Theorem mod2xnegi 16700

Description: Version of mod2xi 16698 with a negative mod value. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mod2xnegi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
mod2xnegi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
mod2xnegi.3	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
mod2xnegi.4	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
mod2xnegi.5	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
mod2xnegi.6	⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
mod2xnegi.10	⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
mod2xnegi.7	⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
mod2xnegi.8	⊢ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
mod2xnegi.9	⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod2xnegi	⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem mod2xnegi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mod2xnegi.8	. . 3 ⊢ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
2		mod2xnegi.6	. . . 4 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
3		mod2xnegi.4	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
4		nn0nnaddcl 12194	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 688	. . 3 ⊢ (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltrri 2836	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
7		mod2xnegi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
8		mod2xnegi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
9	6	nnzi 12274	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
10		mod2xnegi.3	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
11		zaddcl 12290	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	mp2an 688	. . 3 ⊢ (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ
13	3	nnnn0i 12171	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
14	13, 13	nn0addcli 12200	. . . 4 ⊢ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℕ0
15	14	nn0zi 12275	. . 3 ⊢ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ
16		zsubcl 12292	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ)
17	12, 15, 16	mp2an 688	. 2 ⊢ ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ
18		mod2xnegi.5	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
19		mod2xnegi.10	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
20		mod2xnegi.7	. 2 ⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
21	6	nncni 11913	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
22		zcn 12254	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
23	10, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
24	21, 23	addcli 10912	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 𝐷) ∈ ℂ
25	3	nncni 11913	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
26	25, 25	addcli 10912	. . . . 5 ⊢ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℂ
27	24, 26, 21	subdiri 11355	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
28	27	oveq1i 7265	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
29	24, 21	mulcli 10913	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) ∈ ℂ
30	18	nn0cni 12175	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
31	26, 21	mulcli 10913	. . . 4 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁) ∈ ℂ
32	29, 30, 31	addsubi 11243	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
33		mod2xnegi.9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
34	33	oveq2i 7266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾))
35	21, 25, 25	adddii 10918	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))
36	34, 35	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
37	21, 23, 21	adddiri 10919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁))
38	37	oveq1i 7265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀)
39	21, 21	mulcli 10913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
40	23, 21	mulcli 10913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
41	39, 40, 30	addassi 10916	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀) = ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀))
42	38, 41	eqtr2i 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀)
43	21, 26	mulcomi 10914	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)
44	42, 43	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
45	36, 44	eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
46		mulsub 11348	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑁 − 𝐾) · (𝑁 − 𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))))
47	21, 25, 21, 25, 46	mp4an 689	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) · (𝑁 − 𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
48	2	nn0cni 12175	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 ∈ ℂ
49	21, 25, 48	subadd2i 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 𝐿 ↔ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁)
50	1, 49	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − 𝐾) = 𝐿
51	50, 50	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) · (𝑁 − 𝐾)) = (𝐿 · 𝐿)
52	47, 51	eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = (𝐿 · 𝐿)
53	45, 52	eqtr3i 2768	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = (𝐿 · 𝐿)
54	28, 32, 53	3eqtr2i 2772	. 2 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = (𝐿 · 𝐿)
55	6, 7, 8, 17, 2, 18, 19, 20, 54	mod2xi 16698	1 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249   mod cmo 13517  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  1259lem4  16763  2503lem2  16767