Theorem peano2 7582

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 7576	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
2	1	biimpi 219	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  suc csuc 6161  ωcom 7560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-om 7561

This theorem is referenced by:  onnseq  7964  seqomlem1  8069  seqomlem4  8072  onasuc  8136  onmsuc  8137  onesuc  8138  o2p2e4  8149  nnacl  8220  nnecl  8222  nnacom  8226  nnmsucr  8234  1onn  8248  2onn  8249  3onn  8250  4onn  8251  nnneo  8261  nneob  8262  omopthlem1  8265  onomeneq  8693  dif1en  8735  findcard  8741  findcard2  8742  unbnn2  8759  dffi3  8879  wofib  8993  axinf2  9087  dfom3  9094  noinfep  9107  cantnflt  9119  trcl  9154  cardsucnn  9398  harsucnn  9411  dif1card  9421  fseqdom  9437  alephfp  9519  ackbij1lem5  9635  ackbij1lem16  9646  ackbij2lem2  9651  ackbij2lem3  9652  ackbij2  9654  sornom  9688  infpssrlem4  9717  fin23lem26  9736  fin23lem20  9748  fin23lem38  9760  fin23lem39  9761  isf32lem2  9765  isf32lem3  9766  isf34lem7  9790  isf34lem6  9791  fin1a2lem6  9816  fin1a2lem9  9819  fin1a2lem12  9822  domtriomlem  9853  axdc2lem  9859  axdc3lem  9861  axdc3lem2  9862  axdc3lem4  9864  axdc4lem  9866  axdclem2  9931  peano2nn  11637  om2uzrani  13315  uzrdgsuci  13323  fzennn  13331  axdc4uzlem  13346  bnj970  32329  satfvsuc  32721  satfvsucsuc  32725  gonarlem  32754  goalrlem  32756  satffunlem2lem2  32766  satffunlem2  32768  ex-sategoelelomsuc  32786  trpredtr  33182  elhf2  33749  0hf  33751  hfsn  33753  hfpw  33759  neibastop2lem  33821  exrecfnlem  34796  finxpsuclem  34814  domalom  34821