Theorem 2lgsoddprmlem3c 25705

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 25707. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 11504	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6984	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 11524	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 13393	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6	2, 5	eqtri 2795	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
7	6	oveq1i 6984	. . . 4 ⊢ ((5↑2) − 1) = ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1)
8		3cn 11519	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		8cn 11540	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	8, 9	mulcli 10445	. . . . 5 ⊢ (3 · 8) ∈ ℂ
11		ax-1cn 10391	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		sq4e2t8 13375	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
13		2cn 11513	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4t2e8 11613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
15	9	mulid2i 10443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 8) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (1 · 8)
17	3, 13, 16	mulcomli 10447	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (1 · 8)
18	12, 17	oveq12i 6986	. . . . . . 7 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ((2 · 8) + (1 · 8))
19	13, 11, 9	adddiri 10451	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = ((2 · 8) + (1 · 8))
20		2p1e3 11587	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
21	20	oveq1i 6984	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = (3 · 8)
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2801	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (3 · 8)
23	22	oveq1i 6984	. . . . 5 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ((3 · 8) + 1)
24	10, 11, 23	mvrraddi 10702	. . . 4 ⊢ ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1) = (3 · 8)
25	7, 24	eqtri 2795	. . 3 ⊢ ((5↑2) − 1) = (3 · 8)
26	25	oveq1i 6984	. 2 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = ((3 · 8) / 8)
27		0re 10439	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		8pos 11557	. . . 4 ⊢ 0 < 8
29	27, 28	gtneii 10550	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
30	8, 9, 29	divcan4i 11186	. 2 ⊢ ((3 · 8) / 8) = 3
31	26, 30	eqtri 2795	1 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Syntax hints:   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  (class class class)co 6974  ℂcc 10331  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338   − cmin 10668   / cdiv 11096  2c2 11493  3c3 11494  4c4 11495  5c5 11496  8c8 11499  ↑cexp 13242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-seq 13183  df-exp 13243

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  25707