MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  adddiri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adddiri 11227
Description: Distributive law (right-distributivity). (Contributed by NM, 16-Feb-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
axi.1 ๐ด โˆˆ โ„‚
axi.2 ๐ต โˆˆ โ„‚
axi.3 ๐ถ โˆˆ โ„‚
Assertion
Ref Expression
adddiri ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ))

Proof of Theorem adddiri
StepHypRef Expression
1 axi.1 . 2 ๐ด โˆˆ โ„‚
2 axi.2 . 2 ๐ต โˆˆ โ„‚
3 axi.3 . 2 ๐ถ โˆˆ โ„‚
4 adddir 11205 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)))
51, 2, 3, 4mp3an 1462 1 ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108   + caddc 11113   ยท cmul 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-addcl 11170  ax-mulcom 11174  ax-distr 11177
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412
This theorem is referenced by:  numma  12721  binom2i  14176  3dvdsdec  16275  3dvds2dec  16276  dec5nprm  16999  dec2nprm  17000  mod2xnegi  17004  karatsuba  17017  sincosq3sgn  26010  sincosq4sgn  26011  ang180lem2  26315  1cubrlem  26346  bposlem8  26794  2lgsoddprmlem3c  26915  2lgsoddprmlem3d  26916  normlem3  30365  dpmul100  32063  dpmul1000  32065  dpadd3  32078  dpmul4  32080  problem2  34651  areaquad  41965  tgoldbachlt  46484
  Copyright terms: Public domain W3C validator