Theorem 2lgsoddprmlem3c 27471

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 27473. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12330	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12349	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14255	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6	2, 5	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
7	6	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((5↑2) − 1) = ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1)
8		3cn 12345	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		8cn 12361	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	8, 9	mulcli 11266	. . . . 5 ⊢ (3 · 8) ∈ ℂ
11		ax-1cn 11211	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		sq4e2t8 14235	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
13		2cn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4t2e8 12432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
15	9	mullidi 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 8) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (1 · 8)
17	3, 13, 16	mulcomli 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (1 · 8)
18	12, 17	oveq12i 7443	. . . . . . 7 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ((2 · 8) + (1 · 8))
19	13, 11, 9	adddiri 11272	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = ((2 · 8) + (1 · 8))
20		2p1e3 12406	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
21	20	oveq1i 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = (3 · 8)
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2769	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (3 · 8)
23	22	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ((3 · 8) + 1)
24	10, 11, 23	mvrraddi 11523	. . . 4 ⊢ ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1) = (3 · 8)
25	7, 24	eqtri 2763	. . 3 ⊢ ((5↑2) − 1) = (3 · 8)
26	25	oveq1i 7441	. 2 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = ((3 · 8) / 8)
27		0re 11261	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		8pos 12376	. . . 4 ⊢ 0 < 8
29	27, 28	gtneii 11371	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
30	8, 9, 29	divcan4i 12012	. 2 ⊢ ((3 · 8) / 8) = 3
31	26, 30	eqtri 2763	1 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  8c8 12325  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  27473