Theorem peano2 7711

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 7704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
2	1	biimpi 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  suc csuc 6253  ωcom 7687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2156  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-om 7688

This theorem is referenced by:  onnseq  8146  seqomlem1  8251  seqomlem4  8254  onasuc  8320  onmsuc  8321  onesuc  8322  o2p2e4  8333  nnacl  8404  nnecl  8406  nnacom  8410  nnmsucr  8418  1onn  8432  2onn  8433  3onn  8434  4onn  8435  nnneo  8445  nneob  8446  omopthlem1  8449  findcard  8908  unfi  8917  onomeneq  8943  dif1enALT  8980  findcard2OLD  8986  unbnn2  9001  dffi3  9120  wofib  9234  axinf2  9328  dfom3  9335  noinfep  9348  cantnflt  9360  trpredtr  9408  trcl  9417  cardsucnn  9674  harsucnn  9687  dif1card  9697  fseqdom  9713  alephfp  9795  ackbij1lem5  9911  ackbij1lem16  9922  ackbij2lem2  9927  ackbij2lem3  9928  ackbij2  9930  sornom  9964  infpssrlem4  9993  fin23lem26  10012  fin23lem20  10024  fin23lem38  10036  fin23lem39  10037  isf32lem2  10041  isf32lem3  10042  isf34lem7  10066  isf34lem6  10067  fin1a2lem6  10092  fin1a2lem9  10095  fin1a2lem12  10098  domtriomlem  10129  axdc2lem  10135  axdc3lem  10137  axdc3lem2  10138  axdc3lem4  10140  axdc4lem  10142  axdclem2  10207  peano2nn  11915  om2uzrani  13600  uzrdgsuci  13608  fzennn  13616  axdc4uzlem  13631  bnj970  32827  satfvsuc  33223  satfvsucsuc  33227  gonarlem  33256  goalrlem  33258  satffunlem2lem2  33268  satffunlem2  33270  ex-sategoelelomsuc  33288  eldifsucnn  33597  ttrcltr  33702  ttrclss  33706  ttrclselem2  33712  elhf2  34404  0hf  34406  hfsn  34408  hfpw  34414  neibastop2lem  34476  exrecfnlem  35477  finxpsuclem  35495  domalom  35502