Theorem elcoeleqvrelsrel 38989

Description: For sets, being an element of the class of coelement equivalence relations is equivalent to satisfying the coelement equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
elcoeleqvrelsrel	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))

Proof of Theorem elcoeleqvrelsrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcoeleqvrels 38988	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ))
2		1cosscnvepresex 38820	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3		eleqvrelsrel 38987	. . . 4 ⊢ ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴)))
5	1, 4	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴)))
6		df-coeleqvrel 38980	. 2 ⊢ ( CoElEqvRel 𝐴 ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴))
7	5, 6	bitr4di 289	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427   E cep 5519  ^◡ccnv 5619   ↾ cres 5622   ≀ ccoss 38492   EqvRels ceqvrels 38508   EqvRel weqvrel 38509   CoElEqvRels ccoeleqvrels 38510   CoElEqvRel wcoeleqvrel 38511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5515  df-eprel 5520  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-rels 38749  df-coss 38810  df-ssr 38887  df-refs 38899  df-refrels 38900  df-refrel 38901  df-syms 38931  df-symrels 38932  df-symrel 38933  df-trs 38965  df-trrels 38966  df-trrel 38967  df-eqvrels 38977  df-eqvrel 38978  df-coeleqvrels 38979  df-coeleqvrel 38980

This theorem is referenced by: (None)