Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elcoeleqvrelsrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcoeleqvrelsrel 38578
Description: For sets, being an element of the class of coelement equivalence relations is equivalent to satisfying the coelement equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
elcoeleqvrelsrel (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))

Proof of Theorem elcoeleqvrelsrel
StepHypRef Expression
1 elcoeleqvrels 38577 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ))
2 1cosscnvepresex 38403 . . . 4 (𝐴𝑉 → ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ V)
3 eleqvrelsrel 38576 . . . 4 ( ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ V → ( ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴)))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴𝑉 → ( ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴)))
51, 4bitrd 279 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴)))
6 df-coeleqvrel 38569 . 2 ( CoElEqvRel 𝐴 ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴))
75, 6bitr4di 289 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wcel 2106  Vcvv 3478   E cep 5588  ccnv 5688  cres 5691  ccoss 38162   EqvRels ceqvrels 38178   EqvRel weqvrel 38179   CoElEqvRels ccoeleqvrels 38180   CoElEqvRel wcoeleqvrel 38181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-eprel 5589  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-coss 38393  df-rels 38467  df-ssr 38480  df-refs 38492  df-refrels 38493  df-refrel 38494  df-syms 38524  df-symrels 38525  df-symrel 38526  df-trs 38554  df-trrels 38555  df-trrel 38556  df-eqvrels 38566  df-eqvrel 38567  df-coeleqvrels 38568  df-coeleqvrel 38569
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator