Theorem opeq2d 3864

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq2d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Proof of Theorem opeq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq2 3858	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395  ⟨cop 3669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675

This theorem is referenced by:  tfr1onlemaccex  6500  tfrcllemaccex  6513  fundmen  6967  exmidapne  7457  recexnq  7588  suplocexprlemex  7920  elreal2  8028  frecuzrdgrrn  10642  frec2uzrdg  10643  frecuzrdgrcl  10644  frecuzrdgsuc  10648  frecuzrdgrclt  10649  frecuzrdgg  10650  frecuzrdgsuctlem  10657  seqeq2  10685  seqeq3  10686  iseqvalcbv  10693  seq3val  10694  seqvalcd  10695  s1val  11165  s1eq  11167  s1prc  11171  swrdlsw  11216  pfxpfx  11255  swrdccat  11282  swrdccat3blem  11286  swrdccat3b  11287  pfxccatin12d  11292  eucalgval  12591  ennnfonelemp1  12992  ennnfonelemnn0  13008  strsetsid  13080  ressvalsets  13112  strressid  13119  ressinbasd  13122  ressressg  13123  prdsex  13317  prdsval  13321  imasex  13353  imasival  13354  imasaddvallemg  13363  xpsfval  13396  xpsval  13400  mgpvalg  13901  mgpress  13909  ring1  14037  opprvalg  14047  sraval  14416  zlmval  14606  znval  14615  znval2  14617  psrval  14645