MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  adddiri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adddiri 11303
Description: Distributive law (right-distributivity). (Contributed by NM, 16-Feb-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
axi.1 𝐴 ∈ ℂ
axi.2 𝐵 ∈ ℂ
axi.3 𝐶 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
adddiri ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem adddiri
StepHypRef Expression
1 axi.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 axi.2 . 2 𝐵 ∈ ℂ
3 axi.3 . 2 𝐶 ∈ ℂ
4 adddir 11281 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
51, 2, 3, 4mp3an 1461 1 ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2108  (class class class)co 7448  cc 11182   + caddc 11187   · cmul 11189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-addcl 11244  ax-mulcom 11248  ax-distr 11251
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-iota 6525  df-fv 6581  df-ov 7451
This theorem is referenced by:  numma  12802  binom2i  14261  3dvdsdec  16380  3dvds2dec  16381  dec5nprm  17113  dec2nprm  17114  mod2xnegi  17118  karatsuba  17131  sincosq3sgn  26560  sincosq4sgn  26561  ang180lem2  26871  1cubrlem  26902  bposlem8  27353  2lgsoddprmlem3c  27474  2lgsoddprmlem3d  27475  normlem3  31144  dpmul100  32861  dpmul1000  32863  dpadd3  32876  dpmul4  32878  problem2  35634  areaquad  43177  tgoldbachlt  47690
  Copyright terms: Public domain W3C validator