Theorem peano2 7841

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 7834	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
2	1	biimpi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  suc csuc 6325  ωcom 7817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-om 7818

This theorem is referenced by:  onnseq  8284  seqomlem1  8389  seqomlem4  8392  onasuc  8463  onmsuc  8464  onesuc  8465  o2p2e4  8476  nnacl  8547  nnecl  8549  nnacom  8553  nnmsucr  8561  nnaordex2  8575  1onnALT  8577  2onnALT  8579  3onn  8580  4onn  8581  nnneo  8591  nneob  8592  omopthlem1  8595  eldifsucnn  8600  findcard  9098  unfi  9105  phplem1  9138  php  9141  dif1ennnALT  9187  unbnn2  9207  dffi3  9344  wofib  9460  axinf2  9561  dfom3  9568  noinfep  9581  cantnflt  9593  ttrcltr  9637  ttrclss  9641  ttrclselem2  9647  trcl  9649  cardsucnn  9909  harsucnn  9922  dif1card  9932  fseqdom  9948  alephfp  10030  ackbij1lem5  10145  ackbij1lem16  10156  ackbij2lem2  10161  ackbij2lem3  10162  ackbij2  10164  sornom  10199  infpssrlem4  10228  fin23lem26  10247  fin23lem20  10259  fin23lem38  10271  fin23lem39  10272  isf32lem2  10276  isf32lem3  10277  isf34lem7  10301  isf34lem6  10302  fin1a2lem6  10327  fin1a2lem9  10330  fin1a2lem12  10333  domtriomlem  10364  axdc2lem  10370  axdc3lem  10372  axdc3lem2  10373  axdc3lem4  10375  axdc4lem  10377  axdclem2  10442  peano2nn  12186  om2uzrani  13914  uzrdgsuci  13922  fzennn  13930  axdc4uzlem  13945  precsexlem4  28202  precsexlem5  28203  precsexlem11  28209  noseqp1  28283  om2noseqlt  28291  noseqrdgsuc  28300  n0bday  28344  dfnns2  28364  z12bdaylem  28476  constrextdg2lem  33892  bnj970  35089  fineqvnttrclselem3  35267  noinfepfnregs  35276  noinfepregs  35277  satfvsuc  35543  satfvsucsuc  35547  gonarlem  35576  goalrlem  35578  satffunlem2lem2  35588  satffunlem2  35590  ex-sategoelelomsuc  35608  elhf2  36357  0hf  36359  hfsn  36361  hfpw  36367  neibastop2lem  36542  ttctr  36675  dfttc2g  36688  mh-inf3f1  36723  exrecfnlem  37695  finxpsuclem  37713  domalom  37720  onexoegt  43672  nnoeomeqom  43740  nna1iscard  43972  orbitcl  45384  omssaxinf2  45415