Theorem elcoeleqvrelsrel 36636

Description: For sets, being an element of the class of coelement equivalence relations is equivalent to satisfying the coelement equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
elcoeleqvrelsrel	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))

Proof of Theorem elcoeleqvrelsrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcoeleqvrels 36635	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ))
2		1cosscnvepresex 36471	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3		eleqvrelsrel 36634	. . . 4 ⊢ ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴)))
5	1, 4	bitrd 278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴)))
6		df-coeleqvrel 36627	. 2 ⊢ ( CoElEqvRel 𝐴 ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴))
7	5, 6	bitr4di 288	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   E cep 5485  ^◡ccnv 5579   ↾ cres 5582   ≀ ccoss 36260   EqvRels ceqvrels 36276   EqvRel weqvrel 36277   CoElEqvRels ccoeleqvrels 36278   CoElEqvRel wcoeleqvrel 36279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-eprel 5486  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-coss 36464  df-rels 36530  df-ssr 36543  df-refs 36555  df-refrels 36556  df-refrel 36557  df-syms 36583  df-symrels 36584  df-symrel 36585  df-trs 36613  df-trrels 36614  df-trrel 36615  df-eqvrels 36624  df-eqvrel 36625  df-coeleqvrels 36626  df-coeleqvrel 36627

This theorem is referenced by: (None)