MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2 7601
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2
StepHypRef Expression
1 peano2b 7595 . 2 (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
21biimpi 218 1 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  suc csuc 6192  ωcom 7579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pr 5329  ax-un 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-tr 5172  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-om 7580
This theorem is referenced by:  onnseq  7980  seqomlem1  8085  seqomlem4  8088  onasuc  8152  onmsuc  8153  onesuc  8154  o2p2e4  8165  nnacl  8236  nnecl  8238  nnacom  8242  nnmsucr  8250  1onn  8264  2onn  8265  3onn  8266  4onn  8267  nnneo  8277  nneob  8278  omopthlem1  8281  onomeneq  8707  dif1en  8750  findcard  8756  findcard2  8757  unbnn2  8774  dffi3  8894  wofib  9008  axinf2  9102  dfom3  9109  noinfep  9122  cantnflt  9134  trcl  9169  cardsucnn  9413  dif1card  9435  fseqdom  9451  alephfp  9533  ackbij1lem5  9645  ackbij1lem16  9656  ackbij2lem2  9661  ackbij2lem3  9662  ackbij2  9664  sornom  9698  infpssrlem4  9727  fin23lem26  9746  fin23lem20  9758  fin23lem38  9770  fin23lem39  9771  isf32lem2  9775  isf32lem3  9776  isf34lem7  9800  isf34lem6  9801  fin1a2lem6  9826  fin1a2lem9  9829  fin1a2lem12  9832  domtriomlem  9863  axdc2lem  9869  axdc3lem  9871  axdc3lem2  9872  axdc3lem4  9874  axdc4lem  9876  axdclem2  9941  peano2nn  11649  om2uzrani  13319  uzrdgsuci  13327  fzennn  13335  axdc4uzlem  13350  bnj970  32219  satfvsuc  32608  satfvsucsuc  32612  gonarlem  32641  goalrlem  32643  satffunlem2lem2  32653  satffunlem2  32655  ex-sategoelelomsuc  32673  trpredtr  33069  elhf2  33636  0hf  33638  hfsn  33640  hfpw  33646  neibastop2lem  33708  exrecfnlem  34659  finxpsuclem  34677  domalom  34684  harsucnn  39903
  Copyright terms: Public domain W3C validator