Theorem ffvelcdmda 5700

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdmda	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdmda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffvelcdm 5698	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  ffvelcdmd  5701  f1ocnvdm  5831  foeqcnvco  5840  f1oiso2  5877  offeq  6153  suppssof1  6157  ofco  6158  caofref  6164  caofinvl  6165  caofid0l  6166  caofid0r  6167  caofid1  6168  caofid2  6169  caofcom  6170  caofrss  6171  caoftrn  6172  caofdig  6173  smofvon2dm  6363  smofvon  6366  pw2f1odclem  6904  mapxpen  6918  xpmapenlem  6919  en2eqpr  6977  supisoex  7084  ordiso2  7110  omp1eomlem  7169  ctssdccl  7186  ctssdc  7188  enumctlemm  7189  enomnilem  7213  fodjuomnilemdc  7219  ismkvnex  7230  enmkvlem  7236  enwomnilem  7244  nninfwlporlemd  7247  nninfwlporlem  7248  nninfwlpoimlemginf  7251  cc3  7351  cauappcvgprlemladdru  7740  cauappcvgprlemladdrl  7741  caucvgprlemladdrl  7762  caucvgprprlemopu  7783  caucvgprprlemexbt  7790  caucvgprprlemexb  7791  caucvgsrlemcl  7873  caucvgsrlemfv  7875  caucvgsrlemcau  7877  caucvgsrlembound  7878  caucvgsrlemoffval  7880  caucvgsrlemofff  7881  caucvgsrlemoffgt1  7883  caucvgsrlemoffres  7884  caucvgsr  7886  axcaucvglemcl  7979  ofnegsub  9006  frecuzrdgfunlem  10528  monoord2  10595  seq3f1o  10626  seqf1oglem2  10629  seqf1og  10630  seq3homo  10636  seqfeq3  10638  zfz1isolemiso  10948  seq3coll  10951  wrdsymbcl  10966  resqrexlemfp1  11191  resqrexlemover  11192  resqrexlemdec  11193  resqrexlemlo  11195  resqrexlemcalc1  11196  resqrexlemcalc2  11197  resqrexlemcalc3  11198  resqrexlemgt0  11202  resqrexlemsqa  11206  clim2ser  11519  clim2ser2  11520  isermulc2  11522  iserle  11524  climserle  11527  climrecvg1n  11530  climcvg1nlem  11531  summodclem3  11562  summodclem2a  11563  fsumgcl  11568  fsum3  11569  fsumf1o  11572  isumss  11573  fisumss  11574  fsumcl2lem  11580  fsumadd  11588  isumclim3  11605  isummulc2  11608  isumrecl  11611  isumadd  11613  fsummulc2  11630  iserabs  11657  cvgcmpub  11658  isumshft  11672  isumsplit  11673  mertensabs  11719  clim2prod  11721  clim2divap  11722  prodfap0  11727  prodfdivap  11729  prodmodclem3  11757  prodmodclem2a  11758  fprodseq  11765  fprodf1o  11770  prodssdc  11771  fprodssdc  11772  fprodmul  11773  efcj  11855  nninfctlemfo  12232  nn0seqcvgd  12234  algrp1  12239  alginv  12240  algcvg  12241  algcvga  12244  algfx  12245  eucalgcvga  12251  eulerthlem1  12420  eulerthlemh  12424  eulerthlemth  12425  pcmptcl  12536  pcmpt  12537  1arithlem4  12560  nninfdclemf1  12694  prdsplusgsgrpcl  13116  prdssgrpd  13117  prdsplusgcl  13148  prdsidlem  13149  prdsmndd  13150  gsumwsubmcl  13198  gsumwmhm  13200  grpinvcl  13250  prdsinvlem  13310  pwsinvg  13314  pwssub  13315  mhmmulg  13369  ghminv  13456  gsumfzreidx  13543  gsumfzsubmcl  13544  gsumfzmptfidmadd  13545  gsumfzmhm  13549  rhmdvdsr  13807  psrlinv  14312  psr1clfi  14316  cnptoprest2  14560  lmss  14566  txcnmpt  14593  txlm  14599  lmcn2  14600  psmetxrge0  14652  metcnp  14832  climcncf  14904  negfcncf  14926  ivthdec  14964  ivthreinc  14965  dvcnp2cntop  15019  dvaddxxbr  15021  dvimulf  15026  dvcj  15029  dvfre  15030  elply2  15055  plyaddlem1  15067  plymullem1  15068  plycolemc  15078  plyco  15079  dvply2g  15086  lgscllem  15332  lgsfle1  15334  lgsval4a  15347  lgsneg  15349  lgsdir  15360  lgsdilem2  15361  lgsdi  15362  lgsne0  15363  nninfall  15740  nninffeq  15751  refeq  15759  trilpolemclim  15767  trilpolemcl  15768  trilpolemisumle  15769  trilpolemeq1  15771  iswomni0  15782