Theorem 2lgsoddprmlem3c 26265

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 26267. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 11879	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7212	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 11898	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 13769	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6	2, 5	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
7	6	oveq1i 7212	. . . 4 ⊢ ((5↑2) − 1) = ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1)
8		3cn 11894	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		8cn 11910	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	8, 9	mulcli 10823	. . . . 5 ⊢ (3 · 8) ∈ ℂ
11		ax-1cn 10770	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		sq4e2t8 13751	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
13		2cn 11888	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4t2e8 11981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
15	9	mulid2i 10821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 8) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (1 · 8)
17	3, 13, 16	mulcomli 10825	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (1 · 8)
18	12, 17	oveq12i 7214	. . . . . . 7 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ((2 · 8) + (1 · 8))
19	13, 11, 9	adddiri 10829	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = ((2 · 8) + (1 · 8))
20		2p1e3 11955	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
21	20	oveq1i 7212	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = (3 · 8)
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2768	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (3 · 8)
23	22	oveq1i 7212	. . . . 5 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ((3 · 8) + 1)
24	10, 11, 23	mvrraddi 11078	. . . 4 ⊢ ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1) = (3 · 8)
25	7, 24	eqtri 2762	. . 3 ⊢ ((5↑2) − 1) = (3 · 8)
26	25	oveq1i 7212	. 2 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = ((3 · 8) / 8)
27		0re 10818	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		8pos 11925	. . . 4 ⊢ 0 < 8
29	27, 28	gtneii 10927	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
30	8, 9, 29	divcan4i 11562	. 2 ⊢ ((3 · 8) / 8) = 3
31	26, 30	eqtri 2762	1 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7202  ℂcc 10710  0cc0 10712  1c1 10713   + caddc 10715   · cmul 10717   − cmin 11045   / cdiv 11472  2c2 11868  3c3 11869  4c4 11870  5c5 11871  8c8 11874  ↑cexp 13618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-seq 13558  df-exp 13619

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  26267