Theorem 4onn 8692

Description: The ordinal 4 is a natural number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
4onn	⊢ 4o ∈ ω

Proof of Theorem 4onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4o 8517	. 2 ⊢ 4o = suc 3o
2		3onn 8691	. . 3 ⊢ 3o ∈ ω
3		peano2 7935	. . 3 ⊢ (3o ∈ ω → suc 3o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 3o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2860	1 ⊢ 4o ∈ ω

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  suc csuc 6390  ωcom 7911  3_oc3o 8509  4_oc4o 8510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-om 7912  df-1o 8514  df-2o 8515  df-3o 8516  df-4o 8517

This theorem is used by:  5onn  35909  4finon  44714