Theorem peano2 7881

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 7872	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
2	1	biimpi 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  suc csuc 6367  ωcom 7855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-om 7856

This theorem is referenced by:  onnseq  8344  seqomlem1  8450  seqomlem4  8453  onasuc  8528  onmsuc  8529  onesuc  8530  o2p2e4  8541  nnacl  8611  nnecl  8613  nnacom  8617  nnmsucr  8625  1onnALT  8640  2onnALT  8642  3onn  8643  4onn  8644  nnneo  8654  nneob  8655  omopthlem1  8658  eldifsucnn  8663  findcard  9163  unfi  9172  phplem1  9207  php  9210  onomeneqOLD  9229  dif1ennnALT  9277  findcard2OLD  9284  unbnn2  9300  dffi3  9426  wofib  9540  axinf2  9635  dfom3  9642  noinfep  9655  cantnflt  9667  ttrcltr  9711  ttrclss  9715  ttrclselem2  9721  trcl  9723  cardsucnn  9980  harsucnn  9993  dif1card  10005  fseqdom  10021  alephfp  10103  ackbij1lem5  10219  ackbij1lem16  10230  ackbij2lem2  10235  ackbij2lem3  10236  ackbij2  10238  sornom  10272  infpssrlem4  10301  fin23lem26  10320  fin23lem20  10332  fin23lem38  10344  fin23lem39  10345  isf32lem2  10349  isf32lem3  10350  isf34lem7  10374  isf34lem6  10375  fin1a2lem6  10400  fin1a2lem9  10403  fin1a2lem12  10406  domtriomlem  10437  axdc2lem  10443  axdc3lem  10445  axdc3lem2  10446  axdc3lem4  10448  axdc4lem  10450  axdclem2  10515  peano2nn  12224  om2uzrani  13917  uzrdgsuci  13925  fzennn  13933  axdc4uzlem  13948  precsexlem4  27659  precsexlem5  27660  precsexlem11  27666  peano2n0s  27704  bnj970  33989  satfvsuc  34383  satfvsucsuc  34387  gonarlem  34416  goalrlem  34418  satffunlem2lem2  34428  satffunlem2  34430  ex-sategoelelomsuc  34448  elhf2  35178  0hf  35180  hfsn  35182  hfpw  35188  neibastop2lem  35293  exrecfnlem  36308  finxpsuclem  36326  domalom  36333  onexoegt  42041  nnoeomeqom  42110  nna1iscard  42344