Theorem mpets2 39585

Description: Member Partition-Equivalence Theorem with binary relations, cf. mpet2 39584. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mpets2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((◡ E ↾ 𝐴) Parts 𝐴 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) Ers 𝐴))

Proof of Theorem mpets2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpet2 39584	. 2 ⊢ ((◡ E ↾ 𝐴) Part 𝐴 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ErALTV 𝐴)
2		cnvepresex 38966	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3		brpartspart 39506	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V) → ((◡ E ↾ 𝐴) Parts 𝐴 ↔ (◡ E ↾ 𝐴) Part 𝐴))
4	2, 3	mpdan 699	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((◡ E ↾ 𝐴) Parts 𝐴 ↔ (◡ E ↾ 𝐴) Part 𝐴))
5		1cosscnvepresex 39141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
6		brerser 39392	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V) → ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) Ers 𝐴 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ErALTV 𝐴))
7	5, 6	mpdan 699	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) Ers 𝐴 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ErALTV 𝐴))
8	4, 7	bibi12d 348	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((◡ E ↾ 𝐴) Parts 𝐴 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) Ers 𝐴) ↔ ((◡ E ↾ 𝐴) Part 𝐴 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ErALTV 𝐴)))
9	1, 8	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((◡ E ↾ 𝐴) Parts 𝐴 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) Ers 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5110   E cep 5562  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665   ≀ ccoss 38813   Ers cers 38838   ErALTV werALTV 38839   Parts cparts 38853   Part wpart 38854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-eprel 5563  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ec 8697  df-qs 8701  df-rels 39070  df-coss 39131  df-coels 39132  df-ssr 39208  df-refs 39220  df-refrels 39221  df-refrel 39222  df-cnvrefs 39235  df-cnvrefrels 39236  df-cnvrefrel 39237  df-syms 39252  df-symrels 39253  df-symrel 39254  df-trs 39286  df-trrels 39287  df-trrel 39288  df-eqvrels 39298  df-eqvrel 39299  df-coeleqvrel 39301  df-dmqss 39352  df-dmqs 39353  df-ers 39378  df-erALTV 39379  df-comember 39381  df-funALTV 39397  df-disjss 39418  df-disjs 39419  df-disjALTV 39420  df-eldisj 39422  df-parts 39498  df-part 39499  df-membpart 39501

This theorem is referenced by:  mpets  39586