Theorem mod2xnegi 17040

Description: Version of mod2xi 17038 with a negative mod value. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mod2xnegi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
mod2xnegi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
mod2xnegi.3	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
mod2xnegi.4	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
mod2xnegi.5	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
mod2xnegi.6	⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
mod2xnegi.10	⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
mod2xnegi.7	⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
mod2xnegi.8	⊢ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
mod2xnegi.9	⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod2xnegi	⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem mod2xnegi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mod2xnegi.8	. . 3 ⊢ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
2		mod2xnegi.6	. . . 4 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
3		mod2xnegi.4	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
4		nn0nnaddcl 12534	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 691	. . 3 ⊢ (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltrri 2826	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
7		mod2xnegi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
8		mod2xnegi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
9	6	nnzi 12617	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
10		mod2xnegi.3	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
11		zaddcl 12633	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	mp2an 691	. . 3 ⊢ (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ
13	3	nnnn0i 12511	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
14	13, 13	nn0addcli 12540	. . . 4 ⊢ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℕ0
15	14	nn0zi 12618	. . 3 ⊢ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ
16		zsubcl 12635	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ)
17	12, 15, 16	mp2an 691	. 2 ⊢ ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ
18		mod2xnegi.5	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
19		mod2xnegi.10	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
20		mod2xnegi.7	. 2 ⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
21	6	nncni 12253	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
22		zcn 12594	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
23	10, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
24	21, 23	addcli 11251	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 𝐷) ∈ ℂ
25	3	nncni 12253	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
26	25, 25	addcli 11251	. . . . 5 ⊢ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℂ
27	24, 26, 21	subdiri 11695	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
28	27	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
29	24, 21	mulcli 11252	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) ∈ ℂ
30	18	nn0cni 12515	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
31	26, 21	mulcli 11252	. . . 4 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁) ∈ ℂ
32	29, 30, 31	addsubi 11583	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
33		mod2xnegi.9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
34	33	oveq2i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾))
35	21, 25, 25	adddii 11257	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))
36	34, 35	oveq12i 7432	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
37	21, 23, 21	adddiri 11258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁))
38	37	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀)
39	21, 21	mulcli 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
40	23, 21	mulcli 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
41	39, 40, 30	addassi 11255	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀) = ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀))
42	38, 41	eqtr2i 2757	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀)
43	21, 26	mulcomi 11253	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)
44	42, 43	oveq12i 7432	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
45	36, 44	eqtr3i 2758	. . . 4 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
46		mulsub 11688	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑁 − 𝐾) · (𝑁 − 𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))))
47	21, 25, 21, 25, 46	mp4an 692	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) · (𝑁 − 𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
48	2	nn0cni 12515	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 ∈ ℂ
49	21, 25, 48	subadd2i 11579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 𝐿 ↔ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁)
50	1, 49	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − 𝐾) = 𝐿
51	50, 50	oveq12i 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) · (𝑁 − 𝐾)) = (𝐿 · 𝐿)
52	47, 51	eqtr3i 2758	. . . 4 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = (𝐿 · 𝐿)
53	45, 52	eqtr3i 2758	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = (𝐿 · 𝐿)
54	28, 32, 53	3eqtr2i 2762	. 2 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = (𝐿 · 𝐿)
55	6, 7, 8, 17, 2, 18, 19, 20, 54	mod2xi 17038	1 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  ℂcc 11137   + caddc 11142   · cmul 11144   − cmin 11475  ℕcn 12243  2c2 12298  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12589   mod cmo 13867  ↑cexp 14059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060

This theorem is referenced by:  1259lem4  17103  2503lem2  17107