Theorem ffvelcdmda 5700

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdmda	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdmda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffvelcdm 5698	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  ffvelcdmd  5701  f1ocnvdm  5831  foeqcnvco  5840  f1oiso2  5877  offeq  6153  suppssof1  6157  ofco  6158  caofref  6164  caofinvl  6165  caofid0l  6166  caofid0r  6167  caofid1  6168  caofid2  6169  caofcom  6170  caofrss  6171  caoftrn  6172  caofdig  6173  smofvon2dm  6363  smofvon  6366  pw2f1odclem  6904  mapxpen  6918  xpmapenlem  6919  en2eqpr  6977  supisoex  7084  ordiso2  7110  omp1eomlem  7169  ctssdccl  7186  ctssdc  7188  enumctlemm  7189  enomnilem  7213  fodjuomnilemdc  7219  ismkvnex  7230  enmkvlem  7236  enwomnilem  7244  nninfwlporlemd  7247  nninfwlporlem  7248  nninfwlpoimlemginf  7251  cc3  7353  cauappcvgprlemladdru  7742  cauappcvgprlemladdrl  7743  caucvgprlemladdrl  7764  caucvgprprlemopu  7785  caucvgprprlemexbt  7792  caucvgprprlemexb  7793  caucvgsrlemcl  7875  caucvgsrlemfv  7877  caucvgsrlemcau  7879  caucvgsrlembound  7880  caucvgsrlemoffval  7882  caucvgsrlemofff  7883  caucvgsrlemoffgt1  7885  caucvgsrlemoffres  7886  caucvgsr  7888  axcaucvglemcl  7981  ofnegsub  9008  frecuzrdgfunlem  10530  monoord2  10597  seq3f1o  10628  seqf1oglem2  10631  seqf1og  10632  seq3homo  10638  seqfeq3  10640  zfz1isolemiso  10950  seq3coll  10953  wrdsymbcl  10968  resqrexlemfp1  11193  resqrexlemover  11194  resqrexlemdec  11195  resqrexlemlo  11197  resqrexlemcalc1  11198  resqrexlemcalc2  11199  resqrexlemcalc3  11200  resqrexlemgt0  11204  resqrexlemsqa  11208  clim2ser  11521  clim2ser2  11522  isermulc2  11524  iserle  11526  climserle  11529  climrecvg1n  11532  climcvg1nlem  11533  summodclem3  11564  summodclem2a  11565  fsumgcl  11570  fsum3  11571  fsumf1o  11574  isumss  11575  fisumss  11576  fsumcl2lem  11582  fsumadd  11590  isumclim3  11607  isummulc2  11610  isumrecl  11613  isumadd  11615  fsummulc2  11632  iserabs  11659  cvgcmpub  11660  isumshft  11674  isumsplit  11675  mertensabs  11721  clim2prod  11723  clim2divap  11724  prodfap0  11729  prodfdivap  11731  prodmodclem3  11759  prodmodclem2a  11760  fprodseq  11767  fprodf1o  11772  prodssdc  11773  fprodssdc  11774  fprodmul  11775  efcj  11857  nninfctlemfo  12234  nn0seqcvgd  12236  algrp1  12241  alginv  12242  algcvg  12243  algcvga  12246  algfx  12247  eucalgcvga  12253  eulerthlem1  12422  eulerthlemh  12426  eulerthlemth  12427  pcmptcl  12538  pcmpt  12539  1arithlem4  12562  nninfdclemf1  12696  prdsplusgsgrpcl  13118  prdssgrpd  13119  prdsplusgcl  13150  prdsidlem  13151  prdsmndd  13152  gsumwsubmcl  13200  gsumwmhm  13202  grpinvcl  13252  prdsinvlem  13312  pwsinvg  13316  pwssub  13317  mhmmulg  13371  ghminv  13458  gsumfzreidx  13545  gsumfzsubmcl  13546  gsumfzmptfidmadd  13547  gsumfzmhm  13551  rhmdvdsr  13809  psrlinv  14318  psr1clfi  14322  mplsubgfilemcl  14333  cnptoprest2  14584  lmss  14590  txcnmpt  14617  txlm  14623  lmcn2  14624  psmetxrge0  14676  metcnp  14856  climcncf  14928  negfcncf  14950  ivthdec  14988  ivthreinc  14989  dvcnp2cntop  15043  dvaddxxbr  15045  dvimulf  15050  dvcj  15053  dvfre  15054  elply2  15079  plyaddlem1  15091  plymullem1  15092  plycolemc  15102  plyco  15103  dvply2g  15110  lgscllem  15356  lgsfle1  15358  lgsval4a  15371  lgsneg  15373  lgsdir  15384  lgsdilem2  15385  lgsdi  15386  lgsne0  15387  nninfall  15764  nninffeq  15775  refeq  15785  trilpolemclim  15793  trilpolemcl  15794  trilpolemisumle  15795  trilpolemeq1  15797  iswomni0  15808