Theorem mod2xnegi 17042

Description: Version of mod2xi 17040 with a negative mod value. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mod2xnegi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
mod2xnegi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
mod2xnegi.3	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
mod2xnegi.4	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
mod2xnegi.5	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
mod2xnegi.6	⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
mod2xnegi.10	⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
mod2xnegi.7	⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
mod2xnegi.8	⊢ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
mod2xnegi.9	⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod2xnegi	⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem mod2xnegi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mod2xnegi.8	. . 3 ⊢ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁
2		mod2xnegi.6	. . . 4 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
3		mod2xnegi.4	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
4		nn0nnaddcl 12468	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 693	. . 3 ⊢ (𝐿 + 𝐾) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltrri 2833	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
7		mod2xnegi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
8		mod2xnegi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
9	6	nnzi 12551	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
10		mod2xnegi.3	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
11		zaddcl 12567	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	mp2an 693	. . 3 ⊢ (𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ
13	3	nnnn0i 12445	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
14	13, 13	nn0addcli 12474	. . . 4 ⊢ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℕ0
15	14	nn0zi 12552	. . 3 ⊢ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ
16		zsubcl 12569	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ)
17	12, 15, 16	mp2an 693	. 2 ⊢ ((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) ∈ ℤ
18		mod2xnegi.5	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
19		mod2xnegi.10	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐿 mod 𝑁)
20		mod2xnegi.7	. 2 ⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
21	6	nncni 12184	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
22		zcn 12529	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
23	10, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
24	21, 23	addcli 11151	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 𝐷) ∈ ℂ
25	3	nncni 12184	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
26	25, 25	addcli 11151	. . . . 5 ⊢ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℂ
27	24, 26, 21	subdiri 11600	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
28	27	oveq1i 7377	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
29	24, 21	mulcli 11152	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) ∈ ℂ
30	18	nn0cni 12449	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
31	26, 21	mulcli 11152	. . . 4 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁) ∈ ℂ
32	29, 30, 31	addsubi 11486	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) + 𝑀)
33		mod2xnegi.9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
34	33	oveq2i 7378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾))
35	21, 25, 25	adddii 11157	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))
36	34, 35	oveq12i 7379	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
37	21, 23, 21	adddiri 11158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁))
38	37	oveq1i 7377	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀)
39	21, 21	mulcli 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
40	23, 21	mulcli 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 · 𝑁) ∈ ℂ
41	39, 40, 30	addassi 11155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + (𝐷 · 𝑁)) + 𝑀) = ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀))
42	38, 41	eqtr2i 2760	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) = (((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀)
43	21, 26	mulcomi 11153	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 · (𝐾 + 𝐾)) = ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)
44	42, 43	oveq12i 7379	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀)) − (𝑁 · (𝐾 + 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
45	36, 44	eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁))
46		mulsub 11593	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑁 − 𝐾) · (𝑁 − 𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))))
47	21, 25, 21, 25, 46	mp4an 694	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) · (𝑁 − 𝐾)) = (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾)))
48	2	nn0cni 12449	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 ∈ ℂ
49	21, 25, 48	subadd2i 11482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 𝐿 ↔ (𝐿 + 𝐾) = 𝑁)
50	1, 49	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − 𝐾) = 𝐿
51	50, 50	oveq12i 7379	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) · (𝑁 − 𝐾)) = (𝐿 · 𝐿)
52	47, 51	eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ (((𝑁 · 𝑁) + (𝐾 · 𝐾)) − ((𝑁 · 𝐾) + (𝑁 · 𝐾))) = (𝐿 · 𝐿)
53	45, 52	eqtr3i 2761	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) · 𝑁) + 𝑀) − ((𝐾 + 𝐾) · 𝑁)) = (𝐿 · 𝐿)
54	28, 32, 53	3eqtr2i 2765	. 2 ⊢ ((((𝑁 + 𝐷) − (𝐾 + 𝐾)) · 𝑁) + 𝑀) = (𝐿 · 𝐿)
55	6, 7, 8, 17, 2, 18, 19, 20, 54	mod2xi 17040	1 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524   mod cmo 13828  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  1259lem4  17104  2503lem2  17108