Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elcoeleqvrelsrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcoeleqvrelsrel 38598
Description: For sets, being an element of the class of coelement equivalence relations is equivalent to satisfying the coelement equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
elcoeleqvrelsrel (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))

Proof of Theorem elcoeleqvrelsrel
StepHypRef Expression
1 elcoeleqvrels 38597 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ))
2 1cosscnvepresex 38423 . . . 4 (𝐴𝑉 → ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ V)
3 eleqvrelsrel 38596 . . . 4 ( ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ V → ( ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴)))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴𝑉 → ( ≀ ( E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴)))
51, 4bitrd 279 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴)))
6 df-coeleqvrel 38589 . 2 ( CoElEqvRel 𝐴 ↔ EqvRel ≀ ( E ↾ 𝐴))
75, 6bitr4di 289 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wcel 2107  Vcvv 3479   E cep 5582  ccnv 5683  cres 5686  ccoss 38183   EqvRels ceqvrels 38199   EqvRel weqvrel 38200   CoElEqvRels ccoeleqvrels 38201   CoElEqvRel wcoeleqvrel 38202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-eprel 5583  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-coss 38413  df-rels 38487  df-ssr 38500  df-refs 38512  df-refrels 38513  df-refrel 38514  df-syms 38544  df-symrels 38545  df-symrel 38546  df-trs 38574  df-trrels 38575  df-trrel 38576  df-eqvrels 38586  df-eqvrel 38587  df-coeleqvrels 38588  df-coeleqvrel 38589
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator