Theorem opeq2d 3895

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq2d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Proof of Theorem opeq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq2 3889	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  ⟨cop 3697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703

This theorem is referenced by:  tfr1onlemaccex  6592  tfrcllemaccex  6605  fundmen  7060  exmidapne  7590  recexnq  7721  suplocexprlemex  8053  elreal2  8161  frecuzrdgrrn  10794  frec2uzrdg  10795  frecuzrdgrcl  10796  frecuzrdgsuc  10800  frecuzrdgrclt  10801  frecuzrdgg  10802  frecuzrdgsuctlem  10809  seqeq2  10837  seqeq3  10838  iseqvalcbv  10845  seq3val  10846  seqvalcd  10847  s1val  11330  s1eq  11332  s1prc  11336  swrdlsw  11386  pfxpfx  11425  swrdccat  11452  swrdccat3blem  11456  swrdccat3b  11457  pfxccatin12d  11462  eucalgval  12776  ennnfonelemp1  13241  ennnfonelemnn0  13257  strsetsid  13329  ressvalsets  13361  strressid  13368  ressinbasd  13371  ressressg  13372  imasex  13569  imasival  13570  imasaddvallemg  13579  xpsfval  13612  prdsex  14114  prdsval  14115  xpsval  14143  mgpvalg  14162  mgpress  14170  ring1  14302  opprvalg  14312  sraval  14711  zlmval  14901  znval  14910  znval2  14912  psrval  14940  upgr1een  16245  uspgr1ewopdc  16365  usgr2v1e2w  16367  1loopgruspgr  16424  eupth2lem3lem3fi  16591  eupth2fi  16600