Theorem mod2xnegi 16770

Description: Version of mod2xi 16768 with a negative mod value. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mod2xnegi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
mod2xnegi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
mod2xnegi.3	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
mod2xnegi.4	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
mod2xnegi.5	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
mod2xnegi.6	⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
mod2xnegi.10	⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
mod2xnegi.7	⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
mod2xnegi.8	⊢ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
mod2xnegi.9	⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod2xnegi	⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem mod2xnegi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mod2xnegi.8	. . 3 ⊢ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
2		mod2xnegi.6	. . . 4 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
3		mod2xnegi.4	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
4		nn0nnaddcl 12264	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltrri 2838	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
7		mod2xnegi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
8		mod2xnegi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
9	6	nnzi 12344	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
10		mod2xnegi.3	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
11		zaddcl 12360	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ
13	3	nnnn0i 12241	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
14	13, 13	nn0addcli 12270	. . . 4 ⊢ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℕ0
15	14	nn0zi 12345	. . 3 ⊢ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ
16		zsubcl 12362	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ)
17	12, 15, 16	mp2an 689	. 2 ⊢ ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ
18		mod2xnegi.5	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
19		mod2xnegi.10	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
20		mod2xnegi.7	. 2 ⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
21	6	nncni 11983	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
22		zcn 12324	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
23	10, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
24	21, 23	addcli 10982	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 𝐷) ∈ ℂ
25	3	nncni 11983	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
26	25, 25	addcli 10982	. . . . 5 ⊢ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℂ
27	24, 26, 21	subdiri 11425	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
28	27	oveq1i 7281	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
29	24, 21	mulcli 10983	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) ∈ ℂ
30	18	nn0cni 12245	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
31	26, 21	mulcli 10983	. . . 4 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁) ∈ ℂ
32	29, 30, 31	addsubi 11313	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
33		mod2xnegi.9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
34	33	oveq2i 7282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾))
35	21, 25, 25	adddii 10988	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))
36	34, 35	oveq12i 7283	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
37	21, 23, 21	adddiri 10989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁))
38	37	oveq1i 7281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀)
39	21, 21	mulcli 10983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
40	23, 21	mulcli 10983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
41	39, 40, 30	addassi 10986	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀) = ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀))
42	38, 41	eqtr2i 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀)
43	21, 26	mulcomi 10984	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)
44	42, 43	oveq12i 7283	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
45	36, 44	eqtr3i 2770	. . . 4 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
46		mulsub 11418	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑁 − 𝐾) · (𝑁 − 𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))))
47	21, 25, 21, 25, 46	mp4an 690	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) · (𝑁 − 𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
48	2	nn0cni 12245	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 ∈ ℂ
49	21, 25, 48	subadd2i 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 𝐿 ↔ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁)
50	1, 49	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − 𝐾) = 𝐿
51	50, 50	oveq12i 7283	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) · (𝑁 − 𝐾)) = (𝐿 · 𝐿)
52	47, 51	eqtr3i 2770	. . . 4 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = (𝐿 · 𝐿)
53	45, 52	eqtr3i 2770	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = (𝐿 · 𝐿)
54	28, 32, 53	3eqtr2i 2774	. 2 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = (𝐿 · 𝐿)
55	6, 7, 8, 17, 2, 18, 19, 20, 54	mod2xi 16768	1 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7271  ℂcc 10870   + caddc 10875   · cmul 10877   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319   mod cmo 13587  ↑cexp 13780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781

This theorem is referenced by:  1259lem4  16833  2503lem2  16837