MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2xnegi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod2xnegi 16800
Description: Version of mod2xi 16798 with a negative mod value. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mod2xnegi.1 𝐴 ∈ ℕ
mod2xnegi.2 𝐵 ∈ ℕ0
mod2xnegi.3 𝐷 ∈ ℤ
mod2xnegi.4 𝐾 ∈ ℕ
mod2xnegi.5 𝑀 ∈ ℕ0
mod2xnegi.6 𝐿 ∈ ℕ0
mod2xnegi.10 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
mod2xnegi.7 (2 · 𝐵) = 𝐸
mod2xnegi.8 (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
mod2xnegi.9 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
Assertion
Ref Expression
mod2xnegi ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem mod2xnegi
StepHypRef Expression
1 mod2xnegi.8 . . 3 (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
2 mod2xnegi.6 . . . 4 𝐿 ∈ ℕ0
3 mod2xnegi.4 . . . 4 𝐾 ∈ ℕ
4 nn0nnaddcl 12292 . . . 4 ((𝐿 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ)
52, 3, 4mp2an 688 . . 3 (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ
61, 5eqeltrri 2831 . 2 𝑁 ∈ ℕ
7 mod2xnegi.1 . 2 𝐴 ∈ ℕ
8 mod2xnegi.2 . 2 𝐵 ∈ ℕ0
96nnzi 12372 . . . 4 𝑁 ∈ ℤ
10 mod2xnegi.3 . . . 4 𝐷 ∈ ℤ
11 zaddcl 12388 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ)
129, 10, 11mp2an 688 . . 3 (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ
133nnnn0i 12269 . . . . 5 𝐾 ∈ ℕ0
1413, 13nn0addcli 12298 . . . 4 (𝐾 + 𝐾) ∈ ℕ0
1514nn0zi 12373 . . 3 (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ
16 zsubcl 12390 . . 3 (((𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ)
1712, 15, 16mp2an 688 . 2 ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ
18 mod2xnegi.5 . 2 𝑀 ∈ ℕ0
19 mod2xnegi.10 . 2 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
20 mod2xnegi.7 . 2 (2 · 𝐵) = 𝐸
216nncni 12011 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
22 zcn 12352 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
2310, 22ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℂ
2421, 23addcli 11009 . . . . 5 (𝑁 + 𝐷) ∈ ℂ
253nncni 12011 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℂ
2625, 25addcli 11009 . . . . 5 (𝐾 + 𝐾) ∈ ℂ
2724, 26, 21subdiri 11453 . . . 4 (((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
2827oveq1i 7305 . . 3 ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
2924, 21mulcli 11010 . . . 4 ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) ∈ ℂ
3018nn0cni 12273 . . . 4 𝑀 ∈ ℂ
3126, 21mulcli 11010 . . . 4 ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁) ∈ ℂ
3229, 30, 31addsubi 11341 . . 3 ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
33 mod2xnegi.9 . . . . . . 7 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
3433oveq2i 7306 . . . . . 6 ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾))
3521, 25, 25adddii 11015 . . . . . 6 (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))
3634, 35oveq12i 7307 . . . . 5 (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
3721, 23, 21adddiri 11016 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁))
3837oveq1i 7305 . . . . . . 7 (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀)
3921, 21mulcli 11010 . . . . . . . 8 (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
4023, 21mulcli 11010 . . . . . . . 8 (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
4139, 40, 30addassi 11013 . . . . . . 7 (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀) = ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀))
4238, 41eqtr2i 2762 . . . . . 6 ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀)
4321, 26mulcomi 11011 . . . . . 6 (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)
4442, 43oveq12i 7307 . . . . 5 (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
4536, 44eqtr3i 2763 . . . 4 (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
46 mulsub 11446 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑁𝐾) · (𝑁𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))))
4721, 25, 21, 25, 46mp4an 689 . . . . 5 ((𝑁𝐾) · (𝑁𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
482nn0cni 12273 . . . . . . . 8 𝐿 ∈ ℂ
4921, 25, 48subadd2i 11337 . . . . . . 7 ((𝑁𝐾) = 𝐿 ↔ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁)
501, 49mpbir 230 . . . . . 6 (𝑁𝐾) = 𝐿
5150, 50oveq12i 7307 . . . . 5 ((𝑁𝐾) · (𝑁𝐾)) = (𝐿 · 𝐿)
5247, 51eqtr3i 2763 . . . 4 (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = (𝐿 · 𝐿)
5345, 52eqtr3i 2763 . . 3 ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = (𝐿 · 𝐿)
5428, 32, 533eqtr2i 2767 . 2 ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = (𝐿 · 𝐿)
556, 7, 8, 17, 2, 18, 19, 20, 54mod2xi 16798 1 ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2101  (class class class)co 7295  cc 10897   + caddc 10902   · cmul 10904  cmin 11233  cn 12001  2c2 12056  0cn0 12261  cz 12347   mod cmo 13617  cexp 13810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-sup 9229  df-inf 9230  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-rp 12759  df-fl 13540  df-mod 13618  df-seq 13750  df-exp 13811
This theorem is referenced by:  1259lem4  16863  2503lem2  16867
  Copyright terms: Public domain W3C validator