Theorem elcoeleqvrelsrel 39275

Description: For sets, being an element of the class of coelement equivalence relations is equivalent to satisfying the coelement equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
elcoeleqvrelsrel	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))

Proof of Theorem elcoeleqvrelsrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcoeleqvrels 39274	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ))
2		1cosscnvepresex 39106	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3		eleqvrelsrel 39273	. . . 4 ⊢ ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴)))
5	1, 4	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴)))
6		df-coeleqvrel 39266	. 2 ⊢ ( CoElEqvRel 𝐴 ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴))
7	5, 6	bitr4di 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   E cep 5560  ^◡ccnv 5660   ↾ cres 5663   ≀ ccoss 38778   EqvRels ceqvrels 38794   EqvRel weqvrel 38795   CoElEqvRels ccoeleqvrels 38796   CoElEqvRel wcoeleqvrel 38797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5556  df-eprel 5561  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-rels 39035  df-coss 39096  df-ssr 39173  df-refs 39185  df-refrels 39186  df-refrel 39187  df-syms 39217  df-symrels 39218  df-symrel 39219  df-trs 39251  df-trrels 39252  df-trrel 39253  df-eqvrels 39263  df-eqvrel 39264  df-coeleqvrels 39265  df-coeleqvrel 39266

This theorem is referenced by: (None)