MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2 7234
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2
StepHypRef Expression
1 peano2b 7229 . 2 (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
21biimpi 206 1 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145  suc csuc 5869  ωcom 7213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035  ax-un 7097
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-tr 4888  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-om 7214
This theorem is referenced by:  onnseq  7595  seqomlem1  7699  seqomlem4  7702  onasuc  7763  onmsuc  7764  onesuc  7765  nnacl  7846  nnecl  7848  nnacom  7852  nnmsucr  7860  1onn  7874  2onn  7875  3onn  7876  4onn  7877  nnneo  7886  nneob  7887  omopthlem1  7890  onomeneq  8307  dif1en  8350  findcard  8356  findcard2  8357  unbnn2  8374  dffi3  8494  wofib  8607  axinf2  8702  dfom3  8709  noinfep  8722  cantnflt  8734  trcl  8769  cardsucnn  9012  dif1card  9034  fseqdom  9050  alephfp  9132  ackbij1lem5  9249  ackbij1lem16  9260  ackbij2lem2  9265  ackbij2lem3  9266  ackbij2  9268  sornom  9302  infpssrlem4  9331  fin23lem26  9350  fin23lem20  9362  fin23lem38  9374  fin23lem39  9375  isf32lem2  9379  isf32lem3  9380  isf34lem7  9404  isf34lem6  9405  fin1a2lem6  9430  fin1a2lem9  9433  fin1a2lem12  9436  domtriomlem  9467  axdc2lem  9473  axdc3lem  9475  axdc3lem2  9476  axdc3lem4  9478  axdc4lem  9480  axdclem2  9545  peano2nn  11235  om2uzrani  12960  uzrdgsuci  12968  fzennn  12976  axdc4uzlem  12991  bnj970  31356  trpredtr  32067  elhf2  32620  0hf  32622  hfsn  32624  hfpw  32630  neibastop2lem  32693  finxpsuclem  33572
  Copyright terms: Public domain W3C validator