Theorem ffvelcdmda 5843

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdmda	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdmda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffvelcdm 5841	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385

This theorem is used by:  ffvelcdmd  5844  f1ocnvdm  5987  foeqcnvco  5996  f1oiso2  6033  offeq  6316  suppssof1  6320  ofco  6321  caofref  6327  caofinvl  6328  caofid0l  6329  caofid0r  6330  caofid1  6331  caofid2  6332  caofcom  6333  caofrss  6334  caoftrn  6335  caofdig  6336  suppssrst  6501  suppssrgst  6502  suppofss1dcl  6504  suppofss2dcl  6505  smofvon2dm  6567  smofvon  6570  pw2f1odclem  7134  mapxpen  7148  xpmapenlem  7149  en2eqpr  7214  supisoex  7349  ordiso2  7375  omp1eomlem  7434  ctssdccl  7451  ctssdc  7453  enumctlemm  7454  enomnilem  7478  fodjuomnilemdc  7484  ismkvnex  7495  enmkvlem  7501  enwomnilem  7509  nninfwlporlemd  7512  nninfwlporlem  7513  nninfwlpoimlemginf  7516  cc3  7634  cauappcvgprlemladdru  8023  cauappcvgprlemladdrl  8024  caucvgprlemladdrl  8045  caucvgprprlemopu  8066  caucvgprprlemexbt  8073  caucvgprprlemexb  8074  caucvgsrlemcl  8156  caucvgsrlemfv  8158  caucvgsrlemcau  8160  caucvgsrlembound  8161  caucvgsrlemoffval  8163  caucvgsrlemofff  8164  caucvgsrlemoffgt1  8166  caucvgsrlemoffres  8167  caucvgsr  8169  axcaucvglemcl  8262  ofnegsub  9292  frecuzrdgfunlem  10856  monoord2  10923  seq3f1o  10954  seqf1oglem2  10957  seqf1og  10958  seq3homo  10964  seqfeq3  10966  zfz1isolemiso  11291  seq3coll  11294  wrdsymbcl  11318  ccatcl  11361  resqrexlemfp1  11775  resqrexlemover  11776  resqrexlemdec  11777  resqrexlemlo  11779  resqrexlemcalc1  11780  resqrexlemcalc2  11781  resqrexlemcalc3  11782  resqrexlemgt0  11786  resqrexlemsqa  11790  clim2ser  12103  clim2ser2  12104  isermulc2  12106  iserle  12108  climserle  12111  climrecvg1n  12114  climcvg1nlem  12115  summodclem3  12147  summodclem2a  12148  fsumgcl  12153  fsum3  12154  fsumf1o  12157  isumss  12158  fisumss  12159  fsumcl2lem  12165  fsumadd  12173  isumclim3  12190  isummulc2  12193  isumrecl  12196  isumadd  12198  fsummulc2  12215  iserabs  12242  cvgcmpub  12243  isumshft  12257  isumsplit  12258  mertensabs  12304  clim2prod  12306  clim2divap  12307  prodfap0  12312  prodfdivap  12314  prodmodclem3  12342  prodmodclem2a  12343  fprodseq  12350  fprodf1o  12355  prodssdc  12356  fprodssdc  12357  fprodmul  12358  efcj  12440  nninfctlemfo  12817  nn0seqcvgd  12819  algrp1  12824  alginv  12825  algcvg  12826  algcvga  12829  algfx  12830  eucalgcvga  12836  eulerthlem1  13005  eulerthlemh  13009  eulerthlemth  13010  pcmptcl  13121  pcmpt  13122  1arithlem4  13145  nninfdclemf1  13343  gzsumwsubmcl  13801  gzsumwmhm  13803  grpinvcl  13853  mhmmulg  13966  ghminv  14053  gzsumreidx  14141  gzsumsubmcl  14142  gzsummhm  14145  gsumf1ofi  14160  prdsplusgsgrpcl  14190  prdssgrpd  14191  prdsplusgcl  14192  prdsidlem  14193  prdsmndd  14194  prdsinvlem  14196  pwsinvg  14215  pwssub  14216  rhmdvdsr  14482  rrgsupp  14574  ascldimul  15031  psrbagcon  15062  psrbagconf1o  15064  psrlinv  15075  psr1clfi  15079  mplsubgfilemcl  15090  cnptoprest2  15341  lmss  15347  txcnmpt  15374  txlm  15380  lmcn2  15381  psmetxrge0  15433  metcnp  15613  climcncf  15685  negfcncf  15707  ivthdec  15745  ivthreinc  15746  dvcnp2cntop  15800  dvaddxxbr  15802  dvimulf  15807  dvcj  15810  dvfre  15811  elply2  15836  plyaddlem1  15848  plymullem1  15849  plycolemc  15859  plyco  15860  dvply2g  15867  lgscllem  16126  lgsfle1  16128  lgsval4a  16141  lgsneg  16143  lgsdir  16154  lgsdilem2  16155  lgsdi  16156  lgsne0  16157  uhgrss  16316  uhgrm  16319  upgrss  16340  upgrm  16341  upgr1or2  16342  umgredg2en  16350  lfgredg2dom  16373  usgrss  16418  depindlem1  16747  depindlem2  16748  pw1map  17025  nninfall  17052  nninffeq  17063  refeq  17073  trilpolemclim  17085  trilpolemcl  17086  trilpolemisumle  17087  trilpolemeq1  17089  iswomni0  17101