Theorem xnn0xr 9045

Description: An extended nonnegative integer is an extended real. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xr	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnn0xr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 9042	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
2		nn0re 8986	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 7815	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 7818	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		eleq1 2202	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
6	4, 5	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	3, 6	jaoi 705	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	1, 7	sylbi 120	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  +∞cpnf 7797  ℝ^*cxr 7799  ℕ₀cn0 8977  ℕ₀^*cxnn0 9040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-un 4355  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717  ax-rnegex 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-pnf 7802  df-xr 7804  df-inn 8721  df-n0 8978  df-xnn0 9041

This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  9052