Theorem 4onn 8571

Description: The ordinal 4 is a natural number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
4onn	⊢ 4o ∈ ω

Proof of Theorem 4onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4o 8398	. 2 ⊢ 4o = suc 3o
2		3onn 8570	. . 3 ⊢ 3o ∈ ω
3		peano2 7830	. . 3 ⊢ (3o ∈ ω → suc 3o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 3o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2835	1 ⊢ 4o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  suc csuc 6312  ωcom 7806  3_oc3o 8390  4_oc4o 8391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-om 7807  df-1o 8395  df-2o 8396  df-3o 8397  df-4o 8398

This theorem is referenced by:  4finon  43896