Theorem ffvelcdmda 5714

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdmda	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdmda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffvelcdm 5712	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2175  ⟶wf 5266  ‘cfv 5270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278

This theorem is referenced by:  ffvelcdmd  5715  f1ocnvdm  5849  foeqcnvco  5858  f1oiso2  5895  offeq  6171  suppssof1  6175  ofco  6176  caofref  6182  caofinvl  6183  caofid0l  6184  caofid0r  6185  caofid1  6186  caofid2  6187  caofcom  6188  caofrss  6189  caoftrn  6190  caofdig  6191  smofvon2dm  6381  smofvon  6384  pw2f1odclem  6930  mapxpen  6944  xpmapenlem  6945  en2eqpr  7003  supisoex  7110  ordiso2  7136  omp1eomlem  7195  ctssdccl  7212  ctssdc  7214  enumctlemm  7215  enomnilem  7239  fodjuomnilemdc  7245  ismkvnex  7256  enmkvlem  7262  enwomnilem  7270  nninfwlporlemd  7273  nninfwlporlem  7274  nninfwlpoimlemginf  7277  cc3  7379  cauappcvgprlemladdru  7768  cauappcvgprlemladdrl  7769  caucvgprlemladdrl  7790  caucvgprprlemopu  7811  caucvgprprlemexbt  7818  caucvgprprlemexb  7819  caucvgsrlemcl  7901  caucvgsrlemfv  7903  caucvgsrlemcau  7905  caucvgsrlembound  7906  caucvgsrlemoffval  7908  caucvgsrlemofff  7909  caucvgsrlemoffgt1  7911  caucvgsrlemoffres  7912  caucvgsr  7914  axcaucvglemcl  8007  ofnegsub  9034  frecuzrdgfunlem  10562  monoord2  10629  seq3f1o  10660  seqf1oglem2  10663  seqf1og  10664  seq3homo  10670  seqfeq3  10672  zfz1isolemiso  10982  seq3coll  10985  wrdsymbcl  11006  ccatcl  11047  resqrexlemfp1  11262  resqrexlemover  11263  resqrexlemdec  11264  resqrexlemlo  11266  resqrexlemcalc1  11267  resqrexlemcalc2  11268  resqrexlemcalc3  11269  resqrexlemgt0  11273  resqrexlemsqa  11277  clim2ser  11590  clim2ser2  11591  isermulc2  11593  iserle  11595  climserle  11598  climrecvg1n  11601  climcvg1nlem  11602  summodclem3  11633  summodclem2a  11634  fsumgcl  11639  fsum3  11640  fsumf1o  11643  isumss  11644  fisumss  11645  fsumcl2lem  11651  fsumadd  11659  isumclim3  11676  isummulc2  11679  isumrecl  11682  isumadd  11684  fsummulc2  11701  iserabs  11728  cvgcmpub  11729  isumshft  11743  isumsplit  11744  mertensabs  11790  clim2prod  11792  clim2divap  11793  prodfap0  11798  prodfdivap  11800  prodmodclem3  11828  prodmodclem2a  11829  fprodseq  11836  fprodf1o  11841  prodssdc  11842  fprodssdc  11843  fprodmul  11844  efcj  11926  nninfctlemfo  12303  nn0seqcvgd  12305  algrp1  12310  alginv  12311  algcvg  12312  algcvga  12315  algfx  12316  eucalgcvga  12322  eulerthlem1  12491  eulerthlemh  12495  eulerthlemth  12496  pcmptcl  12607  pcmpt  12608  1arithlem4  12631  nninfdclemf1  12765  prdsplusgsgrpcl  13188  prdssgrpd  13189  prdsplusgcl  13220  prdsidlem  13221  prdsmndd  13222  gsumwsubmcl  13270  gsumwmhm  13272  grpinvcl  13322  prdsinvlem  13382  pwsinvg  13386  pwssub  13387  mhmmulg  13441  ghminv  13528  gsumfzreidx  13615  gsumfzsubmcl  13616  gsumfzmptfidmadd  13617  gsumfzmhm  13621  rhmdvdsr  13879  psrlinv  14388  psr1clfi  14392  mplsubgfilemcl  14403  cnptoprest2  14654  lmss  14660  txcnmpt  14687  txlm  14693  lmcn2  14694  psmetxrge0  14746  metcnp  14926  climcncf  14998  negfcncf  15020  ivthdec  15058  ivthreinc  15059  dvcnp2cntop  15113  dvaddxxbr  15115  dvimulf  15120  dvcj  15123  dvfre  15124  elply2  15149  plyaddlem1  15161  plymullem1  15162  plycolemc  15172  plyco  15173  dvply2g  15180  lgscllem  15426  lgsfle1  15428  lgsval4a  15441  lgsneg  15443  lgsdir  15454  lgsdilem2  15455  lgsdi  15456  lgsne0  15457  nninfall  15879  nninffeq  15890  refeq  15900  trilpolemclim  15908  trilpolemcl  15909  trilpolemisumle  15910  trilpolemeq1  15912  iswomni0  15923