Theorem opeq2d 3890

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq2d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Proof of Theorem opeq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq2 3884	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  ⟨cop 3692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698

This theorem is referenced by:  tfr1onlemaccex  6579  tfrcllemaccex  6592  fundmen  7047  exmidapne  7574  recexnq  7705  suplocexprlemex  8037  elreal2  8145  frecuzrdgrrn  10770  frec2uzrdg  10771  frecuzrdgrcl  10772  frecuzrdgsuc  10776  frecuzrdgrclt  10777  frecuzrdgg  10778  frecuzrdgsuctlem  10785  seqeq2  10813  seqeq3  10814  iseqvalcbv  10821  seq3val  10822  seqvalcd  10823  s1val  11305  s1eq  11307  s1prc  11311  swrdlsw  11361  pfxpfx  11400  swrdccat  11427  swrdccat3blem  11431  swrdccat3b  11432  pfxccatin12d  11437  eucalgval  12751  ennnfonelemp1  13157  ennnfonelemnn0  13173  strsetsid  13245  ressvalsets  13277  strressid  13284  ressinbasd  13287  ressressg  13288  prdsex  13482  prdsval  13486  imasex  13518  imasival  13519  imasaddvallemg  13528  xpsfval  13561  xpsval  13565  mgpvalg  14067  mgpress  14075  ring1  14203  opprvalg  14213  sraval  14585  zlmval  14775  znval  14784  znval2  14786  psrval  14814  upgr1een  16119  uspgr1ewopdc  16239  usgr2v1e2w  16241  1loopgruspgr  16298  eupth2lem3lem3fi  16465  eupth2fi  16474