MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2xnegi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod2xnegi 17006
Description: Version of mod2xi 17004 with a negative mod value. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mod2xnegi.1 ๐ด โˆˆ โ„•
mod2xnegi.2 ๐ต โˆˆ โ„•0
mod2xnegi.3 ๐ท โˆˆ โ„ค
mod2xnegi.4 ๐พ โˆˆ โ„•
mod2xnegi.5 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
mod2xnegi.6 ๐ฟ โˆˆ โ„•0
mod2xnegi.10 ((๐ดโ†‘๐ต) mod ๐‘) = (๐ฟ mod ๐‘)
mod2xnegi.7 (2 ยท ๐ต) = ๐ธ
mod2xnegi.8 (๐ฟ + ๐พ) = ๐‘
mod2xnegi.9 ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€) = (๐พ ยท ๐พ)
Assertion
Ref Expression
mod2xnegi ((๐ดโ†‘๐ธ) mod ๐‘) = (๐‘€ mod ๐‘)

Proof of Theorem mod2xnegi
StepHypRef Expression
1 mod2xnegi.8 . . 3 (๐ฟ + ๐พ) = ๐‘
2 mod2xnegi.6 . . . 4 ๐ฟ โˆˆ โ„•0
3 mod2xnegi.4 . . . 4 ๐พ โˆˆ โ„•
4 nn0nnaddcl 12505 . . . 4 ((๐ฟ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ฟ + ๐พ) โˆˆ โ„•)
52, 3, 4mp2an 690 . . 3 (๐ฟ + ๐พ) โˆˆ โ„•
61, 5eqeltrri 2830 . 2 ๐‘ โˆˆ โ„•
7 mod2xnegi.1 . 2 ๐ด โˆˆ โ„•
8 mod2xnegi.2 . 2 ๐ต โˆˆ โ„•0
96nnzi 12588 . . . 4 ๐‘ โˆˆ โ„ค
10 mod2xnegi.3 . . . 4 ๐ท โˆˆ โ„ค
11 zaddcl 12604 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ + ๐ท) โˆˆ โ„ค)
129, 10, 11mp2an 690 . . 3 (๐‘ + ๐ท) โˆˆ โ„ค
133nnnn0i 12482 . . . . 5 ๐พ โˆˆ โ„•0
1413, 13nn0addcli 12511 . . . 4 (๐พ + ๐พ) โˆˆ โ„•0
1514nn0zi 12589 . . 3 (๐พ + ๐พ) โˆˆ โ„ค
16 zsubcl 12606 . . 3 (((๐‘ + ๐ท) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ + ๐พ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ + ๐ท) โˆ’ (๐พ + ๐พ)) โˆˆ โ„ค)
1712, 15, 16mp2an 690 . 2 ((๐‘ + ๐ท) โˆ’ (๐พ + ๐พ)) โˆˆ โ„ค
18 mod2xnegi.5 . 2 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
19 mod2xnegi.10 . 2 ((๐ดโ†‘๐ต) mod ๐‘) = (๐ฟ mod ๐‘)
20 mod2xnegi.7 . 2 (2 ยท ๐ต) = ๐ธ
216nncni 12224 . . . . . 6 ๐‘ โˆˆ โ„‚
22 zcn 12565 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2310, 22ax-mp 5 . . . . . 6 ๐ท โˆˆ โ„‚
2421, 23addcli 11222 . . . . 5 (๐‘ + ๐ท) โˆˆ โ„‚
253nncni 12224 . . . . . 6 ๐พ โˆˆ โ„‚
2625, 25addcli 11222 . . . . 5 (๐พ + ๐พ) โˆˆ โ„‚
2724, 26, 21subdiri 11666 . . . 4 (((๐‘ + ๐ท) โˆ’ (๐พ + ๐พ)) ยท ๐‘) = (((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) โˆ’ ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘))
2827oveq1i 7421 . . 3 ((((๐‘ + ๐ท) โˆ’ (๐พ + ๐พ)) ยท ๐‘) + ๐‘€) = ((((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) โˆ’ ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘)) + ๐‘€)
2924, 21mulcli 11223 . . . 4 ((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚
3018nn0cni 12486 . . . 4 ๐‘€ โˆˆ โ„‚
3126, 21mulcli 11223 . . . 4 ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚
3229, 30, 31addsubi 11554 . . 3 ((((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) + ๐‘€) โˆ’ ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘)) = ((((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) โˆ’ ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘)) + ๐‘€)
33 mod2xnegi.9 . . . . . . 7 ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€) = (๐พ ยท ๐พ)
3433oveq2i 7422 . . . . . 6 ((๐‘ ยท ๐‘) + ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€)) = ((๐‘ ยท ๐‘) + (๐พ ยท ๐พ))
3521, 25, 25adddii 11228 . . . . . 6 (๐‘ ยท (๐พ + ๐พ)) = ((๐‘ ยท ๐พ) + (๐‘ ยท ๐พ))
3634, 35oveq12i 7423 . . . . 5 (((๐‘ ยท ๐‘) + ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€)) โˆ’ (๐‘ ยท (๐พ + ๐พ))) = (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐พ ยท ๐พ)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐พ) + (๐‘ ยท ๐พ)))
3721, 23, 21adddiri 11229 . . . . . . . 8 ((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) = ((๐‘ ยท ๐‘) + (๐ท ยท ๐‘))
3837oveq1i 7421 . . . . . . 7 (((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) + ๐‘€) = (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐ท ยท ๐‘)) + ๐‘€)
3921, 21mulcli 11223 . . . . . . . 8 (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚
4023, 21mulcli 11223 . . . . . . . 8 (๐ท ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚
4139, 40, 30addassi 11226 . . . . . . 7 (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐ท ยท ๐‘)) + ๐‘€) = ((๐‘ ยท ๐‘) + ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€))
4238, 41eqtr2i 2761 . . . . . 6 ((๐‘ ยท ๐‘) + ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€)) = (((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) + ๐‘€)
4321, 26mulcomi 11224 . . . . . 6 (๐‘ ยท (๐พ + ๐พ)) = ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘)
4442, 43oveq12i 7423 . . . . 5 (((๐‘ ยท ๐‘) + ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€)) โˆ’ (๐‘ ยท (๐พ + ๐พ))) = ((((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) + ๐‘€) โˆ’ ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘))
4536, 44eqtr3i 2762 . . . 4 (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐พ ยท ๐พ)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐พ) + (๐‘ ยท ๐พ))) = ((((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) + ๐‘€) โˆ’ ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘))
46 mulsub 11659 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) ยท (๐‘ โˆ’ ๐พ)) = (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐พ ยท ๐พ)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐พ) + (๐‘ ยท ๐พ))))
4721, 25, 21, 25, 46mp4an 691 . . . . 5 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) ยท (๐‘ โˆ’ ๐พ)) = (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐พ ยท ๐พ)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐พ) + (๐‘ ยท ๐พ)))
482nn0cni 12486 . . . . . . . 8 ๐ฟ โˆˆ โ„‚
4921, 25, 48subadd2i 11550 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) = ๐ฟ โ†” (๐ฟ + ๐พ) = ๐‘)
501, 49mpbir 230 . . . . . 6 (๐‘ โˆ’ ๐พ) = ๐ฟ
5150, 50oveq12i 7423 . . . . 5 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) ยท (๐‘ โˆ’ ๐พ)) = (๐ฟ ยท ๐ฟ)
5247, 51eqtr3i 2762 . . . 4 (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐พ ยท ๐พ)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐พ) + (๐‘ ยท ๐พ))) = (๐ฟ ยท ๐ฟ)
5345, 52eqtr3i 2762 . . 3 ((((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) + ๐‘€) โˆ’ ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘)) = (๐ฟ ยท ๐ฟ)
5428, 32, 533eqtr2i 2766 . 2 ((((๐‘ + ๐ท) โˆ’ (๐พ + ๐พ)) ยท ๐‘) + ๐‘€) = (๐ฟ ยท ๐ฟ)
556, 7, 8, 17, 2, 18, 19, 20, 54mod2xi 17004 1 ((๐ดโ†‘๐ธ) mod ๐‘) = (๐‘€ mod ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11446  โ„•cn 12214  2c2 12269  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560   mod cmo 13836  โ†‘cexp 14029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030
This theorem is referenced by:  1259lem4  17069  2503lem2  17073
  Copyright terms: Public domain W3C validator