Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elcoeleqvrelsrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcoeleqvrelsrel 37087
Description: For sets, being an element of the class of coelement equivalence relations is equivalent to satisfying the coelement equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
elcoeleqvrelsrel (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))

Proof of Theorem elcoeleqvrelsrel
StepHypRef Expression
1 elcoeleqvrels 37086 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ))
2 1cosscnvepresex 36912 . . . 4 (𝐴𝑉 → ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ V)
3 eleqvrelsrel 37085 . . . 4 ( ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ V → ( ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴)))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴𝑉 → ( ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴)))
51, 4bitrd 279 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴)))
6 df-coeleqvrel 37078 . 2 ( CoElEqvRel 𝐴 ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴))
75, 6bitr4di 289 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2107  Vcvv 3448   E cep 5541  ccnv 5637  cres 5640  ccoss 36663   EqvRels ceqvrels 36679   EqvRel weqvrel 36680   CoElEqvRels ccoeleqvrels 36681   CoElEqvRel wcoeleqvrel 36682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-eprel 5542  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-coss 36902  df-rels 36976  df-ssr 36989  df-refs 37001  df-refrels 37002  df-refrel 37003  df-syms 37033  df-symrels 37034  df-symrel 37035  df-trs 37063  df-trrels 37064  df-trrel 37065  df-eqvrels 37075  df-eqvrel 37076  df-coeleqvrels 37077  df-coeleqvrel 37078
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator