Theorem 3onn 8640

Description: The ordinal 3 is a natural number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
3onn	⊢ 3o ∈ ω

Proof of Theorem 3onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3o 8465	. 2 ⊢ 3o = suc 2o
2		2onn 8638	. . 3 ⊢ 2o ∈ ω
3		peano2 7878	. . 3 ⊢ (2o ∈ ω → suc 2o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 2o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2830	1 ⊢ 3o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  suc csuc 6364  ωcom 7852  2_oc2o 8457  3_oc3o 8458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-om 7853  df-1o 8463  df-2o 8464  df-3o 8465

This theorem is referenced by:  4onn  8641  hash4  14364  hash3tr  14448  oenord1ex  42051  3finon  42188