Theorem peano2 7366

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 7361	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
2	1	biimpi 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  suc csuc 5980  ωcom 7345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140  ax-un 7228

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-tr 4990  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-om 7346

This theorem is referenced by:  onnseq  7726  seqomlem1  7830  seqomlem4  7833  onasuc  7894  onmsuc  7895  onesuc  7896  nnacl  7977  nnecl  7979  nnacom  7983  nnmsucr  7991  1onn  8005  2onn  8006  3onn  8007  4onn  8008  nnneo  8017  nneob  8018  omopthlem1  8021  onomeneq  8440  dif1en  8483  findcard  8489  findcard2  8490  unbnn2  8507  dffi3  8627  wofib  8741  axinf2  8836  dfom3  8843  noinfep  8856  cantnflt  8868  trcl  8903  cardsucnn  9146  dif1card  9168  fseqdom  9184  alephfp  9266  ackbij1lem5  9383  ackbij1lem16  9394  ackbij2lem2  9399  ackbij2lem3  9400  ackbij2  9402  sornom  9436  infpssrlem4  9465  fin23lem26  9484  fin23lem20  9496  fin23lem38  9508  fin23lem39  9509  isf32lem2  9513  isf32lem3  9514  isf34lem7  9538  isf34lem6  9539  fin1a2lem6  9564  fin1a2lem9  9567  fin1a2lem12  9570  domtriomlem  9601  axdc2lem  9607  axdc3lem  9609  axdc3lem2  9610  axdc3lem4  9612  axdc4lem  9614  axdclem2  9679  peano2nn  11392  om2uzrani  13074  uzrdgsuci  13082  fzennn  13090  axdc4uzlem  13105  bnj970  31620  trpredtr  32322  elhf2  32875  0hf  32877  hfsn  32879  hfpw  32885  neibastop2lem  32947  finxpsuclem  33832