Theorem peano2 7876

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 7867	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
2	1	biimpi 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  suc csuc 6363  ωcom 7850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-om 7851

This theorem is referenced by:  onnseq  8339  seqomlem1  8445  seqomlem4  8448  onasuc  8523  onmsuc  8524  onesuc  8525  o2p2e4  8536  nnacl  8607  nnecl  8609  nnacom  8613  nnmsucr  8621  1onnALT  8636  2onnALT  8638  3onn  8639  4onn  8640  nnneo  8650  nneob  8651  omopthlem1  8654  eldifsucnn  8659  findcard  9159  unfi  9168  phplem1  9203  php  9206  onomeneqOLD  9225  dif1ennnALT  9273  findcard2OLD  9280  unbnn2  9296  dffi3  9422  wofib  9536  axinf2  9631  dfom3  9638  noinfep  9651  cantnflt  9663  ttrcltr  9707  ttrclss  9711  ttrclselem2  9717  trcl  9719  cardsucnn  9976  harsucnn  9989  dif1card  10001  fseqdom  10017  alephfp  10099  ackbij1lem5  10215  ackbij1lem16  10226  ackbij2lem2  10231  ackbij2lem3  10232  ackbij2  10234  sornom  10268  infpssrlem4  10297  fin23lem26  10316  fin23lem20  10328  fin23lem38  10340  fin23lem39  10341  isf32lem2  10345  isf32lem3  10346  isf34lem7  10370  isf34lem6  10371  fin1a2lem6  10396  fin1a2lem9  10399  fin1a2lem12  10402  domtriomlem  10433  axdc2lem  10439  axdc3lem  10441  axdc3lem2  10442  axdc3lem4  10444  axdc4lem  10446  axdclem2  10511  peano2nn  12220  om2uzrani  13913  uzrdgsuci  13921  fzennn  13929  axdc4uzlem  13944  precsexlem4  27636  precsexlem5  27637  precsexlem11  27643  bnj970  33896  satfvsuc  34290  satfvsucsuc  34294  gonarlem  34323  goalrlem  34325  satffunlem2lem2  34335  satffunlem2  34337  ex-sategoelelomsuc  34355  elhf2  35085  0hf  35087  hfsn  35089  hfpw  35095  neibastop2lem  35183  exrecfnlem  36198  finxpsuclem  36216  domalom  36223  onexoegt  41926  nnoeomeqom  41995  nna1iscard  42229