Theorem elcoeleqvrelsrel 39184

Description: For sets, being an element of the class of coelement equivalence relations is equivalent to satisfying the coelement equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
elcoeleqvrelsrel	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))

Proof of Theorem elcoeleqvrelsrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcoeleqvrels 39183	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ))
2		1cosscnvepresex 39015	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3		eleqvrelsrel 39182	. . . 4 ⊢ ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( ≀ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ EqvRels ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴)))
5	1, 4	bitrd 281	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴)))
6		df-coeleqvrel 39175	. 2 ⊢ ( CoElEqvRel 𝐴 ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴))
7	5, 6	bitr4di 291	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ CoElEqvRels ↔ CoElEqvRel 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   E cep 5548  ^◡ccnv 5648   ↾ cres 5651   ≀ ccoss 38687   EqvRels ceqvrels 38703   EqvRel weqvrel 38704   CoElEqvRels ccoeleqvrels 38705   CoElEqvRel wcoeleqvrel 38706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5544  df-eprel 5549  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-rels 38944  df-coss 39005  df-ssr 39082  df-refs 39094  df-refrels 39095  df-refrel 39096  df-syms 39126  df-symrels 39127  df-symrel 39128  df-trs 39160  df-trrels 39161  df-trrel 39162  df-eqvrels 39172  df-eqvrel 39173  df-coeleqvrels 39174  df-coeleqvrel 39175

This theorem is referenced by: (None)