Theorem opeq2d 3911

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq2d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Proof of Theorem opeq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq2 3905	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ⟨cop 3712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718

This theorem is used by:  tfr1onlemaccex  6619  tfrcllemaccex  6632  fundmen  7094  exmidapne  7627  recexnq  7758  suplocexprlemex  8090  elreal2  8198  frecuzrdgrrn  10860  frec2uzrdg  10861  frecuzrdgrcl  10862  frecuzrdgsuc  10866  frecuzrdgrclt  10867  frecuzrdgg  10868  frecuzrdgsuctlem  10875  seqeq2  10903  seqeq3  10904  iseqvalcbv  10911  seq3val  10912  seqvalcd  10913  s1val  11401  s1eq  11403  s1prc  11407  swrdlsw  11457  pfxpfx  11496  swrdccat  11523  swrdccat3blem  11527  swrdccat3b  11528  pfxccatin12d  11533  eucalgval  12851  ennnfonelemp1  13349  ennnfonelemnn0  13365  strsetsid  13437  ressvalsets  13470  strressid  13478  ressinbasd  13481  ressressg  13482  imasex  13679  imasival  13680  imasaddvallemg  13689  xpsfval  13722  prdsex  14256  prdsval  14257  xpsval  14285  mgpvalg  14304  mgpress  14314  ring1  14448  opprvalg  14458  sraval  14858  zlmval  15046  znval  15055  znval2  15057  psrval  15134  psrmulrg  15158  upgr1een  16531  uspgr1ewopdc  16651  usgr2v1e2w  16653  1loopgruspgr  16710  eupth2lem3lem3fi  16877  eupth2fi  16886