Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elcoeleqvrelsrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcoeleqvrelsrel 37782
Description: For sets, being an element of the class of coelement equivalence relations is equivalent to satisfying the coelement equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
elcoeleqvrelsrel (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))

Proof of Theorem elcoeleqvrelsrel
StepHypRef Expression
1 elcoeleqvrels 37781 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ))
2 1cosscnvepresex 37607 . . . 4 (𝐴𝑉 → ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ V)
3 eleqvrelsrel 37780 . . . 4 ( ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ V → ( ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴)))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴𝑉 → ( ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴)))
51, 4bitrd 279 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴)))
6 df-coeleqvrel 37773 . 2 ( CoElEqvRel 𝐴 ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴))
75, 6bitr4di 289 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2105  Vcvv 3473   E cep 5579  ccnv 5675  cres 5678  ccoss 37359   EqvRels ceqvrels 37375   EqvRel weqvrel 37376   CoElEqvRels ccoeleqvrels 37377   CoElEqvRel wcoeleqvrel 37378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-eprel 5580  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-coss 37597  df-rels 37671  df-ssr 37684  df-refs 37696  df-refrels 37697  df-refrel 37698  df-syms 37728  df-symrels 37729  df-symrel 37730  df-trs 37758  df-trrels 37759  df-trrel 37760  df-eqvrels 37770  df-eqvrel 37771  df-coeleqvrels 37772  df-coeleqvrel 37773
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator