Theorem peano2 7883

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 7874	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
2	1	biimpi 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  suc csuc 6366  ωcom 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-om 7858

This theorem is referenced by:  onnseq  8346  seqomlem1  8452  seqomlem4  8455  onasuc  8530  onmsuc  8531  onesuc  8532  o2p2e4  8543  nnacl  8613  nnecl  8615  nnacom  8619  nnmsucr  8627  1onnALT  8642  2onnALT  8644  3onn  8645  4onn  8646  nnneo  8656  nneob  8657  omopthlem1  8660  eldifsucnn  8665  findcard  9165  unfi  9174  phplem1  9209  php  9212  onomeneqOLD  9231  dif1ennnALT  9279  findcard2OLD  9286  unbnn2  9302  dffi3  9428  wofib  9542  axinf2  9637  dfom3  9644  noinfep  9657  cantnflt  9669  ttrcltr  9713  ttrclss  9717  ttrclselem2  9723  trcl  9725  cardsucnn  9982  harsucnn  9995  dif1card  10007  fseqdom  10023  alephfp  10105  ackbij1lem5  10221  ackbij1lem16  10232  ackbij2lem2  10237  ackbij2lem3  10238  ackbij2  10240  sornom  10274  infpssrlem4  10303  fin23lem26  10322  fin23lem20  10334  fin23lem38  10346  fin23lem39  10347  isf32lem2  10351  isf32lem3  10352  isf34lem7  10376  isf34lem6  10377  fin1a2lem6  10402  fin1a2lem9  10405  fin1a2lem12  10408  domtriomlem  10439  axdc2lem  10445  axdc3lem  10447  axdc3lem2  10448  axdc3lem4  10450  axdc4lem  10452  axdclem2  10517  peano2nn  12228  om2uzrani  13921  uzrdgsuci  13929  fzennn  13937  axdc4uzlem  13952  precsexlem4  27883  precsexlem5  27884  precsexlem11  27890  peano2n0s  27928  bnj970  34244  satfvsuc  34638  satfvsucsuc  34642  gonarlem  34671  goalrlem  34673  satffunlem2lem2  34683  satffunlem2  34685  ex-sategoelelomsuc  34703  elhf2  35439  0hf  35441  hfsn  35443  hfpw  35449  neibastop2lem  35548  exrecfnlem  36563  finxpsuclem  36581  domalom  36588  onexoegt  42295  nnoeomeqom  42364  nna1iscard  42598