Theorem mod2xnegi 16146

Description: Version of mod2xi 16144 with a negative mod value. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mod2xnegi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
mod2xnegi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
mod2xnegi.3	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
mod2xnegi.4	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
mod2xnegi.5	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
mod2xnegi.6	⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
mod2xnegi.10	⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
mod2xnegi.7	⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
mod2xnegi.8	⊢ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
mod2xnegi.9	⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod2xnegi	⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem mod2xnegi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mod2xnegi.8	. . 3 ⊢ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
2		mod2xnegi.6	. . . 4 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
3		mod2xnegi.4	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
4		nn0nnaddcl 11651	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 683	. . 3 ⊢ (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltrri 2903	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
7		mod2xnegi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
8		mod2xnegi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
9	6	nnzi 11729	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
10		mod2xnegi.3	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
11		zaddcl 11745	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	mp2an 683	. . 3 ⊢ (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ
13	3	nnnn0i 11627	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
14	13, 13	nn0addcli 11657	. . . 4 ⊢ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℕ0
15	14	nn0zi 11730	. . 3 ⊢ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ
16		zsubcl 11747	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ)
17	12, 15, 16	mp2an 683	. 2 ⊢ ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ
18		mod2xnegi.5	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
19		mod2xnegi.10	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
20		mod2xnegi.7	. 2 ⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
21	6	nncni 11361	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
22		zcn 11709	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
23	10, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
24	21, 23	addcli 10363	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 𝐷) ∈ ℂ
25	3	nncni 11361	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
26	25, 25	addcli 10363	. . . . 5 ⊢ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℂ
27	24, 26, 21	subdiri 10804	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
28	27	oveq1i 6915	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
29	24, 21	mulcli 10364	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) ∈ ℂ
30	18	nn0cni 11631	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
31	26, 21	mulcli 10364	. . . 4 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁) ∈ ℂ
32	29, 30, 31	addsubi 10694	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
33		mod2xnegi.9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
34	33	oveq2i 6916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾))
35	21, 25, 25	adddii 10369	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))
36	34, 35	oveq12i 6917	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
37	21, 23, 21	adddiri 10370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁))
38	37	oveq1i 6915	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀)
39	21, 21	mulcli 10364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
40	23, 21	mulcli 10364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
41	39, 40, 30	addassi 10367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀) = ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀))
42	38, 41	eqtr2i 2850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀)
43	21, 26	mulcomi 10365	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)
44	42, 43	oveq12i 6917	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
45	36, 44	eqtr3i 2851	. . . 4 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
46		mulsub 10797	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑁 − 𝐾) · (𝑁 − 𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))))
47	21, 25, 21, 25, 46	mp4an 684	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) · (𝑁 − 𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
48	2	nn0cni 11631	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 ∈ ℂ
49	21, 25, 48	subadd2i 10690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 𝐿 ↔ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁)
50	1, 49	mpbir 223	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − 𝐾) = 𝐿
51	50, 50	oveq12i 6917	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) · (𝑁 − 𝐾)) = (𝐿 · 𝐿)
52	47, 51	eqtr3i 2851	. . . 4 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = (𝐿 · 𝐿)
53	45, 52	eqtr3i 2851	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = (𝐿 · 𝐿)
54	28, 32, 53	3eqtr2i 2855	. 2 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = (𝐿 · 𝐿)
55	6, 7, 8, 17, 2, 18, 19, 20, 54	mod2xi 16144	1 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  (class class class)co 6905  ℂcc 10250   + caddc 10255   · cmul 10257   − cmin 10585  ℕcn 11350  2c2 11406  ℕ₀cn0 11618  ℤcz 11704   mod cmo 12963  ↑cexp 13154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155

This theorem is referenced by:  1259lem4  16206  2503lem2  16210