Theorem 4onn 8573

Description: The ordinal 4 is a natural number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
4onn	⊢ 4o ∈ ω

Proof of Theorem 4onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4o 8400	. 2 ⊢ 4o = suc 3o
2		3onn 8572	. . 3 ⊢ 3o ∈ ω
3		peano2 7832	. . 3 ⊢ (3o ∈ ω → suc 3o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 3o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2832	1 ⊢ 4o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  suc csuc 6319  ωcom 7808  3_oc3o 8392  4_oc4o 8393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-om 7809  df-1o 8397  df-2o 8398  df-3o 8399  df-4o 8400

This theorem is referenced by:  4finon  43693