  mgpress  13146  ring1  13241  opprvalg  13246