Theorem 3onn 8261

Description: The ordinal 3 is a natural number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
3onn	⊢ 3o ∈ ω

Proof of Theorem 3onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3o 8098	. 2 ⊢ 3o = suc 2o
2		2onn 8260	. . 3 ⊢ 2o ∈ ω
3		peano2 7596	. . 3 ⊢ (2o ∈ ω → suc 2o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 2o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2909	1 ⊢ 3o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  suc csuc 6188  ωcom 7574  2_oc2o 8090  3_oc3o 8091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-tr 5166  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-om 7575  df-1o 8096  df-2o 8097  df-3o 8098

This theorem is referenced by:  4onn  8262  en4  8750  hash4  13762  hash3tr  13842