Theorem smofvon 5994

Description: If 𝐵 is a strictly monotone ordinal function, and 𝐴 is in the domain of 𝐵, then the value of the function at 𝐴 is an ordinal. (Contributed by Andrew Salmon, 20-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smofvon	⊢ ((Smo 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘𝐴) ∈ On)

Proof of Theorem smofvon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-smo 5981	. . 3 ⊢ (Smo 𝐵 ↔ (𝐵:dom 𝐵⟶On ∧ Ord dom 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐵∀𝑦 ∈ dom 𝐵(𝑥 ∈ 𝑦 → (𝐵‘𝑥) ∈ (𝐵‘𝑦))))
2	1	simp1bi 954	. 2 ⊢ (Smo 𝐵 → 𝐵:dom 𝐵⟶On)
3	2	ffvelrnda 5377	1 ⊢ ((Smo 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘𝐴) ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1434  ∀wral 2353  Ord word 4152  Oncon0 4153  dom cdm 4399  ⟶wf 4963  ‘cfv 4967  Smo wsmo 5980

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-sbc 2827  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4083  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-fv 4975  df-smo 5981

This theorem is referenced by:  smoiun  5996