Theorem elcoeleqvrelsrel 38992

Description: For sets, being an element of the class of coelement equivalence relations is equivalent to satisfying the coelement equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
elcoeleqvrelsrel	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))

Proof of Theorem elcoeleqvrelsrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcoeleqvrels 38991	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ))
2		1cosscnvepresex 38823	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3		eleqvrelsrel 38990	. . . 4 ⊢ ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴)))
5	1, 4	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴)))
6		df-coeleqvrel 38983	. 2 ⊢ ( CoElEqvRel 𝐴 ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴))
7	5, 6	bitr4di 289	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   E cep 5521  ^◡ccnv 5621   ↾ cres 5624   ≀ ccoss 38495   EqvRels ceqvrels 38511   EqvRel weqvrel 38512   CoElEqvRels ccoeleqvrels 38513   CoElEqvRel wcoeleqvrel 38514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5517  df-eprel 5522  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-rels 38752  df-coss 38813  df-ssr 38890  df-refs 38902  df-refrels 38903  df-refrel 38904  df-syms 38934  df-symrels 38935  df-symrel 38936  df-trs 38968  df-trrels 38969  df-trrel 38970  df-eqvrels 38980  df-eqvrel 38981  df-coeleqvrels 38982  df-coeleqvrel 38983

This theorem is referenced by: (None)