MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2xnegi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod2xnegi 16950
Description: Version of mod2xi 16948 with a negative mod value. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mod2xnegi.1 ๐ด โˆˆ โ„•
mod2xnegi.2 ๐ต โˆˆ โ„•0
mod2xnegi.3 ๐ท โˆˆ โ„ค
mod2xnegi.4 ๐พ โˆˆ โ„•
mod2xnegi.5 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
mod2xnegi.6 ๐ฟ โˆˆ โ„•0
mod2xnegi.10 ((๐ดโ†‘๐ต) mod ๐‘) = (๐ฟ mod ๐‘)
mod2xnegi.7 (2 ยท ๐ต) = ๐ธ
mod2xnegi.8 (๐ฟ + ๐พ) = ๐‘
mod2xnegi.9 ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€) = (๐พ ยท ๐พ)
Assertion
Ref Expression
mod2xnegi ((๐ดโ†‘๐ธ) mod ๐‘) = (๐‘€ mod ๐‘)

Proof of Theorem mod2xnegi
StepHypRef Expression
1 mod2xnegi.8 . . 3 (๐ฟ + ๐พ) = ๐‘
2 mod2xnegi.6 . . . 4 ๐ฟ โˆˆ โ„•0
3 mod2xnegi.4 . . . 4 ๐พ โˆˆ โ„•
4 nn0nnaddcl 12451 . . . 4 ((๐ฟ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ฟ + ๐พ) โˆˆ โ„•)
52, 3, 4mp2an 691 . . 3 (๐ฟ + ๐พ) โˆˆ โ„•
61, 5eqeltrri 2835 . 2 ๐‘ โˆˆ โ„•
7 mod2xnegi.1 . 2 ๐ด โˆˆ โ„•
8 mod2xnegi.2 . 2 ๐ต โˆˆ โ„•0
96nnzi 12534 . . . 4 ๐‘ โˆˆ โ„ค
10 mod2xnegi.3 . . . 4 ๐ท โˆˆ โ„ค
11 zaddcl 12550 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ + ๐ท) โˆˆ โ„ค)
129, 10, 11mp2an 691 . . 3 (๐‘ + ๐ท) โˆˆ โ„ค
133nnnn0i 12428 . . . . 5 ๐พ โˆˆ โ„•0
1413, 13nn0addcli 12457 . . . 4 (๐พ + ๐พ) โˆˆ โ„•0
1514nn0zi 12535 . . 3 (๐พ + ๐พ) โˆˆ โ„ค
16 zsubcl 12552 . . 3 (((๐‘ + ๐ท) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ + ๐พ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ + ๐ท) โˆ’ (๐พ + ๐พ)) โˆˆ โ„ค)
1712, 15, 16mp2an 691 . 2 ((๐‘ + ๐ท) โˆ’ (๐พ + ๐พ)) โˆˆ โ„ค
18 mod2xnegi.5 . 2 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
19 mod2xnegi.10 . 2 ((๐ดโ†‘๐ต) mod ๐‘) = (๐ฟ mod ๐‘)
20 mod2xnegi.7 . 2 (2 ยท ๐ต) = ๐ธ
216nncni 12170 . . . . . 6 ๐‘ โˆˆ โ„‚
22 zcn 12511 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2310, 22ax-mp 5 . . . . . 6 ๐ท โˆˆ โ„‚
2421, 23addcli 11168 . . . . 5 (๐‘ + ๐ท) โˆˆ โ„‚
253nncni 12170 . . . . . 6 ๐พ โˆˆ โ„‚
2625, 25addcli 11168 . . . . 5 (๐พ + ๐พ) โˆˆ โ„‚
2724, 26, 21subdiri 11612 . . . 4 (((๐‘ + ๐ท) โˆ’ (๐พ + ๐พ)) ยท ๐‘) = (((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) โˆ’ ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘))
2827oveq1i 7372 . . 3 ((((๐‘ + ๐ท) โˆ’ (๐พ + ๐พ)) ยท ๐‘) + ๐‘€) = ((((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) โˆ’ ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘)) + ๐‘€)
2924, 21mulcli 11169 . . . 4 ((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚
3018nn0cni 12432 . . . 4 ๐‘€ โˆˆ โ„‚
3126, 21mulcli 11169 . . . 4 ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚
3229, 30, 31addsubi 11500 . . 3 ((((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) + ๐‘€) โˆ’ ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘)) = ((((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) โˆ’ ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘)) + ๐‘€)
33 mod2xnegi.9 . . . . . . 7 ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€) = (๐พ ยท ๐พ)
3433oveq2i 7373 . . . . . 6 ((๐‘ ยท ๐‘) + ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€)) = ((๐‘ ยท ๐‘) + (๐พ ยท ๐พ))
3521, 25, 25adddii 11174 . . . . . 6 (๐‘ ยท (๐พ + ๐พ)) = ((๐‘ ยท ๐พ) + (๐‘ ยท ๐พ))
3634, 35oveq12i 7374 . . . . 5 (((๐‘ ยท ๐‘) + ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€)) โˆ’ (๐‘ ยท (๐พ + ๐พ))) = (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐พ ยท ๐พ)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐พ) + (๐‘ ยท ๐พ)))
3721, 23, 21adddiri 11175 . . . . . . . 8 ((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) = ((๐‘ ยท ๐‘) + (๐ท ยท ๐‘))
3837oveq1i 7372 . . . . . . 7 (((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) + ๐‘€) = (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐ท ยท ๐‘)) + ๐‘€)
3921, 21mulcli 11169 . . . . . . . 8 (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚
4023, 21mulcli 11169 . . . . . . . 8 (๐ท ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚
4139, 40, 30addassi 11172 . . . . . . 7 (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐ท ยท ๐‘)) + ๐‘€) = ((๐‘ ยท ๐‘) + ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€))
4238, 41eqtr2i 2766 . . . . . 6 ((๐‘ ยท ๐‘) + ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€)) = (((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) + ๐‘€)
4321, 26mulcomi 11170 . . . . . 6 (๐‘ ยท (๐พ + ๐พ)) = ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘)
4442, 43oveq12i 7374 . . . . 5 (((๐‘ ยท ๐‘) + ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€)) โˆ’ (๐‘ ยท (๐พ + ๐พ))) = ((((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) + ๐‘€) โˆ’ ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘))
4536, 44eqtr3i 2767 . . . 4 (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐พ ยท ๐พ)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐พ) + (๐‘ ยท ๐พ))) = ((((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) + ๐‘€) โˆ’ ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘))
46 mulsub 11605 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) ยท (๐‘ โˆ’ ๐พ)) = (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐พ ยท ๐พ)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐พ) + (๐‘ ยท ๐พ))))
4721, 25, 21, 25, 46mp4an 692 . . . . 5 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) ยท (๐‘ โˆ’ ๐พ)) = (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐พ ยท ๐พ)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐พ) + (๐‘ ยท ๐พ)))
482nn0cni 12432 . . . . . . . 8 ๐ฟ โˆˆ โ„‚
4921, 25, 48subadd2i 11496 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) = ๐ฟ โ†” (๐ฟ + ๐พ) = ๐‘)
501, 49mpbir 230 . . . . . 6 (๐‘ โˆ’ ๐พ) = ๐ฟ
5150, 50oveq12i 7374 . . . . 5 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) ยท (๐‘ โˆ’ ๐พ)) = (๐ฟ ยท ๐ฟ)
5247, 51eqtr3i 2767 . . . 4 (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐พ ยท ๐พ)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐พ) + (๐‘ ยท ๐พ))) = (๐ฟ ยท ๐ฟ)
5345, 52eqtr3i 2767 . . 3 ((((๐‘ + ๐ท) ยท ๐‘) + ๐‘€) โˆ’ ((๐พ + ๐พ) ยท ๐‘)) = (๐ฟ ยท ๐ฟ)
5428, 32, 533eqtr2i 2771 . 2 ((((๐‘ + ๐ท) โˆ’ (๐พ + ๐พ)) ยท ๐‘) + ๐‘€) = (๐ฟ ยท ๐ฟ)
556, 7, 8, 17, 2, 18, 19, 20, 54mod2xi 16948 1 ((๐ดโ†‘๐ธ) mod ๐‘) = (๐‘€ mod ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506   mod cmo 13781  โ†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  1259lem4  17013  2503lem2  17017
  Copyright terms: Public domain W3C validator