Theorem opeq2d 3867

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq2d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Proof of Theorem opeq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq2 3861	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395  ⟨cop 3670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676

This theorem is referenced by:  tfr1onlemaccex  6509  tfrcllemaccex  6522  fundmen  6976  exmidapne  7469  recexnq  7600  suplocexprlemex  7932  elreal2  8040  frecuzrdgrrn  10660  frec2uzrdg  10661  frecuzrdgrcl  10662  frecuzrdgsuc  10666  frecuzrdgrclt  10667  frecuzrdgg  10668  frecuzrdgsuctlem  10675  seqeq2  10703  seqeq3  10704  iseqvalcbv  10711  seq3val  10712  seqvalcd  10713  s1val  11184  s1eq  11186  s1prc  11190  swrdlsw  11240  pfxpfx  11279  swrdccat  11306  swrdccat3blem  11310  swrdccat3b  11311  pfxccatin12d  11316  eucalgval  12616  ennnfonelemp1  13017  ennnfonelemnn0  13033  strsetsid  13105  ressvalsets  13137  strressid  13144  ressinbasd  13147  ressressg  13148  prdsex  13342  prdsval  13346  imasex  13378  imasival  13379  imasaddvallemg  13388  xpsfval  13421  xpsval  13425  mgpvalg  13926  mgpress  13934  ring1  14062  opprvalg  14072  sraval  14441  zlmval  14631  znval  14640  znval2  14642  psrval  14670  uspgr1ewopdc  16083  usgr2v1e2w  16085  1loopgruspgr  16109