MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2xnegi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod2xnegi 16770
Description: Version of mod2xi 16768 with a negative mod value. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mod2xnegi.1 𝐴 ∈ ℕ
mod2xnegi.2 𝐵 ∈ ℕ0
mod2xnegi.3 𝐷 ∈ ℤ
mod2xnegi.4 𝐾 ∈ ℕ
mod2xnegi.5 𝑀 ∈ ℕ0
mod2xnegi.6 𝐿 ∈ ℕ0
mod2xnegi.10 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
mod2xnegi.7 (2 · 𝐵) = 𝐸
mod2xnegi.8 (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
mod2xnegi.9 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
Assertion
Ref Expression
mod2xnegi ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem mod2xnegi
StepHypRef Expression
1 mod2xnegi.8 . . 3 (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
2 mod2xnegi.6 . . . 4 𝐿 ∈ ℕ0
3 mod2xnegi.4 . . . 4 𝐾 ∈ ℕ
4 nn0nnaddcl 12264 . . . 4 ((𝐿 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ)
52, 3, 4mp2an 689 . . 3 (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ
61, 5eqeltrri 2838 . 2 𝑁 ∈ ℕ
7 mod2xnegi.1 . 2 𝐴 ∈ ℕ
8 mod2xnegi.2 . 2 𝐵 ∈ ℕ0
96nnzi 12344 . . . 4 𝑁 ∈ ℤ
10 mod2xnegi.3 . . . 4 𝐷 ∈ ℤ
11 zaddcl 12360 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ)
129, 10, 11mp2an 689 . . 3 (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ
133nnnn0i 12241 . . . . 5 𝐾 ∈ ℕ0
1413, 13nn0addcli 12270 . . . 4 (𝐾 + 𝐾) ∈ ℕ0
1514nn0zi 12345 . . 3 (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ
16 zsubcl 12362 . . 3 (((𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ)
1712, 15, 16mp2an 689 . 2 ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ
18 mod2xnegi.5 . 2 𝑀 ∈ ℕ0
19 mod2xnegi.10 . 2 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
20 mod2xnegi.7 . 2 (2 · 𝐵) = 𝐸
216nncni 11983 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
22 zcn 12324 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
2310, 22ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℂ
2421, 23addcli 10982 . . . . 5 (𝑁 + 𝐷) ∈ ℂ
253nncni 11983 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℂ
2625, 25addcli 10982 . . . . 5 (𝐾 + 𝐾) ∈ ℂ
2724, 26, 21subdiri 11425 . . . 4 (((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
2827oveq1i 7281 . . 3 ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
2924, 21mulcli 10983 . . . 4 ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) ∈ ℂ
3018nn0cni 12245 . . . 4 𝑀 ∈ ℂ
3126, 21mulcli 10983 . . . 4 ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁) ∈ ℂ
3229, 30, 31addsubi 11313 . . 3 ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
33 mod2xnegi.9 . . . . . . 7 ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
3433oveq2i 7282 . . . . . 6 ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾))
3521, 25, 25adddii 10988 . . . . . 6 (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))
3634, 35oveq12i 7283 . . . . 5 (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
3721, 23, 21adddiri 10989 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁))
3837oveq1i 7281 . . . . . . 7 (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀)
3921, 21mulcli 10983 . . . . . . . 8 (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
4023, 21mulcli 10983 . . . . . . . 8 (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
4139, 40, 30addassi 10986 . . . . . . 7 (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀) = ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀))
4238, 41eqtr2i 2769 . . . . . 6 ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀)
4321, 26mulcomi 10984 . . . . . 6 (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)
4442, 43oveq12i 7283 . . . . 5 (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
4536, 44eqtr3i 2770 . . . 4 (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
46 mulsub 11418 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑁𝐾) · (𝑁𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))))
4721, 25, 21, 25, 46mp4an 690 . . . . 5 ((𝑁𝐾) · (𝑁𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
482nn0cni 12245 . . . . . . . 8 𝐿 ∈ ℂ
4921, 25, 48subadd2i 11309 . . . . . . 7 ((𝑁𝐾) = 𝐿 ↔ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁)
501, 49mpbir 230 . . . . . 6 (𝑁𝐾) = 𝐿
5150, 50oveq12i 7283 . . . . 5 ((𝑁𝐾) · (𝑁𝐾)) = (𝐿 · 𝐿)
5247, 51eqtr3i 2770 . . . 4 (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = (𝐿 · 𝐿)
5345, 52eqtr3i 2770 . . 3 ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = (𝐿 · 𝐿)
5428, 32, 533eqtr2i 2774 . 2 ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = (𝐿 · 𝐿)
556, 7, 8, 17, 2, 18, 19, 20, 54mod2xi 16768 1 ((𝐴𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2110  (class class class)co 7271  cc 10870   + caddc 10875   · cmul 10877  cmin 11205  cn 11973  2c2 12028  0cn0 12233  cz 12319   mod cmo 13587  cexp 13780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781
This theorem is referenced by:  1259lem4  16833  2503lem2  16837
  Copyright terms: Public domain W3C validator