Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elcoeleqvrelsrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcoeleqvrelsrel 35984
 Description: For sets, being an element of the class of coelement equivalence relations is equivalent to satisfying the coelement equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
elcoeleqvrelsrel (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))

Proof of Theorem elcoeleqvrelsrel
StepHypRef Expression
1 elcoeleqvrels 35983 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ))
2 1cosscnvepresex 35819 . . . 4 (𝐴𝑉 → ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ V)
3 eleqvrelsrel 35982 . . . 4 ( ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ V → ( ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴)))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴𝑉 → ( ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴)))
51, 4bitrd 282 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴)))
6 df-coeleqvrel 35975 . 2 ( CoElEqvRel 𝐴 ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴))
75, 6syl6bbr 292 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   E cep 5432  ◡ccnv 5522   ↾ cres 5525   ≀ ccoss 35606   EqvRels ceqvrels 35622   EqvRel weqvrel 35623   CoElEqvRels ccoeleqvrels 35624   CoElEqvRel wcoeleqvrel 35625 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-eprel 5433  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-coss 35812  df-rels 35878  df-ssr 35891  df-refs 35903  df-refrels 35904  df-refrel 35905  df-syms 35931  df-symrels 35932  df-symrel 35933  df-trs 35961  df-trrels 35962  df-trrel 35963  df-eqvrels 35972  df-eqvrel 35973  df-coeleqvrels 35974  df-coeleqvrel 35975 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator