Theorem mpets2 38828

Description: Member Partition-Equivalence Theorem with binary relations, cf. mpet2 38827. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mpets2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((◡ E ↾ 𝐴) Parts 𝐴 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) Ers 𝐴))

Proof of Theorem mpets2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpet2 38827	. 2 ⊢ ((◡ E ↾ 𝐴) Part 𝐴 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ErALTV 𝐴)
2		cnvepresex 38313	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3		brpartspart 38760	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V) → ((◡ E ↾ 𝐴) Parts 𝐴 ↔ (◡ E ↾ 𝐴) Part 𝐴))
4	2, 3	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((◡ E ↾ 𝐴) Parts 𝐴 ↔ (◡ E ↾ 𝐴) Part 𝐴))
5		1cosscnvepresex 38407	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
6		brerser 38664	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V) → ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) Ers 𝐴 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ErALTV 𝐴))
7	5, 6	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) Ers 𝐴 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ErALTV 𝐴))
8	4, 7	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((◡ E ↾ 𝐴) Parts 𝐴 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) Ers 𝐴) ↔ ((◡ E ↾ 𝐴) Part 𝐴 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ErALTV 𝐴)))
9	1, 8	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((◡ E ↾ 𝐴) Parts 𝐴 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) Ers 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5109   E cep 5539  ^◡ccnv 5639   ↾ cres 5642   ≀ ccoss 38164   Ers cers 38189   ErALTV werALTV 38190   Parts cparts 38202   Part wpart 38203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-eprel 5540  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ec 8675  df-qs 8679  df-coss 38397  df-coels 38398  df-rels 38471  df-ssr 38484  df-refs 38496  df-refrels 38497  df-refrel 38498  df-cnvrefs 38511  df-cnvrefrels 38512  df-cnvrefrel 38513  df-syms 38528  df-symrels 38529  df-symrel 38530  df-trs 38558  df-trrels 38559  df-trrel 38560  df-eqvrels 38570  df-eqvrel 38571  df-coeleqvrel 38573  df-dmqss 38624  df-dmqs 38625  df-ers 38650  df-erALTV 38651  df-comember 38653  df-funALTV 38669  df-disjss 38690  df-disjs 38691  df-disjALTV 38692  df-eldisj 38694  df-parts 38752  df-part 38753  df-membpart 38755

This theorem is referenced by:  mpets  38829