Theorem adddiri 10643

Description: Distributive law (right-distributivity). (Contributed by NM, 16-Feb-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
axi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
axi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
axi.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
adddiri	⊢ ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem adddiri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		axi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		axi.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4		adddir 10621	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1458	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   + caddc 10529   · cmul 10531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2770  ax-addcl 10586  ax-mulcom 10590  ax-distr 10593

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-ex 1782  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-v 3443  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-iota 6283  df-fv 6332  df-ov 7138

This theorem is referenced by:  numma  12130  binom2i  13570  3dvdsdec  15673  3dvds2dec  15674  dec5nprm  16392  dec2nprm  16393  mod2xnegi  16397  karatsuba  16410  sincosq3sgn  25093  sincosq4sgn  25094  ang180lem2  25396  1cubrlem  25427  bposlem8  25875  2lgsoddprmlem3c  25996  2lgsoddprmlem3d  25997  normlem3  28895  dpmul100  30599  dpmul1000  30601  dpadd3  30614  dpmul4  30616  problem2  33022  areaquad  40166  tgoldbachlt  44334