Theorem peano2 7887

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 7880	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
2	1	biimpi 219	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  suc csuc 6364  ωcom 7863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-tr 5220  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-om 7864

This theorem is referenced by:  onnseq  8332  seqomlem1  8438  seqomlem4  8441  onasuc  8514  onmsuc  8515  onesuc  8516  o2p2e4  8527  nnacl  8598  nnecl  8600  nnacom  8604  nnmsucr  8612  nnaordex2  8626  1onnALT  8628  2onnALT  8630  3onn  8631  4onn  8632  nnneo  8642  nneob  8643  omopthlem1  8646  eldifsucnn  8651  findcard  9149  unfi  9156  phplem1  9189  php  9192  dif1ennnALT  9238  unbnn2  9258  dffi3  9392  wofib  9508  axinf2  9610  dfom3  9617  noinfep  9630  cantnflt  9642  ttrcltr  9686  ttrclss  9690  ttrclselem2  9696  trcl  9698  cardsucnn  9972  harsucnn  9985  dif1card  9995  fseqdom  10011  alephfp  10093  ackbij1lem5  10207  ackbij1lem16  10218  ackbij2lem2  10223  ackbij2lem3  10224  ackbij2  10226  sornom  10262  infpssrlem4  10291  fin23lem26  10310  fin23lem20  10322  fin23lem38  10334  fin23lem39  10335  isf32lem2  10339  isf32lem3  10340  isf34lem7  10364  isf34lem6  10365  fin1a2lem6  10390  fin1a2lem9  10393  fin1a2lem12  10396  domtriomlem  10427  axdc2lem  10433  axdc3lem  10435  axdc3lem2  10436  axdc3lem4  10438  axdc4lem  10440  axdclem2  10505  peano2nn  12246  om2uzrani  13990  uzrdgsuci  13998  fzennn  14006  axdc4uzlem  14021  precsexlem4  28384  precsexlem5  28385  precsexlem11  28391  noseqp1  28465  om2noseqlt  28473  noseqrdgsuc  28482  n0bday  28526  dfnns2  28546  z12bdaylem  28658  constrextdg2lem  34119  bnj970  35316  fineqvnttrclselem3  35517  noinfepfnregs  35526  noinfepregs  35527  kardnnfi  35563  satfvsuc  35834  satfvsucsuc  35838  gonarlem  35867  goalrlem  35869  satffunlem2lem2  35879  satffunlem2  35881  ex-sategoelelomsuc  35899  elhf2  36648  0hf  36650  hfsn  36652  hfpw  36658  neibastop2lem  36852  ttctr  36985  dfttc2g  36998  mh-inf3f1  37033  exrecfnlem  38006  finxpsuclem  38024  domalom  38031  onexoegt  43954  nnoeomeqom  44022  nna1iscard  44254  orbitcl  45649  omssaxinf2  45680