Theorem 2lgsoddprmlem3c 27656

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 27658. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12334	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7427	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12354	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14287	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6	2, 5	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
7	6	oveq1i 7427	. . . 4 ⊢ ((5↑2) − 1) = ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1)
8		3cn 12350	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		8cn 12366	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	8, 9	mulcli 11244	. . . . 5 ⊢ (3 · 8) ∈ ℂ
11		ax-1cn 11186	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		sq4e2t8 14267	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
13		2cn 12344	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4t2e8 12437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
15	9	mullidi 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 8) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (1 · 8)
17	3, 13, 16	mulcomli 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (1 · 8)
18	12, 17	oveq12i 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ((2 · 8) + (1 · 8))
19	13, 11, 9	adddiri 11250	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = ((2 · 8) + (1 · 8))
20		2p1e3 12410	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
21	20	oveq1i 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = (3 · 8)
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2791	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (3 · 8)
23	22	oveq1i 7427	. . . . 5 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ((3 · 8) + 1)
24	10, 11, 23	mvrraddi 11502	. . . 4 ⊢ ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1) = (3 · 8)
25	7, 24	eqtri 2785	. . 3 ⊢ ((5↑2) − 1) = (3 · 8)
26	25	oveq1i 7427	. 2 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = ((3 · 8) / 8)
27		0re 11238	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		8pos 12384	. . . 4 ⊢ 0 < 8
29	27, 28	gtneii 11350	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
30	8, 9, 29	divcan4i 11990	. 2 ⊢ ((3 · 8) / 8) = 3
31	26, 30	eqtri 2785	1 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   − cmin 11469   / cdiv 11899  2c2 12323  3c3 12324  4c4 12325  5c5 12326  8c8 12329  ↑cexp 14129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-seq 14070  df-exp 14130

This theorem is used by:  2lgsoddprmlem3  27658