Theorem 2lgsoddprmlem3c 27375

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 27377. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12306	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7415	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12325	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14237	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6	2, 5	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
7	6	oveq1i 7415	. . . 4 ⊢ ((5↑2) − 1) = ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1)
8		3cn 12321	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		8cn 12337	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	8, 9	mulcli 11242	. . . . 5 ⊢ (3 · 8) ∈ ℂ
11		ax-1cn 11187	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		sq4e2t8 14217	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
13		2cn 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4t2e8 12408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
15	9	mullidi 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 8) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (1 · 8)
17	3, 13, 16	mulcomli 11244	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (1 · 8)
18	12, 17	oveq12i 7417	. . . . . . 7 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ((2 · 8) + (1 · 8))
19	13, 11, 9	adddiri 11248	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = ((2 · 8) + (1 · 8))
20		2p1e3 12382	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
21	20	oveq1i 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = (3 · 8)
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2764	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (3 · 8)
23	22	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ((3 · 8) + 1)
24	10, 11, 23	mvrraddi 11499	. . . 4 ⊢ ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1) = (3 · 8)
25	7, 24	eqtri 2758	. . 3 ⊢ ((5↑2) − 1) = (3 · 8)
26	25	oveq1i 7415	. 2 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = ((3 · 8) / 8)
27		0re 11237	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		8pos 12352	. . . 4 ⊢ 0 < 8
29	27, 28	gtneii 11347	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
30	8, 9, 29	divcan4i 11988	. 2 ⊢ ((3 · 8) / 8) = 3
31	26, 30	eqtri 2758	1 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   − cmin 11466   / cdiv 11894  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  5c5 12298  8c8 12301  ↑cexp 14079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  27377