Theorem 2lgsoddprmlem3c 27261

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 27263. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12275	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7411	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12294	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14179	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6	2, 5	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
7	6	oveq1i 7411	. . . 4 ⊢ ((5↑2) − 1) = ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1)
8		3cn 12290	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		8cn 12306	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	8, 9	mulcli 11218	. . . . 5 ⊢ (3 · 8) ∈ ℂ
11		ax-1cn 11164	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		sq4e2t8 14160	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
13		2cn 12284	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4t2e8 12377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
15	9	mullidi 11216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 8) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2755	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (1 · 8)
17	3, 13, 16	mulcomli 11220	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (1 · 8)
18	12, 17	oveq12i 7413	. . . . . . 7 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ((2 · 8) + (1 · 8))
19	13, 11, 9	adddiri 11224	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = ((2 · 8) + (1 · 8))
20		2p1e3 12351	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
21	20	oveq1i 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = (3 · 8)
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2758	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (3 · 8)
23	22	oveq1i 7411	. . . . 5 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ((3 · 8) + 1)
24	10, 11, 23	mvrraddi 11474	. . . 4 ⊢ ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1) = (3 · 8)
25	7, 24	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((5↑2) − 1) = (3 · 8)
26	25	oveq1i 7411	. 2 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = ((3 · 8) / 8)
27		0re 11213	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		8pos 12321	. . . 4 ⊢ 0 < 8
29	27, 28	gtneii 11323	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
30	8, 9, 29	divcan4i 11958	. 2 ⊢ ((3 · 8) / 8) = 3
31	26, 30	eqtri 2752	1 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11441   / cdiv 11868  2c2 12264  3c3 12265  4c4 12266  5c5 12267  8c8 12270  ↑cexp 14024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-exp 14025

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  27263