Theorem strslfv 12003

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 11965). By virtue of ndxslid 11984, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strslfv.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strslfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strslfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strslfv.e	. 2 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
3		structex 11971	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
4	2, 3	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
5	2	structfun 11977	. . 3 ⊢ Fun ◡◡𝑆
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → Fun ◡◡𝑆)
7		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
8	1	simpri 112	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
9		opexg 4150	. . . . 5 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
10	8, 9	mpan 420	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
11		snssg 3656	. . . 4 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆))
12	10, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆))
13	7, 12	mpbiri 167	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
14		id 19	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ 𝑉)
15	1, 4, 6, 13, 14	strslfv2d 12001	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071  {csn 3527  ⟨cop 3530   class class class wbr 3929  ^◡ccnv 4538  Fun wfun 5117  ‘cfv 5123  ℕcn 8720   Struct cstr 11955  ndxcnx 11956  Slot cslot 11958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-struct 11961  df-slot 11963

This theorem is referenced by:  strslfv3  12004