MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2xnegi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod2xnegi 16400
Description: Version of mod2xi 16398 with a negative mod value. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mod2xnegi.1 𝐴 ∈ ℕ
mod2xnegi.2 𝐵 ∈ ℕ0
mod2xnegi.3 𝐷 ∈ ℤ
mod2xnegi.4 𝐾 ∈ ℕ
mod2xnegi.5 𝑀 ∈ ℕ0
mod2xnegi.6 𝐿 ∈ ℕ0
mod2xnegi.10 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
mod2xnegi.7 (2 · 𝐵) = 𝐸
mod2xnegi.8 (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
mod2xnegi.9 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
Assertion
Ref Expression
mod2xnegi ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem mod2xnegi
StepHypRef Expression
1 mod2xnegi.8 . . 3 (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
2 mod2xnegi.6 . . . 4 𝐿 ∈ ℕ0
3 mod2xnegi.4 . . . 4 𝐾 ∈ ℕ
4 nn0nnaddcl 11920 . . . 4 ((𝐿 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ)
52, 3, 4mp2an 691 . . 3 (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ
61, 5eqeltrri 2890 . 2 𝑁 ∈ ℕ
7 mod2xnegi.1 . 2 𝐴 ∈ ℕ
8 mod2xnegi.2 . 2 𝐵 ∈ ℕ0
96nnzi 11998 . . . 4 𝑁 ∈ ℤ
10 mod2xnegi.3 . . . 4 𝐷 ∈ ℤ
11 zaddcl 12014 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ)
129, 10, 11mp2an 691 . . 3 (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ
133nnnn0i 11897 . . . . 5 𝐾 ∈ ℕ0
1413, 13nn0addcli 11926 . . . 4 (𝐾 + 𝐾) ∈ ℕ0
1514nn0zi 11999 . . 3 (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ
16 zsubcl 12016 . . 3 (((𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ)
1712, 15, 16mp2an 691 . 2 ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ
18 mod2xnegi.5 . 2 𝑀 ∈ ℕ0
19 mod2xnegi.10 . 2 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
20 mod2xnegi.7 . 2 (2 · 𝐵) = 𝐸
216nncni 11639 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
22 zcn 11978 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
2310, 22ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℂ
2421, 23addcli 10640 . . . . 5 (𝑁 + 𝐷) ∈ ℂ
253nncni 11639 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℂ
2625, 25addcli 10640 . . . . 5 (𝐾 + 𝐾) ∈ ℂ
2724, 26, 21subdiri 11083 . . . 4 (((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
2827oveq1i 7149 . . 3 ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
2924, 21mulcli 10641 . . . 4 ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) ∈ ℂ
3018nn0cni 11901 . . . 4 𝑀 ∈ ℂ
3126, 21mulcli 10641 . . . 4 ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁) ∈ ℂ
3229, 30, 31addsubi 10971 . . 3 ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
33 mod2xnegi.9 . . . . . . 7 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
3433oveq2i 7150 . . . . . 6 ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾))
3521, 25, 25adddii 10646 . . . . . 6 (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))
3634, 35oveq12i 7151 . . . . 5 (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
3721, 23, 21adddiri 10647 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁))
3837oveq1i 7149 . . . . . . 7 (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀)
3921, 21mulcli 10641 . . . . . . . 8 (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
4023, 21mulcli 10641 . . . . . . . 8 (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
4139, 40, 30addassi 10644 . . . . . . 7 (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀) = ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀))
4238, 41eqtr2i 2825 . . . . . 6 ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀)
4321, 26mulcomi 10642 . . . . . 6 (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)
4442, 43oveq12i 7151 . . . . 5 (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
4536, 44eqtr3i 2826 . . . 4 (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
46 mulsub 11076 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑁𝐾) · (𝑁𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))))
4721, 25, 21, 25, 46mp4an 692 . . . . 5 ((𝑁𝐾) · (𝑁𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
482nn0cni 11901 . . . . . . . 8 𝐿 ∈ ℂ
4921, 25, 48subadd2i 10967 . . . . . . 7 ((𝑁𝐾) = 𝐿 ↔ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁)
501, 49mpbir 234 . . . . . 6 (𝑁𝐾) = 𝐿
5150, 50oveq12i 7151 . . . . 5 ((𝑁𝐾) · (𝑁𝐾)) = (𝐿 · 𝐿)
5247, 51eqtr3i 2826 . . . 4 (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = (𝐿 · 𝐿)
5345, 52eqtr3i 2826 . . 3 ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = (𝐿 · 𝐿)
5428, 32, 533eqtr2i 2830 . 2 ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = (𝐿 · 𝐿)
556, 7, 8, 17, 2, 18, 19, 20, 54mod2xi 16398 1 ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2112  (class class class)co 7139  cc 10528   + caddc 10533   · cmul 10535  cmin 10863  cn 11629  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973   mod cmo 13236  cexp 13429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430
This theorem is referenced by:  1259lem4  16462  2503lem2  16466
  Copyright terms: Public domain W3C validator