Theorem peano2 7832

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 7825	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
2	1	biimpi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  suc csuc 6319  ωcom 7808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-om 7809

This theorem is referenced by:  onnseq  8276  seqomlem1  8381  seqomlem4  8384  onasuc  8455  onmsuc  8456  onesuc  8457  o2p2e4  8468  nnacl  8539  nnecl  8541  nnacom  8545  nnmsucr  8553  nnaordex2  8567  1onnALT  8569  2onnALT  8571  3onn  8572  4onn  8573  nnneo  8583  nneob  8584  omopthlem1  8587  eldifsucnn  8592  findcard  9088  unfi  9095  phplem1  9128  php  9131  dif1ennnALT  9177  unbnn2  9197  dffi3  9334  wofib  9450  axinf2  9549  dfom3  9556  noinfep  9569  cantnflt  9581  ttrcltr  9625  ttrclss  9629  ttrclselem2  9635  trcl  9637  cardsucnn  9897  harsucnn  9910  dif1card  9920  fseqdom  9936  alephfp  10018  ackbij1lem5  10133  ackbij1lem16  10144  ackbij2lem2  10149  ackbij2lem3  10150  ackbij2  10152  sornom  10187  infpssrlem4  10216  fin23lem26  10235  fin23lem20  10247  fin23lem38  10259  fin23lem39  10260  isf32lem2  10264  isf32lem3  10265  isf34lem7  10289  isf34lem6  10290  fin1a2lem6  10315  fin1a2lem9  10318  fin1a2lem12  10321  domtriomlem  10352  axdc2lem  10358  axdc3lem  10360  axdc3lem2  10361  axdc3lem4  10363  axdc4lem  10365  axdclem2  10430  peano2nn  12157  om2uzrani  13875  uzrdgsuci  13883  fzennn  13891  axdc4uzlem  13906  precsexlem4  28206  precsexlem5  28207  precsexlem11  28213  noseqp1  28287  om2noseqlt  28295  noseqrdgsuc  28304  n0bday  28348  dfnns2  28368  z12bdaylem  28480  constrextdg2lem  33905  bnj970  35103  fineqvnttrclselem3  35279  noinfepfnregs  35288  noinfepregs  35289  satfvsuc  35555  satfvsucsuc  35559  gonarlem  35588  goalrlem  35590  satffunlem2lem2  35600  satffunlem2  35602  ex-sategoelelomsuc  35620  elhf2  36369  0hf  36371  hfsn  36373  hfpw  36379  neibastop2lem  36554  exrecfnlem  37584  finxpsuclem  37602  domalom  37609  onexoegt  43486  nnoeomeqom  43554  nna1iscard  43786  orbitcl  45198  omssaxinf2  45229